關(guān)瀟卓 丁 偉 盧利中 郭鐵濱 熊 飛

（國網(wǎng)吉林省電力有限公司吉林供電公司，吉林 吉林 132012）

機(jī)械臂被廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)過程、醫(yī)療服務(wù)以及太空在軌操作等領(lǐng)域[1-2]。一方面，隨著對機(jī)械臂快速響應(yīng)和高精度控制的要求越來越高，如何提高機(jī)械臂的控制性能仍然是一個(gè)需要繼續(xù)研究的問題[3-4]。由于機(jī)械臂具有參數(shù)不確定、強(qiáng)耦合以及非線性摩擦等特殊性，在實(shí)際工程應(yīng)用中很難建立精確的機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型[5]。因此，研究不依賴精確動(dòng)力學(xué)模型的機(jī)械臂跟蹤控制方法顯得尤為重要。另一方面，研究人員還希望針對機(jī)械臂的跟蹤誤差預(yù)先設(shè)定其收斂精度和收斂時(shí)間，與一般的預(yù)設(shè)性能不同的是，希望給定的預(yù)設(shè)性能的初值不再受限[6-8]。同時(shí)，由于物理?xiàng)l件的約束，因此機(jī)械臂的控制輸入天然存在約束，如何在輸入受限的情況下不基于模型信息實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂按預(yù)設(shè)精度和收斂時(shí)間跟蹤目標(biāo)軌跡是一個(gè)亟待解決的技術(shù)問題[9]。針對上述問題，該文提出一種機(jī)械臂自適應(yīng)跟蹤控制方法，該控制方法通過生成具有可預(yù)設(shè)收斂時(shí)間的無模型自適應(yīng)控制器對機(jī)械臂進(jìn)行控制，使跟蹤誤差在預(yù)設(shè)的界內(nèi)按照預(yù)設(shè)時(shí)間收斂到預(yù)設(shè)的精度內(nèi)，且該方法不依賴機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的精確性，可以避免為實(shí)際系統(tǒng)建立精確模型帶來困難。

1 數(shù)學(xué)模型

該機(jī)械臂自適應(yīng)跟蹤控制方法的步驟如下：1） 利用光滑函數(shù)逼近機(jī)械臂系統(tǒng)的控制輸入，建立新機(jī)械臂系統(tǒng)。2） 采用時(shí)滯估計(jì)方法估計(jì)新機(jī)械臂系統(tǒng)的綜合不確定性。3） 根據(jù)預(yù)設(shè)的機(jī)械臂跟蹤誤差軌跡邊界約束和綜合不確定性，生成自適應(yīng)控制器，通過新機(jī)械臂系統(tǒng)對機(jī)械臂進(jìn)行控制，使機(jī)械臂的跟蹤誤差在預(yù)設(shè)的收斂時(shí)間內(nèi)收斂至預(yù)設(shè)的穩(wěn)態(tài)跟蹤精度。

機(jī)械臂系統(tǒng)模型如公式（1）所示。

式中：q、和分別為機(jī)械臂關(guān)節(jié)的位置向量、速度向量和加速度向量；M（q）為機(jī)械臂的慣性矩陣；C（q，）為機(jī)械臂的科里奧利力和向心力系數(shù)矩陣；G（q）為機(jī)械臂的重力梯度力矩向量；u（τ）為控制輸入向量；τ為控制力矩向量；d為外部擾動(dòng)向量。

機(jī)械臂系統(tǒng)的控制輸入受到的約束如公式（2）所示。

式中：ui（τi）為第i個(gè)關(guān)節(jié)的控制輸入；τi為第i個(gè)關(guān)節(jié)的控制力矩；umaxi為第i個(gè)關(guān)節(jié)的控制輸入上界；umini為第i個(gè)關(guān)節(jié)的控制輸入下界；n為機(jī)械臂的關(guān)節(jié)總數(shù)。

光滑函數(shù)如公式（3）所示。

式中：∏（τ，?）為光滑函數(shù)；?為調(diào)節(jié)參數(shù)向量；∏i（τi，?i）為第i個(gè)關(guān)節(jié)的光滑函數(shù)值；?i為第i個(gè)關(guān)節(jié)的調(diào)節(jié)參數(shù)；為第i個(gè)關(guān)節(jié)的參考上界值；為第i個(gè)關(guān)節(jié)的參考下界。

