王盈余,管聲啟,于資江

(西安工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,西安 710048)

0 引言

在現(xiàn)代運(yùn)動(dòng)控制技術(shù)中,運(yùn)動(dòng)平臺(tái)是不可或缺的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)設(shè)備。目前,高平穩(wěn)性、高柔性的精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)已經(jīng)成為微型裝配、半導(dǎo)體光刻、精密測(cè)量等等應(yīng)用的基礎(chǔ),其各項(xiàng)指標(biāo)也是衡量我國(guó)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的一個(gè)重要標(biāo)志[1-2]。對(duì)于開(kāi)環(huán)的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)控制系統(tǒng),其運(yùn)動(dòng)精度和加減速控制算法的好壞息息相關(guān),通過(guò)加減速控制算法避免在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)啟動(dòng)和停止時(shí)發(fā)生沖擊以及震蕩,從而可提高運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)精度。因此,加減速算法的性能對(duì)于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的精度是至關(guān)重要的[3]。

傳統(tǒng)S型加減速算法也是比較常用的一種加減速控制算法,但其Jerk曲線(xiàn)存在突變,加速度曲線(xiàn)不光滑[4]。針對(duì)S型加減速算法,李哲等[5]將S型加減速算法應(yīng)用在3D打印機(jī)中,把傳統(tǒng)的7段S型加減速算法改進(jìn)為5段加減速算法,有效的減少了打印過(guò)程中所存在的柔性沖擊,但缺少了速度銜接點(diǎn)處的分析;趙翔宇等[6]提出了基于三次S曲線(xiàn)的加減速算法,簡(jiǎn)化了計(jì)算量,但是其勻速階段的開(kāi)始和結(jié)束階段還是存在階躍突變;李金良等[7]在四自由度機(jī)器人應(yīng)用中提出了一種加減速控制算法,為進(jìn)一步對(duì)沖壓機(jī)器人進(jìn)行相關(guān)動(dòng)力學(xué)分析和參數(shù)優(yōu)化提供參考,但是其加加速度曲線(xiàn)并不連續(xù),還是存在突變;游達(dá)章等[8]提出了一種新的四次S型加減速控制算法,有效的減少了加工時(shí)間,降低了柔性沖擊,但是其將傳統(tǒng)的七段S型加減速擴(kuò)充至11段,計(jì)算繁瑣復(fù)雜,不適合在內(nèi)存有限的嵌入式系統(tǒng)應(yīng)用。

綜上所述,本文以正弦函數(shù)為基礎(chǔ),構(gòu)造Jerk曲線(xiàn),應(yīng)用切夫雪比多項(xiàng)式逼近正弦函數(shù),進(jìn)而獲得完整的加減速算法,并根據(jù)基礎(chǔ)的方程進(jìn)一步推導(dǎo)出各階段具體的時(shí)間規(guī)劃,給出針對(duì)各種情況的具體速度規(guī)劃,最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了本文所改進(jìn)算法的有效性。

1 改進(jìn)S型加減速Jerk曲線(xiàn)的構(gòu)造

三角函數(shù)具有良好的柔性度,在本文的改進(jìn)S型加減速算法中,將正弦曲線(xiàn)引入加減速算法的Jerk曲線(xiàn)中,其加速度函數(shù)為:

(1)

式中:T為加速度加速時(shí)間,式(1)在t=T/2處取得最大加加速度值Jmax。

但是由于嵌入式系統(tǒng)內(nèi)存有限中,對(duì)于三角函數(shù)的計(jì)算比較復(fù)雜,不適合滿(mǎn)足實(shí)時(shí)的計(jì)算的要求,所以,本文采用切比雪夫多項(xiàng)式,對(duì)于正弦函數(shù)進(jìn)行逼近,以此來(lái)減少嵌入式系統(tǒng)的運(yùn)算量。

若令:

(2)

將式(2)代入式(1),可得:

j(x)=-Jmaxsin(πx)

(3)

此時(shí)使用切夫雪比多項(xiàng)式對(duì)sin(πx)進(jìn)行逼近,且階數(shù)取至4階,可得到:

(4)

為了使加加速階段的Jerk曲線(xiàn)更具有對(duì)稱(chēng)性,對(duì)上式關(guān)于t=T/2對(duì)稱(chēng),可得到:

(5)

將式(4)和式(5)相加后便可得到[0,T]區(qū)間內(nèi)的Jerk曲線(xiàn)方程:

(6)

式中:k為待定系數(shù),并且在[0,T],滿(mǎn)足j(t)≤Jmax,得到的Jerk曲線(xiàn)如圖1所示。由于在t=T/2處時(shí),取得最大加加速度Jmax,由此可得出待定系數(shù)|k|=4Jmax[9]。

