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摘? 要：通過對2023年高考數(shù)學(xué)9份試卷中復(fù)數(shù)和平面向量試題進(jìn)行綜合研究，從試題特點和試題解法兩個方面歸納分析，總結(jié)解決復(fù)數(shù)和平面向量問題所需要的數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)思維. 在此基礎(chǔ)上，給出了回歸基礎(chǔ)知識和基本技能的復(fù)習(xí)備考建議．

關(guān)鍵詞：2023年高考；復(fù)數(shù)；平面向量；解題分析

2023年高考數(shù)學(xué)9份試卷均對復(fù)數(shù)和平面向量內(nèi)容進(jìn)行了考查. 考查復(fù)數(shù)的試題通常為單獨的一道題（選擇題或填空題），分值為5分. 考查平面向量的試題通常會有獨立的一道客觀題，分值也是5分. 同時，在平面解析幾何試題中，會出現(xiàn)以平面向量呈現(xiàn)的條件表述，以及將平面向量作為解決平面幾何問題的工具的試題. 從必備知識層面，復(fù)數(shù)部分主要考查復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的幾何意義等；平面向量部分主要考查向量的模、夾角等基本概念，以及向量的線性運算、坐標(biāo)運算、數(shù)量積運算等基本運算，向量的簡單應(yīng)用也是?？純?nèi)容.

該部分試題的命制符合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）和《中國高考評價體系》的有關(guān)要求. 圍繞復(fù)數(shù)和平面向量內(nèi)容，聚焦重要概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性，注重對數(shù)學(xué)本質(zhì)和通性通法的考查.

一、試題特點分析

2023年高考復(fù)數(shù)和平面向量試題反映了新時代基礎(chǔ)教育課程理念，突出對基礎(chǔ)知識和基本技能的理解和掌握，難度適中，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性. 相關(guān)試題多以選擇題和填空題的形式呈現(xiàn)，注重對數(shù)學(xué)思想和關(guān)鍵能力的考查.

1. 概念是解題的起點，以復(fù)數(shù)和平面向量概念為基礎(chǔ)，考查學(xué)生對概念的理解和應(yīng)用能力，體現(xiàn)高考試題的基礎(chǔ)性

【評析】該題主要考查復(fù)數(shù)的乘法和復(fù)數(shù)相等的概念. 在正確運算的基礎(chǔ)上，利用復(fù)數(shù)相等的概念將[a+i1-ai=2]轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，即可確定參數(shù)的值. 該題體現(xiàn)了高考試題考查的基礎(chǔ)性，考查了學(xué)生熟練運用概念進(jìn)行解題的能力. 人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）中多次出現(xiàn)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)的值的題目，該題將教材中的復(fù)數(shù)乘法運算與這種題型的問題進(jìn)行了適當(dāng)?shù)恼?

2. 以運算為載體，考查學(xué)生對運算路徑的選擇和運用能力，體現(xiàn)高考試題的基礎(chǔ)性

2023年高考復(fù)數(shù)和平面向量試題以運算為載體，要求學(xué)生掌握不同的運算方法，考查學(xué)生對不同運算路徑進(jìn)行合理選擇和快速運用的能力.

【評析】該題考查的知識點主要有向量的夾角和模的概念，以及向量的數(shù)乘、加法和數(shù)量積等運算. 解法1通過觀察發(fā)現(xiàn)[a+b=-c]，結(jié)合向量的模的平方相等將它們表示出來，然后利用基向量的運算和三角函數(shù)的定義解決問題. 這種解法要求學(xué)生有敏銳的觀察力，捕捉題設(shè)條件中各種顯性和隱性的信息，考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力，有利于提升學(xué)生多角度思考問題的能力. 解法2整體把握試題的走向，考查了學(xué)生利用建立平面直角坐標(biāo)系的方法解決問題的能力，是通性通法. 解法3是在解法1的基礎(chǔ)上，結(jié)合向量的差和夾角公式來解決問題，揭示了向量的數(shù)量積運算的幾何意義.

2022年全國甲卷（理科）第13題、2021年北京卷第13題、2018年全國Ⅱ卷（文科）第4題等都與該題有著相同的背景. 平面向量數(shù)量積的定義及其變形后的夾角公式、模長公式是考查數(shù)形結(jié)合思想的重要載體. 正可謂“代數(shù)幾何熔一爐，長度距離一點通”，多進(jìn)行總結(jié)反思，方能靈活運用、得心應(yīng)手.

