王美令 胡秋生

（大連交通大學(xué)機(jī)車車輛工程學(xué)院）

0 引言

以航空發(fā)動(dòng)機(jī)為代表的高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng)普遍采用彈性支承，用以調(diào)整和控制系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，以保證系統(tǒng)在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)通過低階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，大部分變形集中于彈性支承上，從而保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行。然而，隨著轉(zhuǎn)速不斷增大，支點(diǎn)數(shù)目的減小，轉(zhuǎn)子相對于支承的剛性弱化，在高轉(zhuǎn)速工作時(shí)易出現(xiàn)彎曲變形[1]，同時(shí)，當(dāng)支承剛度高于某一定值時(shí)，會使轉(zhuǎn)子剛體振型彎曲應(yīng)變能過大，呈現(xiàn)彎曲較大的振型，對振動(dòng)不利。轉(zhuǎn)子應(yīng)變能是指轉(zhuǎn)子發(fā)生形變時(shí)，外力在形變位移上所做的功，其分布可用于表征轉(zhuǎn)子變形和受力狀態(tài)[2]。綜合考慮轉(zhuǎn)子剛度和支承剛度的影響，掌握其相對剛度特性對系統(tǒng)應(yīng)變能分布的影響規(guī)律，對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義。

支承特性對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性乃至整機(jī)振動(dòng)具有重要影響。眾多學(xué)者針對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)支承特性及其對系統(tǒng)影響開展了大量的研究工作。羅忠等[3]建立了帶彈性環(huán)式支承結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型，研究了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在靜剛度和動(dòng)剛度條件下對臨界轉(zhuǎn)速的影響。喬留春[4]基于有限元和試驗(yàn)方法，提出了彈性支承結(jié)構(gòu)的動(dòng)剛度辨識方法，并開展了相關(guān)參數(shù)對彈支支點(diǎn)剛度的影響分析。鄧旺群等基于試驗(yàn)研究分析了帶柔性過渡段懸臂動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，獲得支承剛度對其影響，并提出支承剛度的修正方法。并基于不同的支承剛度和軸向位置，開展了某型發(fā)動(dòng)機(jī)低壓轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速隨支承剛度和軸向位置變化規(guī)律的研究[5-6]。屈美嬌等[7]通過定義轉(zhuǎn)靜耦合因子和截面轉(zhuǎn)靜碰摩危險(xiǎn)系數(shù)，定量研究了支承剛度對試驗(yàn)器固有頻率、整機(jī)模態(tài)振型、轉(zhuǎn)子靜子耦合程度、壓氣機(jī)和渦輪截面轉(zhuǎn)靜碰摩危險(xiǎn)程度的影響。Yan等[8]對比研究了前、后兩端分別為柔性支承和剛性支承的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的振動(dòng)特性。Harsha 等[9]研究了帶滾動(dòng)軸承支承對于剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響規(guī)律。王龍凱等[10]基于航空發(fā)動(dòng)機(jī)等復(fù)雜轉(zhuǎn)子-支承系統(tǒng)的通用動(dòng)力學(xué)模型，從轉(zhuǎn)子固有特性、應(yīng)變能分布、支承傳遞力和振動(dòng)響應(yīng)等方面對彈性支承并聯(lián)SFD非線性減振效率進(jìn)行分析。太興宇等[11]將彈性基礎(chǔ)的特性引入到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，分析了彈性基礎(chǔ)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)橫向振動(dòng)的影響規(guī)律。趙芳慧等[12]建立多平行軸系-軸承-箱體混合模型并開展其動(dòng)力學(xué)特性研究，分析了柔性支撐對軸系固有模態(tài)特性的影響規(guī)律。

本文為了研究彈性支承特性對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)應(yīng)變能分布等動(dòng)力學(xué)特性影響，以兩支點(diǎn)支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，建立其動(dòng)力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上給出了應(yīng)變能的計(jì)算公式，分析了支點(diǎn)支承剛度、剛度不對稱對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)振型及相應(yīng)的應(yīng)變能分布的影響規(guī)律。

1 基于有限元法的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型及其模態(tài)應(yīng)變能分析

1.1 基于有限元方法的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

針對由輪盤、轉(zhuǎn)軸、彈性支承結(jié)構(gòu)和支座等部件組成的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是典型的兩支點(diǎn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，采用有限元方法進(jìn)行建模和理論分析，并采取如下的簡化處理：1）轉(zhuǎn)軸視為具有均布質(zhì)量的彈性軸；2）輪盤視為具有回轉(zhuǎn)效應(yīng)的剛體，簡化為集中質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；3）基座、支座設(shè)為剛性；4）將彈性支承結(jié)構(gòu)視為線性，簡化為線性彈簧-阻尼單元，作用在轉(zhuǎn)子支點(diǎn)處。

