吳 琨

? 江蘇省南京市上元中學(xué)

1 代數(shù)推理的重要性與含義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《2022年版課標(biāo)》)指出,推理能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一,有助于學(xué)生逐步養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習(xí)慣,形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神[1].

《2022年版課標(biāo)》對(duì)初中階段推理能力的內(nèi)涵界定如下:“推理能力主要是指從一些事實(shí)和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力.”由此,新課標(biāo)把培養(yǎng)目標(biāo)中的數(shù)學(xué)思維表述為“主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力”.其中,運(yùn)算本質(zhì)上就是演繹推理[2].所以,在這個(gè)意義上可以認(rèn)為,培養(yǎng)目標(biāo)中的數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為推理,推理集中反映了數(shù)學(xué)思維的共通育人要求和獨(dú)特育人價(jià)值[3].

在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中,有高中教師反映,初中生代數(shù)領(lǐng)域的推理能力難以應(yīng)對(duì)高中階段代數(shù)學(xué)習(xí)的要求.對(duì)此,《2022年版課標(biāo)》在代數(shù)式這一部分內(nèi)容增加了“了解代數(shù)推理”,近年來(lái)考查學(xué)生代數(shù)推理能力也已逐漸成為中考的一個(gè)新的考查方向.

2 從中考題看代數(shù)推理的解題思路

2.1 演繹推理

例1(2021年·江蘇南京)設(shè)x1,x2是關(guān)于x的方程x2-3x+k=0的兩個(gè)根,且x1=2x2,則k=______．

解析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,可得x1+x2=3,x1x2=k,再結(jié)合題目已知條件x1=2x2,可得k=2.

評(píng)析：本題是運(yùn)用演繹推理解決問(wèn)題,即從一般性原理出發(fā),推出某特殊情況下結(jié)論.首先是已知的一般原理(大前提),即根與系數(shù)的關(guān)系;其次,存在所研究的特殊情況(小前提),即x1+x2=3,x1x2=k,x1=2x2;最后得出特殊情況下的結(jié)論.

解析：因?yàn)閙是一元二次方程x2+3x-1=0的根,所以m2+3m-1=0,則3m-1=-m2.

因?yàn)閙,n是一元二次方程x2+3x-1=0的兩個(gè)根,所以m+n=-3.

評(píng)析：本題也是代數(shù)演繹推理的運(yùn)用.在求解時(shí),首先要知道運(yùn)用哪些大前提(根與系數(shù)的關(guān)系,等式與分式的基本性質(zhì)),然后再根據(jù)題目中的小前提(m,n是一元二次方程x2+3x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根)進(jìn)行求值.在求解中,可以利用整體代換、降次等變形技巧.

小結(jié)：例1、例2都是考查學(xué)生代數(shù)演繹推理能力.演澤推理的基本形式為“三段論”,即大前提—小前提—結(jié)論.這既能培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力,又能培養(yǎng)學(xué)生演繹推理的能力.學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中就要注重問(wèn)題的探求過(guò)程,體驗(yàn)知識(shí)“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程,要學(xué)會(huì)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá).以上演繹推理是通過(guò)相關(guān)運(yùn)算進(jìn)行的,屬于算數(shù)推理或代數(shù)推理.

2.2 歸納推理

例3(2022年·江蘇宿遷)按規(guī)律排列的單項(xiàng)式x,-x3,x5,-x7,x9,……,則第20個(gè)單項(xiàng)式是______．

解析：第1個(gè)指數(shù)為2×1-1=1,第2個(gè)指數(shù)為2×2-1=3,第3個(gè)指數(shù)為2×3-1=5,……,第n個(gè)指數(shù)為2n-1;并且,第偶數(shù)個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)為-1.

所以第20個(gè)單項(xiàng)式是-x39.

評(píng)析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)的含義,關(guān)鍵是通過(guò)歸納與總結(jié)得到單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)的規(guī)律.通過(guò)代數(shù)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)指數(shù)規(guī)律,掌握“從具體到一般的探究方法”.

例4(2021年·江蘇揚(yáng)州)將黑色圓點(diǎn)按圖1所示的規(guī)律進(jìn)行排列,圖中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為1,3,6,10,……,將其中所有能被3整除的數(shù)按從小到大的順序重新排列成一組新數(shù)據(jù),則新數(shù)據(jù)中的第33個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．

小結(jié)：例3、例4都是合情推理中歸納方法的應(yīng)用.歸納是通過(guò)對(duì)某類(lèi)事物中若干特殊情形的分析得出一般結(jié)論的思維方式.解決此類(lèi)推理題的關(guān)鍵與難點(diǎn)就是歸納出題干中所隱含的規(guī)律.學(xué)生要學(xué)會(huì)通過(guò)幾個(gè)特例,歸納出蘊(yùn)含在部分對(duì)象之中的共同性質(zhì),從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律,要求學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)自己的想法.此歸納推理是通過(guò)運(yùn)算進(jìn)行的,即屬于算數(shù)推理或代數(shù)推理.