3. 以應(yīng)用為核心，考查學(xué)生對各個知識的綜合應(yīng)用能力，體現(xiàn)高考試題的綜合性

2023年高考復(fù)數(shù)和平面向量試題，以應(yīng)用為核心，要求學(xué)生對各個知識點融會貫通，考查學(xué)生快速應(yīng)用不同知識點綜合解決問題的能力.

【評析】解法1根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律求解，對于等號兩邊的[a+b]與[2a-b]進(jìn)行平方運算，得到有效信息，代入[a-b]的平方消除未知量，從而求出[b]. 這是一種不錯的選擇，這種方法屬于通性通法. 如果我們僅僅停留在“平方后能求出結(jié)果”這一層面上，那么蘊(yùn)含在題設(shè)中的向量的幾何背景就會被代數(shù)平方運算所掩蓋. 其實，只要在圖中稍作向量標(biāo)畫，就可以應(yīng)用向量解出答案，這就是解法3，通過數(shù)形結(jié)合，實現(xiàn)兩種解法的統(tǒng)一. 解法3的核心是心中有數(shù)，腦中有形，心中有模. 解法2利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，令[c=a-b]，通過換元，結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解. 對于較復(fù)雜的計算，此方法更加適用. 人教A版教材中有很多類似的練習(xí)題目，如必修第二冊第36頁練習(xí)的第1題“已知[a=-3，4，b=5，2]，求[a， b，] [a ? b]”和第2題“已知[a=2，3，b=-2，4，] [c=-1，-2]，求[a ? b， a+b ? a-b，a ? b+c， a+b2]”等.

這類平面向量試題在歷年高考中考查次數(shù)較多. 例如，2022年全國乙卷（理科）第3題和2021年北京卷第13題等. 以兩個向量的數(shù)量積為依托，靈活運用夾角公式與模長公式處理問題，是處理向量問題的有力抓手，而數(shù)形結(jié)合思想的運用又將長度與距離進(jìn)行了更高層次的升華.

二、優(yōu)秀試題分析

回顧反思：解決該題的關(guān)鍵是尋找變化之中的不變量. 雖然割線[PB]的位置在發(fā)生變化，但是[OA]與[PA]的垂直關(guān)系、[OD]與[PB]的垂直關(guān)系始終保持不變. 這兩個直角三角形是解決該題的重要條件. [△OAP]是三邊長度確定的直角三角形，而直角三角形[ODP]的斜邊長度確定，因為[∠OPC]的變化導(dǎo)致兩條直角邊長度發(fā)生變化. 解法1以[∠OPC]為變量，由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義得[PA · PD=][12-22sin2α-π4]或[PA · PD][=12+22sin2α+π4]，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)確定[PA · PD]的最大值. 解法2利用圖形中的垂直關(guān)系建立平面直角坐標(biāo)系，將動點[D]的運動規(guī)律通過坐標(biāo)得以顯性化，尋找點[D]所在的“隱圓”（一部分），而[PA · PD]的坐標(biāo)表示更是非常簡單. 該解法中，平面直角坐標(biāo)系的建立方法是使問題簡單化的關(guān)鍵，在數(shù)形結(jié)合解決平面幾何問題時，充分利用條件建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以簡化運算，并且利用坐標(biāo)表示也是我們尋找動點運動規(guī)律的重要方法之一. 大家可以在解題過程中慢慢體會.

三、復(fù)習(xí)備考建議

通過對2023年高考數(shù)學(xué)試題的分析，結(jié)合近幾年高考復(fù)數(shù)和平面向量試題的特點，筆者提出以下復(fù)習(xí)備考建議供大家參考.

1. 強(qiáng)化核心概念，注重基礎(chǔ)性的落實

近幾年，復(fù)數(shù)和平面向量試題在高考數(shù)學(xué)中屬于基礎(chǔ)性試題，試題重點考查復(fù)數(shù)和平面向量的基本概念及運算等基礎(chǔ)知識點. 復(fù)數(shù)部分主要考查的是概念，考查復(fù)數(shù)的定義（含實部和虛部的概念）、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)等. 復(fù)數(shù)的運算重點考查復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的幾何意義. 平面向量部分主要考查平面向量的模、夾角等基本概念，以及平面向量基本定理、向量的線性運算、坐標(biāo)運算、數(shù)量積等基本運算. 另外，向量的平行與垂直的充要條件也是考查的重點. 復(fù)習(xí)時，我們應(yīng)該在復(fù)數(shù)和平面向量的概念理解及基本運算的掌握上下功夫，深化解決復(fù)數(shù)和平面向量問題的通性通法.

