■河南省南陽市一中 王喜朝

解析幾何是考查“數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯思維,數(shù)學(xué)建模”等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的絕佳載體,是對(duì)同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維、科學(xué)思維影響最大的一個(gè)模塊。解析幾何是“多思考少計(jì)算的最佳代表”,研究解析幾何中的經(jīng)典解法很有意義,用一句話來概括就是:幾何優(yōu)先,代數(shù)為本,優(yōu)化算法,熟記結(jié)論。下面筆者結(jié)合實(shí)例來說明,以期能夠拋磚引玉。

一、巧用圖形性質(zhì)捕捉幾何解法

解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范,不同的題型側(cè)重點(diǎn)有所不同,由于幾何解法不易嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)出來,故幾何解法更多地在填空、選擇題中體現(xiàn)。很多圓錐曲線題如果能夠找到幾何解法,就會(huì)比代數(shù)解法簡便。

例1(2022 年新高考Ⅰ卷第16 題)已知橢圓C,橢圓C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,離心率為。過F1且垂直于AF2的直線與橢圓C交于D,E兩點(diǎn),|DE|=6,則△ADE的周長是____。

如圖1,因?yàn)闄E圓C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,所以△AF1F2為等邊三角形。

圖1

因過F1且垂直于AF2的直線與橢圓C交于D,E兩點(diǎn),故

由等腰三角形的性質(zhì)可得,|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|。

設(shè)直線DE的方程為D(x1,y1),E(x2,y2)。

將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,化簡可得13x2+8cx-32c2=0。

點(diǎn)評(píng):利用等腰三角形三線合一,得出△ADE?△F2DE,進(jìn)而用橢圓定義求周長,避免了直接計(jì)算三邊長的煩瑣計(jì)算。

二、厘清圖形生成過程,找到解題思路

解析幾何的基本思想是用代數(shù)解析方法解決幾何問題,因此解析法是處理解析幾何問題的根本方法。通過厘清圖形的生成過程,依據(jù)正確的畫圖順序來順藤摸瓜,是找到解析幾何解題思路的一種常用方法。

(1)求橢圓的方程。

(2)如圖2,設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)H。若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直線l的斜率的取值范圍。

圖2

分析:本題(2)中,命題人不僅未提供圖形,還故意打亂了圖形的生成過程,大大增加了思維難度。我們經(jīng)過認(rèn)真梳理,發(fā)現(xiàn)應(yīng)該是這樣的作圖順序:設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上),連接BF,過F作FH⊥BF交y軸于H,過H作HM⊥l于M。這樣,由B點(diǎn)坐標(biāo)求出直線BF的方程,進(jìn)而求出FH的方程,得到H點(diǎn)坐標(biāo),從而得到HM的方程,最終解出M點(diǎn)坐標(biāo)。再化簡條件:∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|,即xM≥1。解題思路是先聯(lián)立方程組求B,再根據(jù)BF⊥HF求出H,然后求出xM,代入xM≥1解出取值范圍。

點(diǎn)評(píng):厘清圖形生成的過程,畫出圖形,進(jìn)而追根溯源,就容易找出代數(shù)解析方案。

三、探究命題意圖,優(yōu)化解題方案

認(rèn)真審題是正確解題的前提。深刻領(lǐng)會(huì)命題人的命題意圖,正確提取題中信息,把所求問題準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為等價(jià)的更簡捷的數(shù)學(xué)問題是解決壓軸題的必備素養(yǎng)。

例3(2020年新高考Ⅰ卷)已知橢圓)的離心率為,且過點(diǎn)A(2,1)。

(1)求橢圓C的方程。

(2)點(diǎn)M,N在橢圓C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足,證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值。

