吳中林　黎方平　江泓

摘? 要：通過分析2023年高考平面解析幾何試題，總結得出其主要特點為以基本圖形的考查凸顯試題的綜合性，以開放設問方式體現(xiàn)試題的創(chuàng)新性. 在復習教學時，要深入學習過程、理解平面解析幾何的研究方法，依據(jù)圓錐曲線的定義方式建立知識體系，深度挖掘教材例題和習題的價值，并進行多角度聯(lián)系，探索高考試題的命題背景和平面解析幾何的本質. 在解題思考中，要深入研究幾何結構、認識圖形特征、把握問題本質，實現(xiàn)自然思考；以數(shù)形結合、特殊與一般等數(shù)學思想為指導，進行簡練思考，優(yōu)化解題策略；嘗試用高觀點審視問題，加強綜合聯(lián)系，提升思維的深刻性，實現(xiàn)問題解決的靈活性．

關鍵詞：平面解析幾何；解題分析；教材價值

一、試題特點分析

2023年高考數(shù)學全國甲卷（文、理科）、全國乙卷（文、理科）、全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷共設置了15道不同的平面解析幾何試題. 全國新高考Ⅰ卷和全國新高考Ⅱ卷均設置2道選擇題（全國新高考Ⅰ卷中均為單選題，全國新高考Ⅱ卷中為單選題和多選題各一道）、1道填空題和1道解答題. 全國甲卷文、理科各設置2道選擇題和2道解答題，其中文科第7題是理科第12題的特殊化，其余試題完全相同；全國乙卷文、理科各設置1道選擇題、1道填空題和2道解答題，且試題完全相同. 全國甲卷（文、理科）設置的選考試題，考查直線的參數(shù)方程中 t 的幾何意義及直線的參數(shù)方程化為普通方程；全國乙卷（文、理科）設置的選考試題，考查極坐標方程化為直角坐標方程，以及直線與圓的位置關系等知識. 試題突出強調對基礎知識和基本概念的深入理解和靈活掌握. 每份試卷中的相關試題都通過設置課程學習情境，全面考查平面解析幾何中直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的基礎知識. 例如，全國新高考Ⅰ卷第5題和全國新高考Ⅱ卷第21題第（1）小題，都是已知離心率求方程；全國新高考Ⅰ卷第22題第（1）小題，已知曲線滿足的幾何條件求方程；全國乙卷（文科）第13題，已知曲線滿足的代數(shù)條件求方程并研究幾何性質. 這些試題都對平面解析幾何的基礎知識和基本方法進行了考查. 試題深入考查學生對學科知識的綜合應用能力，全面體現(xiàn)高考對數(shù)學核心素養(yǎng)的綜合考查. 例如，全國新高考Ⅱ卷第10題，設置直線與拋物線相交的情境，以多選題的形式考查圓錐曲線的內容，考查數(shù)學運算與邏輯推理素養(yǎng)；全國乙卷（理科）第11題，設置直線與雙曲線相交的情境，考查邏輯推理和直觀想象素養(yǎng). 總之，2023年高考中的平面解析幾何試題，以學科素養(yǎng)為導向，通過設置合理的情境，體現(xiàn)必備知識、關鍵能力、學科素養(yǎng)和核心價值的考查內容，反映基礎性、綜合性、創(chuàng)新性和應用性的考查要求.

1. 立足基本圖形，凸顯試題的綜合性

試題緊密結合定義，以圓錐曲線的焦點作為基本元素構造圖形，既反映基礎性要求，又體現(xiàn)綜合聯(lián)系. 例如，全國甲卷（理科）第12題（文科第7題）和全國新高考Ⅰ卷第16題都集中研究由圓錐曲線上的點和焦點確定的三角形，通過表達曲線或三角形的相關量，考查學生的數(shù)學關鍵能力和核心素養(yǎng).

反思總結：由于直線[AB]和[AD]的斜率分別為[x1+x0]和[x2+x0]，從代數(shù)結構看，方法1和方法2沒有本質區(qū)別. 該題難在“求形如[fx=mx-a+nx-b]（其中[m>0]，[n>0]）的函數(shù)的最小值”，關鍵是把握幾何結構的一致性. 如方法1，由于[AB]和[AD]的地位相同，因此，通過適當放縮兩個絕對值式子，使其系數(shù)相等，利用[x0-a+x0-b≥b-a]消去[x0]，將[AB+][AD]這個二元函數(shù)變?yōu)殛P于單變量[k]的函數(shù)，且其結果能進一步用于論證嚴格不等式. 當[k=2]，[x0→22]時，[AB→0]，[AD→332]，[AB+AD→332]. 因此，該題中的矩形周長的下確界（最大下界）是[33].