基于有限元方法離散轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的過程中，對單元節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)編號。假設(shè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共有m個(gè)節(jié)點(diǎn)，則整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共有n=6m個(gè)自由度，系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、陀螺力矩矩陣、剛度矩陣均為n×n階。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)整體節(jié)點(diǎn)位移矢量為

在得到了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的整體質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和陀螺力矩矩陣后，即可獲得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

引入比例阻尼后，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可記為

式中，q，，分別為系統(tǒng)所有節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)位移、速度和加速度列陣；M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣；G，K分別為系統(tǒng)的陀螺力矩矩陣和剛度矩陣；Q為系統(tǒng)的廣義激振力矢量，包含不平衡激勵(lì)力和可能存在故障激勵(lì)力。引入的阻尼矩陣C記為

1.2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)應(yīng)變能分析

對于自由振動(dòng)狀態(tài)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不受力作用，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程(3)可以改寫成

為了求解這個(gè)方程的特征值，把原始系統(tǒng)的n×n階方程擴(kuò)展到2n×2n階，得到

對于自由振動(dòng)，位移有以下形式U

式中，Φ表示位移U的振幅；ωˉ和t分別表示特征值和時(shí)間。

將式(8)代入式(6)，得

這個(gè)方程是標(biāo)準(zhǔn)特征值的問題。通過上述分析，得到系統(tǒng)的振型，包括各節(jié)點(diǎn)的廣義位移（位移、轉(zhuǎn)角），在此基礎(chǔ)上進(jìn)行系統(tǒng)的應(yīng)變能分析。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的總應(yīng)變能包括：轉(zhuǎn)子的彈性應(yīng)變能（彎曲應(yīng)變能、剪切應(yīng)變能）、彈支支承的應(yīng)變能。系統(tǒng)總的應(yīng)變能Us可表示為

式中，q為系統(tǒng)的廣義位移向量；K為系統(tǒng)的剛度矩陣。

彈性支承的總應(yīng)變能Ue可表示為

式中，Uei為第i個(gè)彈性支承的應(yīng)變能(i=1:m)；qi為彈性支點(diǎn)處的廣義位移向量；Kei為第i個(gè)彈性支承的剛度矩陣[13]。

由于振型的變化與轉(zhuǎn)子、支承的變形能分布有關(guān)，通過轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)的應(yīng)變能在轉(zhuǎn)子、支承系統(tǒng)的分布（即所占的比例）可有效地確定轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)振型。

定義轉(zhuǎn)子的應(yīng)變能系數(shù)η，即轉(zhuǎn)子的彈性變形能在系統(tǒng)總應(yīng)變能中所占的比例，可表示為

式中，Us為系統(tǒng)總的應(yīng)變能之和；Ue為系統(tǒng)支承的彈性應(yīng)變能。

在以航空發(fā)動(dòng)機(jī)為代表的高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，希望在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的臨界轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子應(yīng)變能不超過發(fā)動(dòng)機(jī)總應(yīng)變能的20%～25%，以限制轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速時(shí)不能有太大的彎曲，盡可能接近剛體振型[14]。在本文系統(tǒng)模態(tài)振型分析中，采用引入的轉(zhuǎn)子應(yīng)變能系數(shù)來區(qū)分、評定模態(tài)振型。

2 支承特性對系統(tǒng)模態(tài)特性的影響

2.1 算例

針對典型兩支點(diǎn)彈支-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，建立其有限元模型(如圖1所示)，通過數(shù)值仿真分析支承剛度、支點(diǎn)剛度不對稱對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)振型及模態(tài)應(yīng)變能分布的影響規(guī)律。彈支轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的支承剛度是由軸承剛度和彈性鼠籠結(jié)構(gòu)剛度串聯(lián)得到的，而彈支鼠籠結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)小于軸承剛度(量級1e6N/m)，因此，支承剛度主要由彈支鼠籠結(jié)構(gòu)的剛度決定。分析中系統(tǒng)的基本參數(shù)如表1所示。

圖1 兩支點(diǎn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型Fig.1 Finite element model of two-fulcrum rotor system

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of rotor system

采用上述的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元建模方法，建立的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型(如圖1所示)，系統(tǒng)共有11個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)6個(gè)自由度，共66個(gè)自由度，轉(zhuǎn)盤位于6#節(jié)點(diǎn)處，系統(tǒng)兩端的兩支點(diǎn)分別位于2#、10#節(jié)點(diǎn)處，轉(zhuǎn)軸分為10段，軸段參數(shù)如表2 所示。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為1×66 維的位移矢量，可記為

表2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸段單元參數(shù)Tab.2 Shaft segment element parameters of rotor system

組集得到的系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M為66×66 階稀疏對稱矩陣，陀螺力矩矩陣G、阻尼矩陣C和剛度矩陣K均為66×66對稱矩陣。

