周士冬,韓振華,石萬凱,單文桃,劉 昶

(1.江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院,常州 213001;2.重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400044;3.成都大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,成都 610106)

0 引言

RV(rotating vector)減速器具有傳動比范圍大、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動精度高、運(yùn)行平穩(wěn)、噪聲低、傳動效率高、工作可靠等優(yōu)點(diǎn),在工業(yè)機(jī)器人、高精度機(jī)床、自動化設(shè)備等領(lǐng)域的發(fā)揮著重要作用[1]。擺線針輪齒輪副作為RV減速器中的關(guān)鍵傳動部件,其承載傳動性能是精密RV減速器設(shè)計中的重要環(huán)節(jié),因此建立精確的擺線針輪承載接觸分析方法顯得尤為重要。

擺線針輪承載接觸分析主要采用解析法和有限元法,有限元法方面:孫曉超等[2]通過ANSYS建立RV-40E減速器的有限元分析模型,分析了針齒沿擺線輪齒根到齒頂連續(xù)動態(tài)嚙合的接觸應(yīng)力變化規(guī)律。張躍明等[3]利用有限元分析軟件ANSYS WorkBench,建立擺線輪彈性轉(zhuǎn)角模型,對修形后的擺線針輪進(jìn)行齒間加載接觸分析。SU等[4]利用有限元法建立了擺線針輪的剛?cè)狁詈戏治瞿Ｐ汀Ｓ邢拊ㄇ蠼饩雀?但計算精確度依賴于模型的網(wǎng)格質(zhì)量和局部網(wǎng)格的細(xì)化程度,龐大的網(wǎng)格數(shù)量,將降低模型計算效率,增加求解時間,同時也存在難收斂的問題。

解析法主要是前蘇聯(lián)柯特略者夫提出的輪齒作用力解析力學(xué)方法(后簡稱傳統(tǒng)算法)[5],以及在此基礎(chǔ)上發(fā)展的LTCA(load tooth contact analysis)[6]。何衛(wèi)東等[7]考慮擺線輪修形引起初始間隙的影響,基于赫茲接觸原理,建立了各齒對的嚙合力與接觸變形的函數(shù)關(guān)系式,并利用扭矩平衡原理進(jìn)行迭代求解,計算出嚙合齒數(shù)、嚙合力和接觸變形。張東生等[8]在傳統(tǒng)受力分析的基礎(chǔ)上,通過變形協(xié)調(diào)原理,提出了一種擺線針輪動態(tài)受力分析方法。蒙運(yùn)紅等[9]將實(shí)際齒廓公法線上的距離作為嚙合間隙,提出了一種修形擺線針輪初始間隙計算方法。LI等[10]考慮修形誤差和偏心距誤差的影響,基于承載接觸分析模型,提出了一種計算嚙合剛度的新方法。LIN等[11]提出了一種基于擺線齒廓離散化的擺線針輪輪齒接觸分析方法。楊婧釗等[12]考慮擺線針輪傳動過程中節(jié)點(diǎn)位置的變化對嚙合間隙的影響,基于輪齒接觸分析,提出一種新的嚙合間隙計算方法。HUANG等[13]考慮接觸齒面的摩擦以及擺線輪的支撐軸承剛度,提出了一種基于影響系數(shù)法的擺線針輪承載接觸分析方法。傳統(tǒng)算法常采用初始法向間隙作為嚙合間隙,只能計算初始位置的嚙合間隙,而LTCA的共軛方程的求解對初值非常敏感,且忽視了擺線輪隨輸入軸公轉(zhuǎn)消隙的過程,同時,其承載力學(xué)模型依舊基于法向間隙作為嚙合間隙,未考慮擺線針輪的承載變形下的自轉(zhuǎn)形式,使得嚙合間隙計算結(jié)果與實(shí)際有所誤差。

鑒于此,本文從嚙合間隙入手,考慮擺線輪先公轉(zhuǎn)嚙合,后承載變形的初始運(yùn)動形式,提出擺線輪自轉(zhuǎn)方向上的最短弧長作為周向間隙,基于轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)法和坐標(biāo)變換原理,建立周向間隙幾何模型,運(yùn)用變形協(xié)調(diào)條件、赫茲接觸理論及扭矩平衡方程建立擺線針輪承載接觸分析模型。

1 傳統(tǒng)初始法向間隙計算方法

圖1 初始法向間隙分布圖

(1)

