施秋榮

? 江蘇省蘇州高新區(qū)第一初級中學校

在教育深化改革背景下,教師要切實落實立德樹人根本任務,深入推進初中數(shù)學課堂教學改革,落實學生主體地位,聚焦學生核心素養(yǎng)的培育,探索課堂教學的新范式.在此背景下,“以數(shù)解形、以形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合思想的價值和作用愈發(fā)凸顯,得到了眾多數(shù)學教師的青睞,且收獲了良好的教學效果.新形勢下,教師要深入探索教學內(nèi)容,并立足教學內(nèi)容之上,以教學目標為指引,貫徹落實數(shù)形結(jié)合思想.

1 數(shù)形結(jié)合思想概述

1.1 數(shù)形結(jié)合思想的定義

數(shù)形結(jié)合思想指的是利用“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系對數(shù)學知識點和數(shù)學問題進行研究,并以此為數(shù)形轉(zhuǎn)換找到一定條件的一種數(shù)學思維方法[1].

1.2 數(shù)形結(jié)合思想的轉(zhuǎn)換方法

(1)以數(shù)解形

以數(shù)解形,即將圖形轉(zhuǎn)換成數(shù).具體指的是通過分析數(shù)學題目中的各種圖形,挖掘其所包含的代數(shù)知識,在明確圖形和數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上,用“數(shù)”的方式將“形”的屬性表現(xiàn)出來,從而使復雜的圖形變得簡單明了,幫助學生實現(xiàn)快速解題[2].

(2)以形助數(shù)

以形助數(shù),即將數(shù)轉(zhuǎn)換成圖形.具體指的是針對數(shù)學中難以用代數(shù)進行描述和表達的抽象知識點,可通過合理引入圖形的方式將抽象難懂的數(shù)學知識點轉(zhuǎn)化為比較直觀的形象表達,用“形”的具體將“數(shù)”的抽象表現(xiàn)出來,進而幫助學生解決難以理解的數(shù)學問題.

(3)數(shù)形互變

數(shù)形互變,即數(shù)字和圖形之間的相互轉(zhuǎn)化.具體指的是在解決數(shù)學問題的過程中,以題意為基礎(chǔ)進行聯(lián)想,將抽象的數(shù)學語言轉(zhuǎn)化成圖形,將題目中的圖形以數(shù)量關(guān)系的方式表達出來.這能夠讓抽象的數(shù)學問題變得簡單、易解答[3].

2 初中數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想教學案例分析

2.1 數(shù)形結(jié)合思想在有理數(shù)中的應用

有理數(shù)是初中數(shù)學較為重要的內(nèi)容之一,且具有較強的邏輯性.對于部分學生而言,有理數(shù)學習具有一定的難度.此時,從學生學習能力和實際水平出發(fā),依托數(shù)形結(jié)合思想,靈活地引入“數(shù)軸”這一圖形工具,可將數(shù)學問題化難為易,進而幫助學生快速、準確地解決數(shù)學問題.

例1已知a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖1所示,化簡|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|.

圖1

分析：通過分析數(shù)軸可知b

解析：由數(shù)軸,得b

所以a+b<0,c-a>0,b-c<0.

故|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|

=-a+a+b+c-a-b+c

=-a+2c.

點評：通過分析數(shù)軸準確判斷a,b,c之間的大小關(guān)系和正負情況,既可以便于學生直觀地理解正、負數(shù)的概念及其區(qū)別,還可以確保學生快速、準確地得到結(jié)果.

2.2 數(shù)形結(jié)合思想在不等式中的應用

中考數(shù)學中,代數(shù)問題往往以一元二次方程(不等式)的形式出現(xiàn).在不等式的相關(guān)習題中,靈活應用數(shù)形結(jié)合思想,利用二次函數(shù)圖象解決不等式問題,這樣既可以降低不等式習題的難度,還可以讓學生感受到學習的樂趣.更重要的是,這有助于學生數(shù)形結(jié)合能力的提升,可為學生后續(xù)快速、準確解答不等式問題奠定良好基礎(chǔ).