三、復習備考建議

1. 深入學習過程，把握研究方法

平面解析幾何的本質是用坐標方法研究幾何問題. 基本問題有兩類：根據(jù)已知條件求出曲線的方程；通過曲線的方程研究曲線的性質. 因此，既要掌握求曲線方程的基本方法，還要理解如何利用曲線的方程來研究曲線的性質.

與其他數(shù)學內容的學習相似，平面解析幾何的學習過程是從熟悉到陌生，按直線與方程、圓與方程到圓錐曲線與方程的順序來展開. 具體研究時，應該堅持用幾何眼光觀察圖形的結構特征、用代數(shù)運算結合幾何關系探究、發(fā)現(xiàn)和證明性質，按照確定圖形的幾何要素建立方程、利用方程研究圖形的位置關系、性質及曲線的相關幾何量.

2. 遵循軌跡定義，建立結構體系

平面解析幾何的基本研究路徑表現(xiàn)為：利用點和方向確定直線、兩點確定直線這兩種方式建立直線方程，進而研究直線的位置關系與度量；由到一個定點的距離為定值的動點的軌跡是圓，建立圓的方程，并研究直線與圓、圓與圓的位置關系與度量；在此基礎上，按照動點到兩個定點的距離的和、差（積、商）為定值，動點到定點與到定直線的距離的比值為定值，動點與兩定點連線的斜率的積（和、差、商）為定值三種不同關系，以教材知識內容、例題和習題呈現(xiàn)等不同方式揭示圓錐曲線的形成過程，并結合學生的數(shù)學活動經(jīng)驗進一步研究橢圓、雙曲線和拋物線的基本性質，以及直線與圓錐曲線的位置關系. 在復習教學中，應該要求學生獨立完成上述軌跡方程的求解，熟悉圓錐曲線定義間的整體關系，理解圓錐曲線的幾何量對曲線性質的刻畫（如離心率與定義的關系、對橢圓及雙曲線形態(tài)的定性描述），建立平面解析幾何的網(wǎng)絡結構體系.

3. 挖掘教材價值，促進聯(lián)系拓展

除研究方法、研究路徑和結構體系外，教材中歷經(jīng)多年沉淀下來的例題和習題也是復習教學的重要資源，復習備考時應該深入挖掘其價值. 審視人教A版教材第135頁例4及第136頁例5，用從特殊到一般、考查逆命題等基本研究方法，可以得出拋物線過焦點的弦具有的系列基本性質. 如圖3，設O為坐標原點，過拋物線[C：y2=2px][p>0]的焦點F的直線交C于M，N兩點，[l]為C的準線，過M，N作[l]的垂線，垂足分別為[M1]，[N1]. 對其中的位置關系、度量關系進行探究，則可以得到以下結論：在梯形[MM1N1N]中，[MN=][MM1+NN1]；以[MN]為直徑的圓與[l]相切，切點[H]為[M1N1]的中點；HM⊥HN；用解析法探究可得直線[HM]，[HN]均與C相切、[HF⊥MN].

這樣的聯(lián)系和拓展（根據(jù)學生學習實際確定廣度和深度），從教材問題出發(fā)，建構了拋物線焦點弦的知識體系，明確了內在聯(lián)系，內化了研究方法，有利于學生數(shù)學思維品質及數(shù)學核心素養(yǎng)的提升.

以這樣的思考基礎來看2023年全國新高考Ⅱ卷第10題，選項A是直接考查拋物線的定義；而選項B僅是改變了人教A版教材第135頁例4的條件中的數(shù)據(jù)；選項C是上述探究的一個結果；由人教A版教材第136頁例5可知[∠MON]為鈍角，[MN]為△OMN的最長邊，若△OMN是等腰三角形，只能是[OM=ON]，據(jù)拋物線的對稱性知選項D錯誤. 構造逆命題，由[H]，[M]，[N]間的對應關系，將H在準線上一般化，由[HM⊥HN]，便得到2018年全國Ⅲ卷（理科）第16題；由直線[HM]，[HN]與C相切，則[M]，N的連線過拋物線焦點，就得到2019年全國Ⅲ卷（理科）第21題的第（1）小題. 因此，深入挖掘教材題目的價值，能夠全面、清晰地把握高考試題的命題背景和內在聯(lián)系，使學生具有更寬廣的視野進行解題思考.

4. 揭示幾何本質，優(yōu)化解題策略

平面解析幾何問題常常表現(xiàn)為研究圖形與圖形間的關系，往往可以通過幾何本質的展現(xiàn)更深刻地反映內在聯(lián)系，從而促進深刻思維、簡化解答過程. 例如，例1的分析抓住[△ABF1]的幾何特征就簡化了運算.