圖1 Jerk曲線(xiàn)圖

2 改進(jìn)S型加減速算法

將通過(guò)切比雪夫多項(xiàng)式逼近的正弦曲線(xiàn)引入Jerk曲線(xiàn),采用類(lèi)似于傳統(tǒng)S型加減速的七段控制特點(diǎn),可得到本文中所提出的改進(jìn)后的加減速曲線(xiàn)的加速度方程、速度方程和位移方程的七段表達(dá)式。

Jerk曲線(xiàn)方程:

(7)

加速度曲線(xiàn)方程:

(8)

速度曲線(xiàn)方程:

(9)

位移曲線(xiàn)方程:

(10)

式中:vs是電機(jī)運(yùn)行的初始速度,ve是電機(jī)運(yùn)行的末速度,vm是電機(jī)運(yùn)行的最大速度,am為最大加速度,dm為最大減速度,vi(i=1,2,3,4,5,6)是本文提出的改進(jìn)算法每個(gè)階段的初始速度,si(i=1,2,3,4,5,6,7)是每個(gè)階段的初始位置,τi(i=1,2,3,4,5,6,7)是每個(gè)階段初始時(shí)間為零的局部時(shí)間,Ti(i=1,2,3,4,5,6,7)為每個(gè)階段運(yùn)行時(shí)的總時(shí)間。

在得出改進(jìn)S型加減速的加加速度、加速度、速度和位移的曲線(xiàn)方程后,就需要根據(jù)不同的運(yùn)動(dòng)參數(shù),做出不同的加減速規(guī)劃,總的規(guī)劃流程如圖2所示。

圖2 改進(jìn)S型加減速算法規(guī)劃流程圖

根據(jù)改進(jìn)的S型加減速曲線(xiàn)可知,在加速度段,必然存在一個(gè)加速度增加段和一個(gè)加速度遞減段,且兩個(gè)過(guò)程所需時(shí)間相同。同時(shí),在減速度過(guò)程中,同樣存在一個(gè)遞增的減速段和一個(gè)遞減的減速段,其所需時(shí)間也是相同的。由此,可根據(jù)是否可以達(dá)到最大速度vm以及最大速度的大小推斷出加速段和減速段中各個(gè)階段所需的具體時(shí)間。也可根據(jù)是否存在勻速段的位移,判斷出是否存在勻速段。

(11)

(12)

(13)

(14)

根據(jù)上述原理,計(jì)算出了加速階段和減速階段的具體的時(shí)間規(guī)劃。由此,便可計(jì)算出不包含勻速階段的參考位移M。

(15)

假設(shè)實(shí)際位移為S,當(dāng)S≥M時(shí),則存在一個(gè)勻速階段,勻速階段時(shí)間可由下式推出:

T4=(S-M)/vm

(16)

如果S

(1)CASE1:此時(shí)ve≤vs

(17)

若實(shí)際位移S>M1&S≤M,則必然存在勻加速階段,在該情況下每個(gè)階段所需的具體時(shí)間為:

(18)

最大速度vm可由式(15)和式(18)解出,最大速度公式為:

(19)

當(dāng)|S-M1|

(20)

最大速度vm可通過(guò)式(19)解出,方法同上,此時(shí)最大速度vm為:

(21)

當(dāng)S

(22)

在該情況下,由于實(shí)際位移S過(guò)小,最大加速度將隨實(shí)際位移S發(fā)生改變:

(23)

(2)CASE2:此時(shí)vs

(24)

與CASE1同理,將實(shí)際位移S與參考位移M2大小進(jìn)行對(duì)比,分3種情況討論,便可計(jì)算得出在每種情況下各個(gè)階段所需具體時(shí)間,并可求解出在實(shí)際位移不足情況下,在當(dāng)前位移下自由加速所能到達(dá)的最大速度vm,由此便可完成該情況下的加減速算法規(guī)劃。

3 改進(jìn)“S”加減速算法仿真分析

在采用本文所改進(jìn)的加減速算法進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制時(shí),需根據(jù)所應(yīng)用的實(shí)際情況,給出確定的運(yùn)動(dòng)控制參數(shù)。本文通過(guò)MATLAB編程環(huán)境,對(duì)不同初始參數(shù)的加減速曲線(xiàn)進(jìn)行了仿真。