式中:φi是第i個針齒相對于轉(zhuǎn)臂O1O2的轉(zhuǎn)角,K1為短幅系數(shù),Δrp為移距修形量,Δrrp為等距修形量。

然而,該方法存在以下不足之處:

(1)初始法向間隙式是基于一定假設(shè)條件推導(dǎo)出來的,與實(shí)際有一定的誤差。根據(jù)初始法向間隙式(1)可知,Di=0時可求出φ0=arccosK1,即在此φ0處有一個針齒和擺線輪接觸,其它各齒對的初始法向間隙是在此條件下計算出的。實(shí)際中,針齒是等相位分布在針輪分布圓上,在φ0處未必存在針齒與擺線輪接觸,這將導(dǎo)致各齒對之間的初始法向間隙與實(shí)際差別。

(2)初始法向間隙式是針對擺線輪和針輪初始位置處,隨著擺線針輪行星傳動,無法求得任意輸入轉(zhuǎn)角下各齒對的初始法向間隙,只能求初始位置下的初始法向間隙,無法準(zhǔn)確計算空載和承載傳動誤差,通用性不強(qiáng)。

2 周向間隙計算方法

2.1 周向間隙的計算原理

針對初始法向間隙計算方法存在的問題,從嚙合間隙入手,考慮擺線輪先公轉(zhuǎn)嚙合,后承載變形的初始運(yùn)動形式,提出了一種以周向間隙作為嚙合間隙的擺線針輪承載接觸分析計算方法,具體原理為:

圖2 擺線輪與針輪由初始位置到接觸示意圖

圖3 擺線輪與針輪由接觸到變形示意圖

2.2 周向間隙幾何建模

圖4 擺線針輪行星傳動坐標(biāo)系統(tǒng)

(2)

(3)

式中:Km為修形后的短幅系數(shù),Km=aZp/(rp+Δrp)。

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

2.3 周向間隙模型求解

具體周向間隙模型求解如下:

(10)

步驟3:為計算φ1時最先接觸齒對轉(zhuǎn)過的角度,使i=1,…,Zp/2,重復(fù)上述步驟1和步驟2求得各齒對周向公轉(zhuǎn)角θi,通過比較各齒對周向公轉(zhuǎn)角θi大小得到最小周向公轉(zhuǎn)角θmin,可表示為:

θmin=min(θi)

(11)

(12)

(13)

2.4 擺線針輪實(shí)際力臂的計算

圖5 各齒對力臂示意圖

(14)

3 擺線針輪承載接觸分析

根據(jù)上述方法提出擺線針輪周向間隙與實(shí)際力臂計算方法,建立變形協(xié)調(diào)與扭矩平衡條件,即可建立修形擺線針輪承載接觸分析模型。

3.1 擺線針輪嚙合齒數(shù)判定與變形協(xié)調(diào)條件

如圖6所示,在空載狀態(tài)下,當(dāng)擺線輪轉(zhuǎn)過最小周向公轉(zhuǎn)角θmin,一針齒與擺線輪剛好接觸,其它各齒對之間存在大小不等的間隙角θci。由于阻力矩Tc的作用,各齒對產(chǎn)生接觸變形δi,使得擺線輪產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形角Δθ,當(dāng)扭轉(zhuǎn)變形角Δθ大于各齒對的間隙角θci時,該齒對參與嚙合,否則不參與嚙合。第i個齒對的接觸變形δi與力臂li呈定比例關(guān)系(變形協(xié)調(diào)條件),其關(guān)系式為:

圖6 間隙與扭轉(zhuǎn)變形角示意圖

(15)

3.2 嚙合力與接觸應(yīng)力計算方法

根據(jù)赫茲接觸理論[15],擺線輪和針齒的接觸可以假設(shè)為兩個平行圓柱體的接觸,其接觸變形wi可表示為:

(16)

式中:Fi為第i個齒對之間的嚙合力,ρ為擺線輪曲率半徑,L為擺線輪齒寬,E1、E2分別為擺線輪和針輪的彈性模量,μ1、μ2分別為擺線輪和針輪的泊松比,b為接觸半寬,具體可表示為:

(17)

由式(16)可知,嚙合力Fi和接觸變形wi呈現(xiàn)非線性關(guān)系,在材料屬性相同的情況下,其接觸剛度(kni=Fi/wi)大小隨著載荷和接觸點(diǎn)曲率的變化而變化。雖然由方程可以得到接觸力Fi和接觸變形wi的關(guān)系式wi=f(Fi),但是無法通過簡明數(shù)學(xué)表達(dá)式寫出Fi=f-1(wi),利用曲線擬合的方法,在某一力區(qū)間離散,繼而求解出離散力對應(yīng)的接觸變形,再用Fi=CiwiPi來逼近wi=f(Fi),利用MATLAB多項式擬合函數(shù)求解出Ci、Pi。