圓是圓錐曲線中的特殊圖形，圓的幾何性質在圓錐曲線中通常是可以推廣的. 因此，研究圓錐曲線的幾何性質，可以退到圓中去探索. 例如，2020年全國新高考Ⅰ卷第22題第（2）小題，本質上是過橢圓上一點A作相互垂直的弦[AM]，[AN]，則[MN]過定點. 顯然，過圓上一點[A]作兩條互相垂直的弦[AM]，[AN]，則弦[MN]過圓心，從而可以類比到橢圓中得出[MN]過定點的猜想，完成“動點在定圓上”向“直線過定點”的轉化，獲得解答思路. 因此，在復習備考時，可以從圓的關系出發(fā)，利用類比方法獲得圓錐曲線中的性質，并利用解析法來研究.

幾何的研究對象是位置關系和度量關系，平面解析幾何則是結合代數(shù)方法研究位置關系、幾何量取值的不變性或者變化規(guī)律，定點（定值）、定線是其中的重要問題. 用更高的觀點看，定點和定線問題常常與“極點極線”相關，對于學有余力的學生，可以從圓的研究出發(fā)，理解“極點極線”的基礎知識，進而運用到圓錐曲線中. 例如，2023年全國新高考Ⅱ卷第21題，點[P]在點[-4，0]關于雙曲線[x24-y216=1]的極線[x=-1]上. 若進一步了解“調和線束”，就可以認識到2022年高考全國乙卷（理科）第21題是直接考查調和點列對應調和線束，2023年高考全國乙卷（理科）第20題考查調和線束的斜率性質. 需要注意的是，了解背景主要是為了深刻認知其幾何本質，必須避免過度的、超越學生學習能力的拓展. 解答時，應該堅持采取通性通法進行思考，運用特殊與一般的思想，先采用幾何直觀猜想獲得結論，再靈活運用代數(shù)運算完成論證. 處理幾何量的變化范圍和最值問題，可以首先考察幾何特征以簡化運算，通常還需要以函數(shù)與方程思想為指導，結合代數(shù)方法（如運用函數(shù)的單調性、均值不等式等）解決問題（如例3和例4）.

5. 悟透數(shù)學思想，活用解析方法

平面解析幾何的本質是用坐標法研究曲線與方程. 從方程出發(fā)研究曲線的性質，關鍵是要把握好數(shù)量與數(shù)量間的關系；而數(shù)形結合、特殊與一般、轉化與化歸等數(shù)學思想方法則是解決問題的重要保障. 例如，2022年全國新高考Ⅰ卷第22題第（1）小題，已知[A]是雙曲線上的定點，動弦[AP]，[AQ]的斜率和為0，論證直線[PQ]的斜率為定值. 問題中幾何結構的對稱性，必然反映為相應代數(shù)結構的內在一致性，從而在計算一條直線得出結果后，類比獲得其他結果. 又如，2021年全國甲卷（理科）第20題，三條直線[A1A2]，[A2A3]，[A1A3]的幾何結構具有一致性，可以在表示直線方程、直線與圓相切時，把握相應代數(shù)結構的共性，實現(xiàn)運算的優(yōu)化：寫出一條直線的方程，即可同理得到另外兩條直線的方程；由直線[A1A2]，[A1A3]與圓相切得出兩個方程，對代數(shù)關系的認識（一是看作一元二次方程，以根與系數(shù)的關系代入，變形推導得出結論；二是看作二元一次方程，得到A2，A3兩點坐標滿足的關系，從而得出直線[A2A3]的方程，由圓心到直線的距離證明相切）深刻地反映了解析方法的本質. 上述兩個例子中，代數(shù)與幾何的結構、關系的對應和轉化是平面解析幾何本質的體現(xiàn)；數(shù)形結合、轉化與化歸及函數(shù)與方程等數(shù)學思想的運用是推動問題解決的有效指引. 因此，在復習過程中，要不斷領悟數(shù)學思想，從表現(xiàn)形式、關系結構上深刻認識問題本質，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)；從結構對比、運算對應等角度分析運算條件、確定運算方向、設計運算程序，進而提升數(shù)學運算素養(yǎng)；結合問題特征綜合運用思想方法，深入平面解析幾何的數(shù)與形的本質，實現(xiàn)有效、簡練地思考問題并活用解析方法解決問題.

四、典型模擬題

平面解析幾何試題的命制往往采用以下方式：一是直接研究直線、圓、圓錐曲線中平面圖形的性質或相關幾何量（往往需要先確定相關曲線的方程）；二是以圓的性質為出發(fā)點，用圓錐曲線和圓的內在聯(lián)系建構新問題；三是依據(jù)高觀點建立點、線關系，探究定點（定線）與定值問題，等等. 以下問題供參考.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］教育部考試中心. 中國高考評價體系［M］.? 北京：人民教育出版社，2019.

［3］教育部考試中心. 中國高考評價體系說明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

作者簡介：吳中林（1965— ），男，正高級教師，四川省特級教師，主要從事中學數(shù)學教育教學研究；

黎方平（1976— ），男，中學高級教師，主要從事中學數(shù)學教育教學研究；

江泓（1982— ），男，中學一級教師，主要從事中學數(shù)學教育教學研究．