新機(jī)械臂系統(tǒng)如公式（4）所示。

式中：Δτ為第一偏差；Δu為第二偏差。

步驟二中的綜合不確定性D（q，q，q）如公式（5）所示。

式中：為預(yù)設(shè)的正定對角矩陣。

步驟二根據(jù)公式（6）計(jì)算新機(jī)械臂系統(tǒng)的綜合不確定性的估計(jì)值。

式中：t為時(shí)間；L為采樣時(shí)間。

采用以上時(shí)滯估計(jì)方法來估計(jì)新機(jī)械臂系統(tǒng)的綜合不確定性，與其他智能算法相比，該方法需要調(diào)節(jié)的參數(shù)少，結(jié)構(gòu)簡單，計(jì)算量小，更容易應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)中。

機(jī)械臂跟蹤誤差軌跡邊界約束如公式（7）所示。

式中：e1i（t）為第i個(gè)關(guān)節(jié)的跟蹤誤差；為 第i個(gè)關(guān)節(jié)預(yù)設(shè)的大于0的約束下界系數(shù)；為 第i個(gè)關(guān)節(jié)預(yù)設(shè)的大于0的約束上界系數(shù)；β1i為第i個(gè)關(guān)節(jié)的跟蹤誤差約束參數(shù)；T1i為第i個(gè)關(guān)節(jié)預(yù)設(shè)的收斂時(shí)間；ε1i為第i個(gè)關(guān)節(jié)預(yù)設(shè)的穩(wěn)態(tài)跟蹤精度；p為預(yù)設(shè)正整數(shù)。

步驟三包括根據(jù)機(jī)械臂跟蹤誤差軌跡邊界約束生成的多個(gè)中間變量。根據(jù)中間變量和綜合不確定性生成自適應(yīng)控制器，將自適應(yīng)控制器代入新機(jī)械臂系統(tǒng)對機(jī)械臂進(jìn)行控制。其中，根據(jù)機(jī)械臂跟蹤誤差軌跡邊界約束生成第一中間變量，如公式（8）所示。

式中：γ1i（t）為第i個(gè)關(guān)節(jié)的第一中間變量；c為大于0的第一預(yù)設(shè)參數(shù)。

根據(jù)第一中間變量生成第二中間變量，如公式（9）所示。

式中：h（γ1i（t））為第i個(gè)關(guān)節(jié)的第二中間變量；a1i為第i個(gè)關(guān)節(jié)大于0的第二預(yù)設(shè)參數(shù)。

根據(jù)第二中間變量生成第三中間變量ξ1（t），如公式（10）所示。

生成第四中間變量μ1（t）和第五中間變量v1（t），使二者滿足公式（11）。

式中：（t）為ξli（t）的一階導(dǎo)數(shù)；（t）為e1i（t）的一階導(dǎo)數(shù)；v1i（t）為第i個(gè)關(guān)節(jié)的第五中間變量。

根據(jù)上述中間變量和綜合不確定性生成自適應(yīng)控制器[15]，如公式（12）所示。

式中：ξ2（t）為第六中間變量向量；α1（t）為虛擬控制量；k1為大于0的第三預(yù)設(shè)參數(shù)；k2為大于0的第四預(yù)設(shè)參數(shù)；k3為大于0的第五預(yù)設(shè)參數(shù)；ζ（t）為輔助變量；κ1為大于0的第六預(yù)設(shè)參數(shù)；qd為機(jī)械臂關(guān)節(jié)的目標(biāo)加速度向量；β為自適應(yīng)變量；Γ和δ為預(yù)設(shè)的自適應(yīng)律參數(shù)。

引入輔助變量是為了處理控制輸入受限的問題，引入自適應(yīng)變量是為了補(bǔ)償時(shí)滯估計(jì)方法的估計(jì)誤差。

2 仿真分析

為了驗(yàn)證機(jī)械臂自適應(yīng)跟蹤控制方法的有效性和合理性，采用MATLAB軟件搭建仿真平臺(tái)。對平面兩連桿機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證上述方法的的有效性和合理性。其中，采樣時(shí)間L為0.001 s，平面兩連桿機(jī)械臂的慣性矩陣M（q）、C（q，）以及G（q）如公式（13）所示。