Fi=CiwiPi=Ci[(Δθ-θci)li]Pi

(18)

設(shè)擺線輪在負(fù)載扭矩Tc的作用下,最先接觸齒為第m1齒對,最后進(jìn)入嚙合的為第m2齒對,則有(m2-m1+1)個齒對共同嚙合傳力,根據(jù)扭矩平衡方程,可得:

(19)

通過變形協(xié)調(diào)條件式和扭矩平衡方程式,建立擺線針輪副的力學(xué)分析模型,該模型的計算流程圖如圖7所示:

圖7 擺線針輪受力分析流程圖

步驟1:給定擺線針輪齒輪副的設(shè)計參數(shù),由式(13)得到的間隙角θci和本節(jié)計算的擬合系數(shù)Ci、Pi;初始值Δθ1為擺線輪只與一個針齒嚙合產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)變形角,初始值Δθ2為擺線輪與半數(shù)針齒嚙合產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)變形角,則修形擺線輪產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)變形角Δθ介于(Δθ1～Δθ2)之間,為提高迭代效率,采用黃金分割法初選扭轉(zhuǎn)變形角Δθ;當(dāng)扭轉(zhuǎn)變形角Δθ大于間隙角θci為傳力齒,否則為非傳力齒;

通過該流程中的步驟1即可計算擺線針輪副嚙合齒數(shù),而通過整個計算流程可求得嚙合力Fi,利用赫茲接觸公式,即可得到對應(yīng)接觸應(yīng)力σH大小,其接觸應(yīng)力表達(dá)式為:

(20)

3.3 傳動誤差計算方法

傳動誤差是指輸入軸轉(zhuǎn)動任意角度時,輸出軸理論轉(zhuǎn)角和實(shí)際轉(zhuǎn)角的角度誤差。在空載情況下,由于負(fù)載扭轉(zhuǎn)很小,可忽略不計,其傳動誤差主要來源于擺線輪和針輪之間的間隙,最小周向公轉(zhuǎn)角θmin反映空載傳動誤差的大小,當(dāng)φ1從0變化到2π,利用2.2節(jié)式(11)求得到一個周期下的最小周向公轉(zhuǎn)角θmin,此時空載傳動誤差(TE)為:

2018年4月6日晚發(fā)生低溫凍害，陜西淳化果區(qū)-7.2℃極端低溫持續(xù)長達(dá)4小時，凍害過后低溫又持續(xù)了3天之久，致使果區(qū)坐果率降低，一般果園減產(chǎn)20%，有的超過40%，個別絕收。幼果期低溫給果銹普遍發(fā)生創(chuàng)造了條件，使得2018果季蘋果商品率大幅下降。

TE=0-θmin/iH

(21)

在承載情況下,由于負(fù)載扭矩Tc作用,擺線輪和針輪的接觸使得擺線輪產(chǎn)生一個扭轉(zhuǎn)變形轉(zhuǎn)角Δθ,因最小周向公轉(zhuǎn)角θmin和扭轉(zhuǎn)變形角Δθ的存在,使得輸出軸會產(chǎn)生滯后,輸入與輸出的瞬時傳動比將不在是一個定值,從而引起承載傳動誤差。當(dāng)輸入軸φ1從0變化到2π,由式(11)和式(15)得到一個周期下的最小周向公轉(zhuǎn)角θmin和扭轉(zhuǎn)變形角Δθ,此時承載傳動誤差(LTE)為:

LTE=0-(Δθ+θmin)/iH

(22)

4 實(shí)例計算與結(jié)果分析

4.1 對比分析

基于上述方法,以擺線針輪副參數(shù)為例(如表1所示),利用本文提出的擺線針輪承載接觸分析方法計算嚙合力和接觸應(yīng)力,并與傳統(tǒng)算法和LTCA進(jìn)行對比評價。

表1 擺線針輪齒輪副設(shè)計參數(shù)