例2如圖2為二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,其對稱軸為直線x=1,若其與x軸一交點為A(3,0),則由圖象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集是______.

圖2

分析：根據(jù)二次函數(shù)的對稱性,可得出圖象與x軸的另一個交點坐標,進而結(jié)合圖象可得出ax2+bx+c<0的解集.

解析：由圖象可知,二次函數(shù)圖象對稱軸為x=1,與x軸的一個交點坐標為(3,0),所以圖象與x軸的另一個交點坐標為(-1,0).

結(jié)合圖象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集.

因此,不等式ax2+bx+c<0的解集是-1

點評：利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解不等式,可以有效降低解題難度,也可以減少計算量.

2.3 數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應用

函數(shù)是初中學生新接觸的內(nèi)容,無論從理解,還是接受方面都比較困難,所以找對解題方法十分關(guān)鍵.在函數(shù)問題中應用數(shù)形結(jié)合思想,可提升解題效率,保證解題正確率.

例3周末上午,小紅從家出發(fā)跑步去公園,之后在公園停留了一會,并在疲憊時選擇打車回家.圖3中折線表示小紅離家的距離y(單位:m)和所用時間x(單位:min)之間的函數(shù)關(guān)系,則下列說法中錯誤的是( ).

圖3

A.小紅在公園停留了5 min.

B.小紅乘出租車用了17 min.

C.小紅跑步的速度為180 m/min.

D.出租車的平均速度是900 m/min.

解析：為準確快速解答問題,首先要明確圖中橫坐標和縱坐標分別代表的實際意義——橫坐標代表的是小紅所用的時間,縱坐標代表的是小紅離家的距離.其次,要明確該折線圖由三部分構(gòu)成.其中第一段表示“小紅從家出發(fā)跑步去公園”,且離家的距離越來越遠,到10 min時,小紅距離家的距離為1 800 m,這說明小紅家到公園的距離為1 800 m,且小紅的跑步速度為1 800÷10=180(m/min);第二段表示“小紅在公園停留了一會”,因此該段中,只有時間在增加,而小紅家離家距離并沒有增加,且小紅停留的時間為5 min.第三段表示“小紅在打車回家”,因此,小紅離家的距離越來越近,到17 min時,小紅與家的距離為0 m,說明小紅已經(jīng)到家,且花費的時間為17-15=2(min),可以得出出租車的平均速度為1 800÷2=900(m/min).故該題的正確答案為選項B.

點評：數(shù)形結(jié)合思想把實際問題和圖象緊密地結(jié)合在了一起,不僅使學生的解題思路更加明確,縮短了學生做題時間,也提高了解題準確率.

2.4 數(shù)形結(jié)合思想在幾何中的應用

初中幾何知識具有抽象性特點,是學生需要掌握的重點知識和難點知識.切實強化數(shù)形結(jié)合思想在幾何問題中的應用,不僅可以幫助學生以簡單的方式快速解答幾何問題,還可以有效培養(yǎng)學生的抽象思維能力.

例4如圖4所示,當菱形ABCD的面積為120 cm2時,正方形AECF的面積為50 cm2,則菱形的邊長為______cm.

分析：該題是求解長度的問題,其解題關(guān)鍵在于菱形和正方形都是軸對稱圖形,且二者都具有對角線相互垂直的性質(zhì).因此,可依托數(shù)形結(jié)合思想,用設(shè)未知數(shù)的方法,解答出正確答案.

解：設(shè)AC=2a,BD=2b,則

①

②

由式①②,解得a=5,b=12.

點評：以數(shù)解形的解題方法既可以降低習題難度,也能夠為學生提供更加便捷的解題方法,有利于提高解題效率.

數(shù)形結(jié)合思想可以將形象直觀的圖形與抽象的數(shù)學知識進行有機結(jié)合,進而實現(xiàn)教學內(nèi)容具體化、復雜關(guān)系簡單化.因此,教師應當加強數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學教學中的應用,并圍繞學生實際學習情況和學習特點,為學生總結(jié)出更多數(shù)形結(jié)合思想的應用思路.