姜靜怡

? 吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院

1 利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)概念問題

學(xué)習(xí)函數(shù),首先要明確函數(shù)的概念.這就要求學(xué)生能識別簡單實際問題中的常量、變量及其意義;能根據(jù)函數(shù)圖象分析出實際問題中變量的信息,發(fā)現(xiàn)變量間的變化規(guī)律;能結(jié)合函數(shù)圖象分析簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系,進(jìn)而能初步推測變量的變化趨勢.

例1最近長春市連降雨雪,某水庫水位上漲.圖1表示某一天的水位變化情況,0時的水位為警戒水位.結(jié)合圖象判斷下列敘述不正確的是( ).

圖1

A.8時水位最高

B.P點(diǎn)表示12時水位為0.6 m

C.8時到16時水位都在下降

D.這一天水位均高于警戒水位

解析：本題是一道典型的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)概念的問題.解題時要在具體情景的基礎(chǔ)上認(rèn)真審題,結(jié)合題目給出的圖象分析得出答案.

對于A選項,通過觀察圖象可知,在8時圖象縱坐標(biāo)最大為1.0.所以A選項正確.

對于B選項,在圖象中可以觀察到,P點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)為12,縱坐標(biāo)為0.6.所以B選項正確.

在C選項中,提到了從8時到16時的水位問題.通過觀察圖象可以發(fā)現(xiàn),從8時到12時水位確實在不斷下降,但從12時到16時水位沒有發(fā)生變化.所以C選項錯誤.

D選項中提到這一天水位均高于警戒水位,即高于0時水位,觀察圖象可知D選項正確.

在解決本題時,教師要提醒學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想將圖象與題干對應(yīng)的信息聯(lián)系起來,進(jìn)而輕松解決問題.

2 利用數(shù)形結(jié)合思想解決一次函數(shù)問題

在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的過程中,要十分注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.要會畫一次函數(shù)的圖象,能根據(jù)圖象和表達(dá)式y(tǒng)=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0時圖象的變化情況,并且能夠根據(jù)已知條件結(jié)合以往學(xué)過的知識解決實際問題.

例2已知正比例函數(shù)y=2x的圖象上有一點(diǎn)B(m+2,m2-4),且點(diǎn)B在第一象限.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);

解析：(1)通過數(shù)形結(jié)合思想,利用待定系數(shù)法將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式,解方程即可求得m的值.將點(diǎn)B(m+2,m2-4)代入正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=2x,得到2(m+2)=m2-4,解得m=4或-2.又因為點(diǎn)B在第一象限,所以m=4.故點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(6,12).

(2)算出△OBC的面積為36,結(jié)合正比例函數(shù)解析式設(shè)點(diǎn)P(a,2a),分兩種情況討論.

當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時,過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D,如圖2,則PD=6-a.

圖2

當(dāng)點(diǎn)P在射線BA上時,過點(diǎn)P作PD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D,如圖3,則PD=a-6.

圖3

綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,6)或(9,18).

3 利用數(shù)形結(jié)合思想解決二次函數(shù)問題

在初中函數(shù)的學(xué)習(xí)中,二次函數(shù)既是重點(diǎn)也是難點(diǎn),更是中考的熱點(diǎn).中考對于二次函數(shù)考查的難度也在不斷增加,在解題中,要不斷融入數(shù)形結(jié)合思想才可以更加順利地解決相關(guān)問題[1].關(guān)于二次函數(shù),主要考查其圖象問題,包括圖象的開口方向、對稱軸以及二次函數(shù)的最大值和最小值并確定相應(yīng)的自變量的值,在此基礎(chǔ)上還要能夠解決簡單的實際問題.學(xué)生在學(xué)習(xí)時要更加關(guān)注二次函數(shù)解析式中各個字母代表的含義.

圖4

A.①② B.②③ C.②④ D.③④

當(dāng)x=1時,由圖象知y=2,代入解析式得a+b+c=2,所以②正確.

當(dāng)x=-1時,y=a-b+c<0;由(a+b+c)-(a-b+c)>2,得b>1,所以④錯誤.

綜上所述,B選項正確.

4 利用數(shù)形結(jié)合思想解決反比例函數(shù)問題

反比例函數(shù)作為初中函數(shù)的重要組成部分,主要考查其函數(shù)解析式及函數(shù)圖象的應(yīng)用,明確當(dāng)k<0和k>0時反比例函數(shù)圖象的整體特征,并能基于此解決實際問題.反比例函數(shù)知識點(diǎn)經(jīng)常與一次函數(shù)和二次函數(shù)相結(jié)合,并且解題方法也相對比較特殊.經(jīng)常借助交點(diǎn)求解三角形的面積.

圖5

(1)求k的值及點(diǎn)C的坐標(biāo);

(2)在y軸上有一點(diǎn)D(0,5),連接AD,BD,求△ABD的面積.

總而言之,函數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn),它也是考試的重點(diǎn).對于學(xué)生在解決函數(shù)問題的過程中經(jīng)常出現(xiàn)的一些錯誤,要給予他們足夠的引導(dǎo)和啟發(fā),在解答問題的時候,將數(shù)形結(jié)合思想與問題直觀融合起來,利用圖形的幫助,將抽象、復(fù)雜的函數(shù)問題形象地展示出來,以便讓學(xué)生能夠更好地理清解題思路,從而更好地完成問題的解答.與此同時,在數(shù)形結(jié)合思想的幫助下,學(xué)生也實現(xiàn)了對數(shù)學(xué)知識的內(nèi)化,推動了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展,從而數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)也得到了提高.總之,數(shù)形結(jié)合思想的合理應(yīng)用,對于初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題具有很大幫助.因此,具體教學(xué)中,教師應(yīng)根據(jù)實際情況,引導(dǎo)學(xué)生通過合理的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行解題.這樣才可以獲得更好的教學(xué)效果,促進(jìn)初中生數(shù)學(xué)學(xué)科的良好學(xué)習(xí)與發(fā)展[2].