式中：q1、分別為第一個(gè)關(guān)節(jié)的位置、速度；q2、分別為第二個(gè)關(guān)節(jié)的位置、速度。

第一個(gè)關(guān)節(jié)和第二個(gè)關(guān)節(jié)要跟蹤的目標(biāo)軌跡如公式（14）所示。

式中：qd1（t）為關(guān)節(jié)在t時(shí)刻的目標(biāo)位置；qd2（t）為第二個(gè)關(guān)節(jié)在t時(shí)刻的目標(biāo)位置。

在仿真中，采用Runge-Kutta方法離散化連續(xù)系統(tǒng)，并設(shè)置相關(guān)參數(shù)：k1為3，k2為200，k3為0.01，κ1為6，Γ為1，δ為1，ζ（t）的初值為[0；0]，β的初值為0，2個(gè)關(guān)節(jié)的控制輸入上界均為200 N·m，2個(gè)關(guān)節(jié)的控制輸入下界均為-200 N·m，2個(gè)關(guān)節(jié)的穩(wěn)態(tài)跟蹤精度均為0.01，2個(gè)關(guān)節(jié)的約束下界系數(shù)和約束上界系數(shù)均為1，2個(gè)關(guān)節(jié)的收斂時(shí)間均為2 s，p為2，為 200 N·m，為-200 N·m，c為700，a11為40，a12為25。分別考慮關(guān)節(jié)的初始位置，如公式（15）所示。

不同關(guān)節(jié)初始位置下第一個(gè)關(guān)節(jié)和第二個(gè)關(guān)節(jié)的跟蹤誤差軌跡分別如圖1、圖2所示。不同關(guān)節(jié)初始位置下第一個(gè)關(guān)節(jié)和第二個(gè)關(guān)節(jié)的控制輸入軌跡分別如圖3、圖4所示。

圖1 不同關(guān)節(jié)初始位置下第一個(gè)關(guān)節(jié)的跟蹤誤差軌跡

圖2 不同關(guān)節(jié)初始位置下第二個(gè)關(guān)節(jié)的跟蹤誤差軌跡

圖3 不同關(guān)節(jié)初始位置下第一個(gè)關(guān)節(jié)的控制輸入軌跡

圖4 不同關(guān)節(jié)初始位置下第二個(gè)關(guān)節(jié)的控制輸入軌跡

由圖1～圖4可知，針對多種不同的初始位置，在預(yù)設(shè)的收斂時(shí)間2 s內(nèi)，2個(gè)關(guān)節(jié)的跟蹤誤差均可收斂至預(yù)設(shè)的穩(wěn)態(tài)跟蹤精度0.01以內(nèi)，說明上述控制方法對任意初值均是適用的。綜上所述，該文提出的控制方法不依賴機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的精確性，可以避免為實(shí)際系統(tǒng)建立精確模型帶來困難。同時(shí)，可以根據(jù)需要預(yù)設(shè)收斂時(shí)間和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度，且跟蹤誤差的初值不受約束，可以實(shí)現(xiàn)全局收斂，使跟蹤誤差在規(guī)定的有限時(shí)間內(nèi)收斂到預(yù)設(shè)的精度內(nèi)。

3 結(jié)語

該機(jī)械臂自適應(yīng)跟蹤控制方法通過生成具有可預(yù)設(shè)收斂時(shí)間的無模型自適應(yīng)控制器來對機(jī)械臂進(jìn)行控制，使跟蹤誤差在預(yù)設(shè)的界內(nèi)按預(yù)設(shè)時(shí)間收斂到預(yù)設(shè)的精度內(nèi)，且該方法不依賴機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的精確性，可以避免為實(shí)際系統(tǒng)建立精確模型帶來困難。此外，該文采用時(shí)滯估計(jì)方法來估計(jì)新機(jī)械臂系統(tǒng)的綜合不確定性，與其他智能算法相比，該方法需要調(diào)節(jié)的參數(shù)少，結(jié)構(gòu)簡單，計(jì)算量小，更容易應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)中。