在支點(diǎn)剛度對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性影響分析中，引入支承的當(dāng)量剛度的概念，即，支承剛度與轉(zhuǎn)子軸段的最小等效剛度的比值，可記為

式中，k為支點(diǎn)某方向上的剛度；ks0為轉(zhuǎn)子軸段的相應(yīng)方向上的最小等效剛度值。

根據(jù)Timoshenko 連續(xù)梁理論推導(dǎo)該系統(tǒng)轉(zhuǎn)軸單元?jiǎng)偠忍匦跃仃?，?jì)算轉(zhuǎn)子軸段的三個(gè)方向上的最小等效剛度值如表3 所示。給定支點(diǎn)當(dāng)量剛度，可由式(14)確定支點(diǎn)的支承剛度，表3 給出了當(dāng)量剛度分別為0.01，0.1，10,100時(shí)對應(yīng)的三個(gè)方向上的支承剛度。

2.2 支承特性對系統(tǒng)模態(tài)振型的影響

為研究支點(diǎn)支承剛度變化以及支點(diǎn)剛度不對稱對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)振型及其應(yīng)變能分布的影響和敏感性，分別針對如表4所示的幾種不同情況展開討論：1）兩支點(diǎn)完全相同時(shí)，兩支點(diǎn)的當(dāng)量剛度k*=k1*=k2*分別選取0.01，0.1，10；2）兩支點(diǎn)剛度不對稱時(shí)，支點(diǎn)1選取固定當(dāng)量剛度k*=0.001(即支點(diǎn)1 的剛度遠(yuǎn)小于轉(zhuǎn)軸剛度，小3 個(gè)量級，視為彈支)，支點(diǎn)2 的當(dāng)量剛度k*=k2*分別選取0.01，0.1，10；3）兩支點(diǎn)剛度不對稱時(shí)，支點(diǎn)1 選取固定當(dāng)量剛度k*=1000(即支點(diǎn)1的剛度遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)軸剛度，大3個(gè)量級，視為剛支)，支點(diǎn)2的當(dāng)量剛度k*=k2*分別選取0.01，0.1，10。針對如表4所示的支點(diǎn)對稱、支點(diǎn)不對稱的3類工況，通過仿真分析獲得支點(diǎn)剛度、支點(diǎn)不對稱對于系統(tǒng)模態(tài)振型的影響如圖2～圖4 所示，圖中ω為轉(zhuǎn)速（單位Hz），η為轉(zhuǎn)子的應(yīng)變能系數(shù)，當(dāng)η小于20%，視為剛體振型；超過20%時(shí)認(rèn)為轉(zhuǎn)子開始出現(xiàn)彎曲振型特征；在η大于80%，認(rèn)為轉(zhuǎn)子振型完全轉(zhuǎn)化為彎曲振型；η在20%～80%的區(qū)域，視為轉(zhuǎn)子-支承的耦合振型。

圖2 兩支點(diǎn)剛度相同時(shí)，支點(diǎn)剛度特性對系統(tǒng)一階模態(tài)振型及應(yīng)變能的影響Fig.2 When the two fulcrums stiffness are same,the influence of the fulcrum stiffness characteristics on the system first mode shape and strain energy

圖3 兩支點(diǎn)剛度不對稱k1*=0.001時(shí)，支點(diǎn)剛度特性對系統(tǒng)一階模態(tài)振型及應(yīng)變能的影響Fig.3 When the two fulcrums stiffness are asymmetric k1*=0.001,the effect of fulcrum stiffness characteristics on the first mode shape and strain energy of the system

表4 支點(diǎn)剛度特性對系統(tǒng)模態(tài)振型影響規(guī)律分析Tab.4 Analysis of the influence of the fulcrum stiffness characteristics on the system modal shape

由表4和圖2～圖4可以看出，隨著支點(diǎn)當(dāng)量剛度k*的增大，系統(tǒng)固有頻率增大，轉(zhuǎn)子的彈性應(yīng)變能系數(shù)均呈現(xiàn)不同程度的增大。針對兩端支點(diǎn)相同以及兩支點(diǎn)不對稱的情況（一端彈支k1*=0.001、一端剛支k1*=1000），在支點(diǎn)2當(dāng)量剛度k2*分別選取0.01，0.1，10時(shí)，一階固有頻率增大，轉(zhuǎn)子應(yīng)變能系數(shù)呈增加趨勢，轉(zhuǎn)子應(yīng)變能在系統(tǒng)總應(yīng)變能中的比重升高，轉(zhuǎn)子一階模態(tài)振型由剛體振型到轉(zhuǎn)子-支承耦合振型再到完全的彎曲振型轉(zhuǎn)化。其中一端彈支的情況，k2*為0.01和0.1，轉(zhuǎn)子的一階模態(tài)振型均表現(xiàn)為剛體振型；而一端剛支的情況，并未出現(xiàn)剛體振型，絕大部分應(yīng)變能始終在轉(zhuǎn)軸上。