圖8為本文算法、傳統(tǒng)算法和LTCA嚙合間隙對比圖,從圖8中可以看出,本文算法的周向間隙與傳統(tǒng)算法和LTCA的法向間隙的整體變化趨勢相近,都是先減小后增大,但在數(shù)值上有一定的差異,3種算法的嚙合間隙都在第5齒達(dá)到最小值,其最小值分別為0 mm和3.02×10-9mm,2.28×10-5mm,同時,本文算法與傳統(tǒng)算法和LTCA相比都在第5齒處的差值最小,在第5齒的兩側(cè)差值逐漸增大,同時,在第3齒本文算法與傳統(tǒng)算法相對誤差最小為13.2%,在第4齒本文算法與LTCA相對誤差最小為0.8%,都在第19齒相對誤差最大,其分別為739.3%、655.4%。

圖9為本文算法的實(shí)際力臂與傳統(tǒng)力臂對比圖,從圖9中可以看出,實(shí)際力臂與傳統(tǒng)力臂的整體變化趨勢相近,都是先增大后減小,但在數(shù)值上有一定的差異。在針齒1位置的傳統(tǒng)力臂為0 mm,而本文算法的實(shí)際力臂為26.1 mm,這是由于未修形下的擺線輪與針齒1的嚙合點(diǎn)在轉(zhuǎn)臂O1O2的延長線上,進(jìn)而力臂為0 mm,而傳統(tǒng)力臂以此嚙合點(diǎn)來計算修形擺線輪與針齒1的力臂,與實(shí)際不符,使得實(shí)際力臂與傳統(tǒng)力臂在針齒1的相對誤差最大為100%,在第8齒相對誤差最小,其值為0.02%,隨后逐漸增大。但實(shí)際力臂與傳統(tǒng)力臂最大值對應(yīng)的齒號不同,二者力臂最大值分別為第5齒和第6齒,其相對誤差為0.16%。

圖8 嚙合間隙對比圖 圖9 實(shí)際力臂與傳統(tǒng)力臂對比圖

圖10和圖11分別為本文算法、傳統(tǒng)算法和LTCA的嚙合力和接觸應(yīng)力對比圖,從圖10和圖11可以看出,本文算法相較于傳統(tǒng)算法和LTCA的嚙合力和接觸應(yīng)力的整體變化趨勢相近,都是先增大后減小,但數(shù)值不同,3種算法都是從第3齒承載受力進(jìn)入嚙合,在第11齒受力變?yōu)?,退出嚙合,嚙合齒數(shù)都為8齒,但本文算法和LTCA都在第5齒嚙合力最大,而傳統(tǒng)算法在第6齒嚙合力最大,3種算法的嚙合力最大值分別為910.7 N、899.9 N、935.6 N,本文算法最大嚙合力分別相對于傳統(tǒng)算法和LTCA增大2.7%、3.7%,同時3種算法的接觸應(yīng)力都在第7齒達(dá)到最大值,且最大接觸應(yīng)力分別為1 443.4 MPa、1 454.5 MPa、1 490.1 MPa,本文算法最大接觸應(yīng)力分別相對于傳統(tǒng)算法和LTCA增大3.2%、2.4%。

圖10 嚙合力對比圖 圖11 接觸應(yīng)力對比圖

綜上所述,通過對比可以看出,本文算法的嚙合力與接觸應(yīng)力相較于傳統(tǒng)算法和LTCA整體變化趨勢相近,但數(shù)值上有一定的差距,其原因?yàn)?①本文算法考慮擺線輪的先公轉(zhuǎn)嚙合,后承載變形的初始運(yùn)動形式,采用更合理的周向間隙;②本文算法求得實(shí)際嚙合點(diǎn)位置,進(jìn)而得到實(shí)際力臂大小;③實(shí)際中擺線輪齒廓曲率不是一個定值,導(dǎo)致接觸剛度呈現(xiàn)非線性,而本文算法采用更合理的非線接觸剛度建立模型。

