李愛琴

? 南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校

1 背景分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中“圖形與坐標(biāo)”強調(diào)數(shù)形結(jié)合,用代數(shù)方法研究幾何圖形,在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示圖形中點的位置,用坐標(biāo)法分析和解決實際問題.平行四邊形是初中幾何中一種非常重要的幾何圖形,對于它的性質(zhì)和判定,學(xué)生都要會合理應(yīng)用.與平行四邊形相關(guān)的問題在中考中也較為普遍,而由于與之相關(guān)聯(lián)的知識點涉及面廣,求解方法多、思路活,因此有些學(xué)生對這類問題有時束手無策,有時考慮又不全面.

對于初中學(xué)生來說,高效而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)解題方法是不可或缺的.在解決有關(guān)求平行四邊形頂點坐標(biāo)的問題時,往往要用到分類討論思想.下面筆者擬通過幾例問題分析,談?wù)劮诸愑懻撍枷朐谇笃叫兴倪呅雾旤c坐標(biāo)問題中的應(yīng)用.

2 分析說明

如圖1,在平行四邊形ABCD中,任意連接它的四個頂點中的兩個點,可以得到六條線段,分別是線段AB,BC,CD,DA,AC,BD.這六條線段要么是平行四邊形的邊,要么是平行四邊形的對角線.所以,在平面直角坐標(biāo)系中解決平行四邊形問題時,如果已經(jīng)知道了平行四邊形的三個頂點,那么一般分三種情況討論;而若只知道平行四邊形的兩個頂點,則一般需要分兩種情形來討論.因為這兩個頂點組成的線段只有兩種情形,可能是平行四邊形的邊,也可能是它的對角線.

圖1

3 案例剖析

案例1若以A(-1,0),B(3,0),C(0,4)為其中三個頂點畫平行四邊形,求第四個頂點的坐標(biāo).

分析：如圖2,已知平行四邊形三個頂點A,B,C,求第四個頂點,可以分三種情況,分別將AC,AB,BC向右或向上或向左平移就能得到第四個頂點的三種不同位置;也可以分別把AC,AB,BC看成對角線,從而得到第四個頂點的位置.

圖2

在這里,具體的求解有兩種方法:一是運用幾何論證方法,根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)容易求得第四個頂點的坐標(biāo).二是代數(shù)論證方法,運用線段中點坐標(biāo)公式從而確定第四個頂點的坐標(biāo).如圖2,平行四邊形第四個頂點的坐標(biāo)分別是(4,4),(-4,4),(2,-4).

案例2如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點A,B的坐標(biāo)分別為(1,5),(3,3),一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點D,C,如果以A,B,C,D為頂點的四邊形是平行四邊形,則一次函數(shù)y=kx+b的關(guān)系式為______.

圖3

分析：本題只知道平行四邊形兩個頂點A,B,所以分兩種情形,一種是AB為邊,另一種是AB為對角線.

先看第一種,如圖4,如果AB為邊,那么CD也是邊,此時過點A作x軸的垂線,過點B作y軸的垂線,兩條垂線的交點為E,則根據(jù)“平行四邊形對邊平行且相等”,可得△AEB≌△COD,所以CO=AE=2,EB=OD=2.當(dāng)點C,D分別在y軸和x軸的正半軸上時,直線CD的解析式為y=-x+2;當(dāng)點C,D分別在y軸和x軸的負半軸上時,直線CD的解析式為y=-x-2.

再看第二種,如圖5,若AB為對角線,則CD也為對角線.平行四邊形對角線具有的性質(zhì)是互相平分,根據(jù)線段中點的坐標(biāo)公式,可以確定AB的中點E的坐標(biāo)是(2,4).取OD中點F,連接EF,則EF是△COD的中位線.根據(jù)中位線的定義及性質(zhì)可以確定點D(4,0),C(0,8),所以CD所在直線的解析式為y=-2x+8.

圖5

綜合上述二種情況,可確定所求的一次函數(shù)解析式為y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8.

案例3如圖6,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2-2ax-3a(a<0)與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),經(jīng)過點A的直線l:y=kx+b與y軸負半軸交于點C,與拋物線的另一個交點為D,且CD=4AC.設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點,點Q在拋物線上,以點A,D,P,Q為頂點的四邊形能否成為矩形?若能,求出點P的坐標(biāo);若不能,請說明理由.

圖6

分析：以A,D,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,而在這四點中只知道兩點A,D,所以分兩種情形,即一種是AD為邊,另一種是AD為對角線.

圖7

圖8

4 解題反思

平行四邊形的存在性問題已經(jīng)成為中考的熱點問題之一,教師平時要注意引導(dǎo)學(xué)生在遇到這類問題時應(yīng)仔細分析題目信息,根據(jù)已知條件選擇合適的分類標(biāo)準(zhǔn).分類討論思想是一種比較系統(tǒng)性的思想,有助于解決一般性問題,在數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用.總之,利用分類討論思想解決有關(guān)平行四邊形的問題時,一般分三步:第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn),第二步畫圖,第三步計算.而難點在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn),如果分類標(biāo)準(zhǔn)恰當(dāng),可以使解的個數(shù)不重復(fù)、不遺漏,從而提高解題的正確率.教師在此類問題的解題教學(xué)中,要探索例題的教學(xué)價值,教會學(xué)生聚焦圖形本質(zhì),探索分類的合理性、思路的自然化,拓展思維的深度和廣度,提高解題能力,使每個學(xué)生得到不同的發(fā)展[1].