2.3 支承特性對系統(tǒng)模態(tài)應(yīng)變能分布的影響

為進(jìn)一步分析支點(diǎn)支承剛度變化對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)應(yīng)變能分布的影響，針對如表6 所示的三類不同情況進(jìn)行分析：(1）兩支點(diǎn)完全相同時(shí)，兩支點(diǎn)的當(dāng)量剛度k*在0.001 到1000的變化；(2）支點(diǎn)剛度不對稱，一端彈支的情況，支點(diǎn)1當(dāng)量剛度k1*為0.001，支點(diǎn)2的當(dāng)量剛度在0.001到1000的變化；(3）支點(diǎn)剛度不對稱，一端剛支的情況，支點(diǎn)1當(dāng)量剛度k1*為1000，支點(diǎn)2 的當(dāng)量剛度在0.001 到1000 的變化。獲得支點(diǎn)剛度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)應(yīng)變能分布的影響如圖5所示。

圖5 不同工況下，支點(diǎn)剛度特性對轉(zhuǎn)子應(yīng)變能分布的影響曲線Fig.5 Influence curve of fulcrum stiffness characteristics on rotor strain energy distribution under different working conditions

表6 支點(diǎn)剛度對系統(tǒng)模態(tài)應(yīng)變能分布影響規(guī)律分析Tab.6 Analysis of the influence of fulcrum stiffness on the modal strain energy distribution of the system

由圖5 可以看出：1）兩支點(diǎn)相同時(shí)，當(dāng)支點(diǎn)當(dāng)量剛度k*低于或遠(yuǎn)低于0.01時(shí)，轉(zhuǎn)軸的應(yīng)變能系數(shù)小于20%，即該模態(tài)下轉(zhuǎn)軸基本不發(fā)生彈性變形，主要變形發(fā)生在彈性支承處，對應(yīng)的模態(tài)振型表現(xiàn)為剛體振型。針對兩支點(diǎn)不對稱，一端彈支的情況，k*在0.001到1的范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)子均為剛體模態(tài)。然而，兩支點(diǎn)不對稱一端剛支的情況，沒有出現(xiàn)剛體模態(tài)；2）兩支點(diǎn)相同時(shí)，當(dāng)量剛度k*高于或遠(yuǎn)高于10時(shí)，轉(zhuǎn)軸的應(yīng)變能系數(shù)大于80%，即該模態(tài)下主要變形主要分布在轉(zhuǎn)軸上，而彈性支承處基本不發(fā)生彈性變形，主要表現(xiàn)為彎曲振型。兩支點(diǎn)不對稱一端剛支的情況，當(dāng)量剛度k*大于0.1后，均為彎曲模態(tài)，而k*在0.001到0.1范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)子應(yīng)變能系數(shù)η在20%～80%的區(qū)域，視為轉(zhuǎn)子-支承的耦合振型；3）應(yīng)變能分布相對于當(dāng)量剛度k*變化的敏感范圍分別為，兩支點(diǎn)相同時(shí)0.01～10、支點(diǎn)不對稱一端彈支時(shí)1～100、支點(diǎn)不對稱一端剛支時(shí)0.001～0.1。

3 結(jié)論

本文以兩支點(diǎn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，基于旋轉(zhuǎn)梁理論和有限元理論建立了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，通過數(shù)值仿真分析了支點(diǎn)支承剛度、剛度不對稱對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)振型及相應(yīng)的應(yīng)變能分布的影響規(guī)律，得到如下結(jié)論：

1）支承剛度特性對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)振型及其應(yīng)變能分布有重要的影響。尤其當(dāng)支承剛度與轉(zhuǎn)子剛度相近時(shí)(當(dāng)量剛度k*在0.1～10的變化范圍內(nèi))，支承剛度變化對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力特性變化非常敏感，系統(tǒng)模態(tài)振型和應(yīng)變能分布隨著支承剛度的增減會表現(xiàn)出很大的變化和差異。而當(dāng)支承剛度較大時(shí)(當(dāng)量剛度k*大于10 時(shí))，支承剛度變化對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力特性變化并不敏感，系統(tǒng)模態(tài)振型和應(yīng)變能分布隨著支承剛度的增減變化不大。

2）提出的轉(zhuǎn)子的應(yīng)變能系數(shù)η可作為區(qū)分系統(tǒng)模態(tài)振型的重要參數(shù)。當(dāng)η小于20%，轉(zhuǎn)子基本不發(fā)生變形，視為剛體振型；在η超過80%時(shí)，變形主要發(fā)生在轉(zhuǎn)軸上，可視為完全彎曲振型；η在20%～80%的范圍，視為轉(zhuǎn)子-支承的耦合振型。