■廣東省汕頭市澄海鳳翔中學(xué) 徐春生

一、由定義求離心率

例1設(shè)F1、F2分別是橢圓)的左、右焦點(diǎn),M為直線y=2b上的一點(diǎn),△F1MF2是等邊三角形,則橢圓C的離心率為( )。

解析:因?yàn)椤鱂1MF2是等邊三角形,M為直線y=2b上的一點(diǎn),所以M(0,2b),|MF1|=|F1F2|,即

因?yàn)閎2=a2-c2,所以4a2=7c2,即a=。

所以橢圓C的離心率,選C。

點(diǎn)評(píng):根據(jù)橢圓或雙曲線的定義,求出a,c或列出關(guān)于a,c的等式,得到關(guān)于e的方程,進(jìn)行求解。

二、由幾何性質(zhì)求離心率

例3設(shè)F1、F2分別為雙曲線C:的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線C上一點(diǎn)。若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°,則雙曲線C的離心率為_(kāi)____。

解析:根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性,不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,則解得

又因?yàn)閨F1F2|=2c,所以△PF1F2中|PF2|最小,故∠PF1F2=30°。

解析:如圖1,設(shè)PF1的中點(diǎn)為M,連接PF2。因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn),所以O(shè)M//PF2, ∠PF2F1=∠MOF1=90°。

圖1

因?yàn)椤螾F1F2=30°,所 以|PF1| = 2|PF2|,|F1F2| =

由橢圓的定義得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|,所以

點(diǎn)評(píng):涉及焦點(diǎn)三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等來(lái)求得e的值。

三、由齊次方程求離心率

例5已知橢圓b>0),A,B分別為橢圓C的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),F為右焦點(diǎn),且AB⊥BF,則橢圓C的離心率為_(kāi)____。

解析:在△ABF中,|BF|=a,|AF|=a+c。

由AB⊥BF,得|AB|2+|BF|2=|AF|2。將b2=a2-c2代入,得a2-ac-c2=0,即e2+e-1=0,解得

因?yàn)?

例6雙曲線若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在雙曲線E上,AB,CD的中點(diǎn)為雙曲線E的兩個(gè)焦點(diǎn),且2|AB|=3|BC|,則雙曲線E的離心率是 。

圖2

又因?yàn)?|AB| =3|BC|,所以2c,即2b2=3ac。

因?yàn)閎2=c2-a2,所以2(c2-a2)=3ac。兩邊同除以a2并整理得2e2-3e-2=0,解得e=2或(舍去),所以雙曲線E的離心率是2。

點(diǎn)評(píng):利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系建立關(guān)于參數(shù)a,b,c的關(guān)系式,結(jié)合c2=a2+b2(或a2=b2+c2),化簡(jiǎn)為參數(shù)a,c的關(guān)系式進(jìn)行求解。