分析:(1)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程組,求解方程組可確定橢圓的方程為。(2)中存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值,表面上說的是求證點(diǎn)D的軌跡為一個(gè)圓,注意到AD⊥MN,就可以明白命題人的真實(shí)意圖是讓證明直線MN過定點(diǎn),這樣思路就完全打開了。設(shè)出點(diǎn)M,N的坐標(biāo),當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)方程為y=kx+m, 聯(lián)立直線方程與橢圓方程,根據(jù)已知條件可得到m,k的關(guān)系式,進(jìn)而得直線MN恒過定點(diǎn);當(dāng)直線斜率不存在時(shí),要單獨(dú)驗(yàn)證,然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)Q的位置。

i)如圖3,當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),設(shè)方程為y=kx+m。

圖3

代入橢圓方程消去y,并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0。

根據(jù)y1=kx1+m,y2=kx2+m,代入①整理可得:

(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0。

因?yàn)锳(2,1)不在直線MN上,所以2k+m-1≠0,2k+3m+1=0,k≠1。

于是MN的方程為

ii)如圖4,當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),可得N(x1,-y1)。

圖4

代入(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,得(x1-2)2+1-y21=0。

由于AE為定值,且△ADE為直角三角形,AE為斜邊,所以AE中點(diǎn)Q滿足|QD|為定值(AE長度的一半)。

由于A(2,1),,故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

點(diǎn)評(píng):本題關(guān)鍵是做第二問時(shí)領(lǐng)悟出命題人本意是把問題轉(zhuǎn)化為直線MN經(jīng)過定點(diǎn),避免直譯求點(diǎn)D軌跡,從而使解題方案得到優(yōu)化。

四、感悟巧思妙解,攻克運(yùn)算瓶頸

傳統(tǒng)的聯(lián)立方程使用韋達(dá)定理設(shè)而不求的方法是解析幾何的基本方法,但是有時(shí)計(jì)算量較大,以至于許多同學(xué)知道思路但無法正確算出最后結(jié)果。因此,平時(shí)需要積累一些題型的巧思妙解,讓同學(xué)們感悟其能簡化運(yùn)算的原因,進(jìn)而自覺去應(yīng)用,這一點(diǎn)意義重大,很有必要。例如,當(dāng)處理斜率乘積及斜率和為定值的定點(diǎn)定值問題時(shí),就可以用齊次化方法來解。

例4(2017 年全國Ⅰ卷)已知橢圓,四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),中恰有三點(diǎn)在橢圓上。

(1)求橢圓C的方程。

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)P2,且與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:直線l過定點(diǎn)。

解析:(1)因?yàn)辄c(diǎn)P3,P4關(guān)于x軸對(duì)稱,四個(gè)點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在橢圓上,所以P3,P4一定同時(shí)在橢圓上,點(diǎn)P1不在橢圓上。因?yàn)镻2(0,1)在橢圓上,所以b=1。解得橢圓方程為

(2)(解法一)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1和k2。如果直線l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t≠0且|t|<2,可得A,B的坐標(biāo)分別是,于是,得t=2,不符合題意。

從而可設(shè)l:y=kx+m(m≠1),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得:

(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0。

由題設(shè)可知Δ=16(4k2-m2+1)>0。

代入直線l的方程mx+n(y-1)=1,化簡得n(y+1)=-m(x-2),所以直線l過定點(diǎn)(2,-1)。

點(diǎn)評(píng):齊次化法能解決兩條直線斜率之和(積)為定值的圓錐曲線問題,運(yùn)算量相對(duì)較小。類似的技巧還有:巧用韋達(dá)定理求點(diǎn)坐標(biāo),巧用同理求點(diǎn)坐標(biāo),巧用直線參數(shù)方程求線段乘積等。同學(xué)們可以循序漸進(jìn)去積累,并真正弄懂悟透,不要急于求成,以免欲速則不達(dá)。

五、熟記基本結(jié)論,節(jié)省解題時(shí)間

課后練習(xí)、作業(yè)、考試試卷中會(huì)有一些問題的奇妙結(jié)論,我們可以把這些結(jié)論提取出來進(jìn)行記憶,并經(jīng)?？偨Y(jié)、整理、復(fù)習(xí)、應(yīng)用。比如例1 中算出后,可以利用橢圓的焦點(diǎn)弦長公式快速得到