4.2 承載接觸分析

以表1中的參數(shù)為例,利用本文提出的擺線針輪傳動承載接觸分析模型,求得在不同輸入轉(zhuǎn)角下的嚙合力、接觸應(yīng)力、嚙合齒數(shù)以及傳動誤差的變化,圖12和圖13分別為不同輸入轉(zhuǎn)角下針齒1的嚙合力、接觸應(yīng)力變化曲線和曲率半徑變化曲線,從圖12和圖13可以看出,針齒1在輸入轉(zhuǎn)角為0.30 rad時開始參與嚙合,在輸入轉(zhuǎn)角為1.56 rad時結(jié)束嚙合,嚙合力和接觸應(yīng)力都先增大后減小,然后再增大,之后再減小。在此變化趨勢下嚙合力和接觸應(yīng)力都產(chǎn)生兩個極大值和一個極小值,嚙合力的在輸入轉(zhuǎn)角為0.55 rad時取得第一個極大值亦是最大值為965.2 N,在輸入轉(zhuǎn)角為0.87 rad時嚙合力取得第二個極大值為935.2 N,而接觸應(yīng)力在輸入轉(zhuǎn)角為0.69 rad時取得第一個極大值為1 012.5 MPa,第二個極大值在輸入轉(zhuǎn)角為1.04 rad時取得亦是最大值為1 523.6 MPa,同時在輸入轉(zhuǎn)角為0.71 rad時嚙合力和接觸應(yīng)力同時取得極小值,分別為608.9 N、908.9 MPa。通過與圖12對比可以看出,嚙合力和接觸應(yīng)力的極小值點(diǎn),恰好為擺線輪齒廓由凸到凹過渡的位置,使得曲率半徑產(chǎn)生突變,對嚙合力影響較大,而對接觸應(yīng)力影響較小。對比圖10、圖11,可以看出全周期下的最大嚙合力與最大接觸應(yīng)力比初始位置分別增大29.6 N和33.5 MPa。

圖12 針齒1的嚙合力和接觸應(yīng)力隨輸入轉(zhuǎn)角的變化 圖13 針齒1的曲率半徑隨輸入轉(zhuǎn)角的變化

如圖14、圖15分別為輸入轉(zhuǎn)角從0到2π變化時的空載傳動誤差和承載傳動誤差,從圖中可以看出,隨著輸入轉(zhuǎn)角的增大空載傳動誤差從-2.823′′到-2.818′′再到-2.823′′呈現(xiàn)周期性的變化,其平均值為-2.821′′,而承載傳動誤差從起始點(diǎn)-3.186′′到-3.201′′,其中產(chǎn)生兩個峰值,第一個峰值為-3.186′′,第二個峰值為-3.189′′到呈現(xiàn)周期性的變化,其平均值為-3.191′′。圖16為在不同輸入轉(zhuǎn)角下嚙合齒數(shù)的變化曲線圖,隨著輸入轉(zhuǎn)角的增大嚙合齒數(shù)由8齒變?yōu)?之后再變?yōu)?齒,呈現(xiàn)周期性變化,其周期都為相鄰針齒夾角2π/Zp。

圖14 不同輸入轉(zhuǎn)角下的空載傳動誤差變化趨勢 圖15 不同輸入轉(zhuǎn)角下的承載傳動誤差變化趨勢

圖16 擺線針輪嚙合齒數(shù)隨輸入轉(zhuǎn)角的變化

綜上所述,隨著輸入轉(zhuǎn)角的變化嚙合力與接觸應(yīng)力在變化趨勢相近,都在同一位置產(chǎn)生突變,嚙合力突變幅度較為明顯,而接觸應(yīng)力突變幅度相對平緩;同時,嚙合齒數(shù)、空載傳動誤差、承載傳動誤差都呈現(xiàn)周期性變化,其周期都為相鄰針齒夾角2π/Zp,但空載傳動誤差、承載傳動誤差變化趨勢不同,空載傳動誤差在一個變化周期內(nèi)只有一個峰值,承載傳動誤有兩峰值,其最大值和最小值所在的位置也不同;在一個2π/Zp周期內(nèi),嚙合齒數(shù)大多數(shù)為8齒傳力,7齒傳力占少數(shù)。

5 結(jié)論

本文考慮擺線輪實(shí)際運(yùn)動形式,建立周向間隙下的擺線針輪承載接觸分析模型,分析擺線針輪行星承載傳動下的嚙合齒數(shù)、嚙合力、接觸應(yīng)力和傳動誤差等承載傳動性能,主要結(jié)論如下:

(1)與傳統(tǒng)算法和LTCA對比,嚙合力與接觸應(yīng)力整體變化趨勢相近,嚙合齒數(shù)相同,但數(shù)值上有著一定的差異,其計算出的最大嚙合力分別增大2.7%、3.7%,最大接觸應(yīng)力分別增大3.2%、2.4%。

(2)隨著輸入轉(zhuǎn)角的增大,嚙合齒數(shù)、空載傳動誤差、承載傳動誤差,不是恒定值而是呈現(xiàn)周期性變化,其周期為相鄰針齒夾角2π/Zp。

(3)全周期下的嚙合力和接觸應(yīng)力存在突變,突變位置恰好為擺線輪齒廓曲線凹凸過渡點(diǎn)。同時,全周期下的最大嚙合力和最大接觸應(yīng)力大于初始位置,因此,采用全周期下的最大嚙合力和最大接觸應(yīng)力更加合理。