2.3 類(lèi)比推理

例5(2020年· 江蘇徐州)閱讀感悟:有些關(guān)于方程組的問(wèn)題,欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值,而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值,如以下問(wèn)題:

已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足3x-y=5①,2x+3y=7②,求x-4y和7x+5y的值．

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組,解得x,y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案,常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí),仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系,本題還可以通過(guò)適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值,如由①-②可得x-4y=-2,由①+②×2可得7x+5y=19．這樣的解題思想就是通常所說(shuō)的“整體思想”．

解決問(wèn)題:

(2)某班級(jí)組織活動(dòng)購(gòu)買(mǎi)小獎(jiǎng)品,買(mǎi)20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元,買(mǎi)39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元,則購(gòu)買(mǎi)5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元?

分析：(1)由已知2x+y=7①,x+2y=8②,利用 “整體思想”,①-②即可求得x-y的值,①+②即可求得x+y的值.

(2)設(shè)每支鉛筆x元,每塊橡皮y元,每本日記本z元,根據(jù)題意列出方程組,結(jié)合“整體思想”,類(lèi)比材料中的方法即可求解．

評(píng)析：通過(guò)閱讀材料,領(lǐng)悟“整體思想”在解題中的應(yīng)用,類(lèi)比此方法求解第(1)小題,抓住兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系,進(jìn)行合理變形,即可得到含x+y,x-y的式子;對(duì)于第(2)小題,引入x,y,z后,得到20x+3y+2z=32,39x+5y+3z=58,類(lèi)比材料中的方法,通過(guò)整體變形得到含“5x+5y+5z”的式子,以此求得它的值.以上第(1)(2)小題的求解就體現(xiàn)了類(lèi)比推理.

小結(jié)：例5是類(lèi)比推理的應(yīng)用,解答類(lèi)比推理題的關(guān)鍵就是運(yùn)用熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn),用類(lèi)比的方法,分析未知與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有的相似特征,然后猜想其解題方法和解題思維上的類(lèi)似之處,從而解決問(wèn)題.應(yīng)用類(lèi)比推理方法可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行更深層次的認(rèn)識(shí),在做題時(shí)能縮短做題時(shí)間,提高做題效率.此類(lèi)比推理是通過(guò)運(yùn)算進(jìn)行的,亦屬于算數(shù)推理或代數(shù)推理.

3 教學(xué)反思

中考數(shù)學(xué)中的代數(shù)推理題綜合性強(qiáng),形式比較新穎,解題方法靈活多變.那么,初中教師應(yīng)如何有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力呢?

(1)教師要糾正教學(xué)認(rèn)知.在應(yīng)試導(dǎo)向的教學(xué)實(shí)踐中,教師往往會(huì)傾向于如何“高效”地把解題具體策略、手段或方法硬塞給學(xué)生,導(dǎo)致推理的教育意義很難在這種依賴(lài)被動(dòng)的“灌輸”中生長(zhǎng).甚至學(xué)生誤以為在基礎(chǔ)教育階段幾何證明等同于推理,導(dǎo)致對(duì)新課標(biāo)提出的“三會(huì)”中的數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)的推理,特別代數(shù)推理,仍然感覺(jué)陌生而難操作.

(2)教師要抓住教學(xué)中的每個(gè)關(guān)鍵時(shí)期,抓住一切可以示范的機(jī)會(huì)進(jìn)行訓(xùn)練,完善學(xué)生代數(shù)推理的表達(dá)體系,常用“因?yàn)椤?所以……”“之所以……,是因?yàn)椤薄耙虼恕薄坝纱丝梢?jiàn)”等作為推理的詞組[4].

(3)教師應(yīng)該重視演繹推理、歸納推理和類(lèi)比推理,在教學(xué)中多加運(yùn)用,經(jīng)常性滲透.比如,演繹推理——從有理數(shù)、整式和分式運(yùn)算,到方程、不等式和函數(shù),代數(shù)演繹推理幾乎涉及所有初中代數(shù)內(nèi)容.舉例說(shuō)明,由方程2x+3=5怎么得到x=1?首先方程兩邊同時(shí)減去3,得到2x=2,然后方程兩邊同時(shí)除以2,得到x=1.這里運(yùn)用的就是演繹推理,主要依據(jù)是等式的基本性質(zhì).再如,歸納推理——在某些數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過(guò)程中,可以引導(dǎo)學(xué)生從特殊事物的各不同屬性中歸納出共同的、本質(zhì)的屬性,在此基礎(chǔ)上形成定義.這就是歸納推理的一種運(yùn)用.類(lèi)比推理在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用得也很多,如,分?jǐn)?shù)的運(yùn)算與分式的運(yùn)算,因數(shù)分解與因式分解,一元二次方程和二次函數(shù),等等.如果在教學(xué)中運(yùn)用類(lèi)比推理,既能減少學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的陌生度,又能讓學(xué)生達(dá)到溫故而知新的目的,還可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,使整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)有事半功倍的效果.

總之,代數(shù)推理是培養(yǎng)學(xué)生抽象能力、推理能力,發(fā)展學(xué)生邏輯思維與理性精神的良好載體.在教學(xué)中教師需提高認(rèn)識(shí),系統(tǒng)開(kāi)發(fā)和設(shè)計(jì)相應(yīng)素材資源,適時(shí)適地地讓學(xué)生經(jīng)歷各類(lèi)代數(shù)推理過(guò)程,感悟代數(shù)推理的真諦,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).