2. 強(qiáng)化運算訓(xùn)練，突出“數(shù)”“形”二維特征

復(fù)數(shù)和平面向量都有“數(shù)”和“形”二重性的特點. 從“數(shù)”的角度來看，可以進(jìn)行代數(shù)運算；從“形”的角度來看，有長度和角度，可以刻畫很多幾何對象. 復(fù)數(shù)屬于代數(shù)范疇，它肩負(fù)著提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的重任. 復(fù)數(shù)問題的求解要回歸復(fù)數(shù)內(nèi)部，通過復(fù)數(shù)的四則運算、模、共軛復(fù)數(shù)等性質(zhì)，讓復(fù)數(shù)的運算充滿“復(fù)數(shù)味”. 平面向量“數(shù)”方面的特征也不單是相應(yīng)坐標(biāo)的運算，還有平面向量代數(shù)表示的運算. 復(fù)數(shù)和平面向量問題的解決不能局限在“數(shù)”這個層面，更要關(guān)注到“形”的特征，要讓復(fù)數(shù)和平面向量的運算飄著“圖形香”. 如此才能體現(xiàn)新高考數(shù)學(xué)對“必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價值”四層內(nèi)容的考查.

在進(jìn)行該專題復(fù)習(xí)備考時，我們不僅要掌握解決復(fù)數(shù)和平面向量問題的通性通法，還要重點突出各類題型的典型解法. 例如，在求向量的數(shù)量積時，可以通過基向量法和建立平面直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)處理等方法進(jìn)行求解. 在這些通性通法的基礎(chǔ)上，重點理解和消化重要概念和定理，利用概念優(yōu)化解題過程. 在復(fù)習(xí)過程中，要善于思考，分析問題的本質(zhì)，利用典型解法來解決問題.

3. 深化知識聯(lián)系，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想提煉

復(fù)數(shù)與平面向量的內(nèi)容中滲透了大量的數(shù)學(xué)解題思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、方程思想等，所以在復(fù)習(xí)備考過程中應(yīng)該重視數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)和提煉，提高應(yīng)用思想方法解題的意識. 幾何與代數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的主線，在復(fù)習(xí)備考過程中，要突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，即通過“形”與“數(shù)”的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)整體性的理解. 要善于從本質(zhì)上抓住這些聯(lián)系，實現(xiàn)數(shù)學(xué)語言與向量語言、圖形語言之間的靈活轉(zhuǎn)化，便可輕松獲取解題路徑. 這是幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想的重要途徑，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最有效的方法.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］教育部考試中心. 中國高考評價體系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［4］教育部考試中心. 中國高考評價體系說明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［5］任子朝，趙軒. 基于高考評價體系的數(shù)學(xué)科考試內(nèi)容改革實施路徑［J］. 中國考試，2019（12）：27-32.

［6］郭慧清，黃文輝，葛一偉. 映山紅盛開，夜亦是紅色：2022年高考數(shù)學(xué)試題解題分析及復(fù)習(xí)備考建議［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2022（7 / 8）：3-20.

［7］向立政，周遠(yuǎn)方，張云輝. 深度考查關(guān)鍵能力? 充分發(fā)揮育人功能：2022年高考數(shù)學(xué)試題命題特點及復(fù)習(xí)教學(xué)建議［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2022（9）：3-13.

［8］安學(xué)保. 立足基礎(chǔ)和素養(yǎng)? 突出應(yīng)用和創(chuàng)新：2022年高考“數(shù)列”專題命題分析［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2022（9）：42-48，57.

［9］歐陽尚昭，高轉(zhuǎn)玲. 于細(xì)微處見真章? 在基礎(chǔ)處凸能力：2022年高考“復(fù)數(shù)和平面向量”專題解題分析［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2022（7 / 8）：58-64.

作者簡介：安學(xué)保（1975— ），男，中小學(xué)正高級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與評價研究；

王艷雪（1992— ），女，中學(xué)一級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題研究.