為了比較本所設(shè)設(shè)計(jì)算法相對(duì)于傳統(tǒng)S型加減速算法的優(yōu)勢(shì),設(shè)計(jì)了以下參數(shù)下的對(duì)比實(shí)驗(yàn):vs=0 mm/s,ve=0 mm/s,am=20 mm/s2,dm=20 mm/s2,Jmax=3 mm/s3,實(shí)際位移S=16 mm。

在該實(shí)驗(yàn)中,存在勻速階段、勻加速階段以及勻減速階段。其速度、加速度、加加速度曲線(xiàn)如圖3所示。

(a) Jerk曲線(xiàn)

(b) 加速度曲線(xiàn) (c) 速度曲線(xiàn)

通過(guò)圖3可知,在該仿真參數(shù)下,傳統(tǒng)S型加減速加加速度曲線(xiàn)存在階躍變化,會(huì)導(dǎo)致在加加速度轉(zhuǎn)換點(diǎn)出現(xiàn)柔性沖擊,造成電機(jī)運(yùn)行不穩(wěn)定,影響高精度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)精度以及平穩(wěn)性。并且傳統(tǒng)S型加減速加速度曲線(xiàn)不光滑,限制了高精度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的柔性控制。本文所改進(jìn)的加減速算法加加速度曲線(xiàn)連續(xù),加速度曲線(xiàn)光滑,速度曲線(xiàn)在加加速階段、加減速階段、減加速階段、減減速階段相對(duì)于傳統(tǒng)S型曲線(xiàn)更加光滑,進(jìn)而提高了高精度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的控制穩(wěn)定性。

在根據(jù)本文提出的加減速控制算法進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制時(shí),還需根據(jù)初始條件,計(jì)算出加減速各個(gè)階段具體的時(shí)間規(guī)劃。根據(jù)算法特性,給出了4組比較有代表性的參數(shù),進(jìn)行仿真驗(yàn)證。為了使驗(yàn)證具有可比性,在4組仿真實(shí)驗(yàn)中,最大加加速度Jmax=3 mm/s3,最大加速度am=20 mm/s2,最大減速度為dm=20 mm/s2。

(1)設(shè)定初始參數(shù)為:vs=200 mm/s,ve=0 mm/s,S=12 mm,在該參數(shù)下,實(shí)際位移|S-M1|

(a) 速度曲線(xiàn)圖 (b) 加速度曲線(xiàn)圖

(2)設(shè)定初始參數(shù)為:vs=100 mm/s,ve=0 mm/s,S=12.25 mm,在該參數(shù)下,實(shí)際位移S>M1,符合CASE1條件,所以此時(shí)的速度規(guī)劃中存在勻加速階段,其加減速仿真曲線(xiàn)如圖5所示。

(a) 速度曲線(xiàn)圖 (b) 加速度曲線(xiàn)圖

(3)設(shè)定初始參數(shù)為:vs=0 mm/s,ve=200 mm/s,S=12 mm,在該參數(shù)下,實(shí)際位移|S-M2|

(a) 速度曲線(xiàn)圖 (b) 加速度曲線(xiàn)圖

(4)設(shè)定初始參數(shù)為:vs=0 mm/s,ve=100 mm/s,S=12.25 mm。在該參數(shù)下,實(shí)際位移S>M2,符合CASE2條件,所以此時(shí)的速度規(guī)劃中存在勻減速階段,其加減速仿真曲線(xiàn)如圖7所示。

(a) 速度曲線(xiàn)圖 (b) 加速度曲線(xiàn)圖

由圖4～圖7的仿真結(jié)果可以看出,在行程不足的情況下,加減速算法所規(guī)劃出的曲線(xiàn)便不是七段的加減速曲線(xiàn),而是修正后的加減速曲線(xiàn),根據(jù)參數(shù)不同,加減速曲線(xiàn)也有相應(yīng)的變化。在不同的初始參數(shù)下,本文所設(shè)計(jì)的加減速算法均可完成速度規(guī)劃,仿真曲線(xiàn)連續(xù)且光滑。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以正弦函數(shù)為基礎(chǔ),構(gòu)建了七段式的Jerk曲線(xiàn)方程,并經(jīng)過(guò)進(jìn)一步推導(dǎo),得到改進(jìn)的加減速控制算法。該算法Jerk曲線(xiàn)變化連續(xù)且光滑,減少了加加速度轉(zhuǎn)換點(diǎn)處存在的柔性沖擊,簡(jiǎn)化了計(jì)算量。通過(guò)仿真結(jié)果表明,相較于傳統(tǒng)S型加減速,本文算法所構(gòu)造的速度曲線(xiàn)更加平滑。同時(shí),在不同的初始條件下,均可獲得平滑的速度曲線(xiàn),提高了運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)精度。