陜西省榆林市吳堡中學(xué)(718200)郭蒙

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017 年版2020 年修訂)第88 頁在考試命題原則中強(qiáng)調(diào): 考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容為主線,聚焦學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用,強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性;注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法,淡化解題技巧.把握數(shù)學(xué)核心概念的本質(zhì),明晰什么是數(shù)學(xué)的通性通法,在第97 頁中強(qiáng)調(diào): 我們教師應(yīng)關(guān)注理解與高中數(shù)學(xué)關(guān)系密切的高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容,能夠從更高的觀點(diǎn)理解高中數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)[1].必要性探路是指對(duì)某些與函數(shù)有關(guān)的恒成立問題,通過選取函數(shù)定義域內(nèi)的某些特殊值,先得到一個(gè)必要條件,初步獲得參數(shù)的范圍,再在該范圍內(nèi)進(jìn)行討論,或去驗(yàn)證其充分性,進(jìn)而得到參數(shù)的準(zhǔn)確范圍的方法,本文主要研究其在高考中的應(yīng)用.

1 必要性探路

若f(x) ≥0 恒成立,求參數(shù)a的取值范圍集合A,可以選一個(gè)特殊的x0代入f(x) ≥0 中,解出參數(shù)a的一個(gè)取值范圍B,則必有A?B,即B為f(x) ≥0 成立的必要條件,因此稱為必要性探路.在集合B的范圍內(nèi)討論參數(shù)a便可減少討論次數(shù),降低思維的成本.在解題時(shí)希望B=A,即B為f(x)≥0 成立的充分條件,對(duì)于部分試題,這并非巧合,將f(x) ≥0 轉(zhuǎn)化為g(x) ≥l≥h(x),其中l(wèi)為g(x)與h(x)的公切線,g(x)與h(x)分別位于切線l的兩側(cè),而代入的特殊值x0恰好為切點(diǎn)的橫坐標(biāo),因此出現(xiàn)B=A的情況.

評(píng)注必要性探路的方法求出的結(jié)果并不一定就是所求的實(shí)際范圍,但可以縮小參數(shù)的討論范圍,減少分類討論的類別,降低思維的成本,此法求得的參數(shù)范圍為f(x) ≥0 的必要條件,必須證明充分性.

例1(2022 年高考甲卷理科第21 題) 已知函數(shù).若f(x)≥0,求a的取值范圍.

解析因?yàn)閒(x)≥0,所以f(1)≥0,即a≤e+1.下證充分性.

當(dāng)a≤e+1 時(shí),,由切線不等式ex≥ex,lnx≤x-1 得,,當(dāng)且僅當(dāng)x= 1 時(shí)取等號(hào),充分性成立,因此a的取值范圍(-∞,e+1].

評(píng)注不等式可變?yōu)? 設(shè),g(x) = lnx-x+a,切點(diǎn)坐標(biāo)為P(x0,y0),則f(x0) =g(x0),f′(x0) =g′(x0).進(jìn)而得到,x0=1.

將x= 1 代入f(x) ≥0,解出a的范圍即為所求答案, 在充分性證明, 完美解答了此題, 圖1 為示意圖.

2 端點(diǎn)效應(yīng)

命題1若f(x,m) ≥0 (m為參數(shù))在[a,b] (a,b為常數(shù)) 上恒成立, 且f(a) = 0 (或f(b) = 0), 則f′(a) ≥0 (或f′(b)≤0).

命題2若f(x,m)≥0 (m為參數(shù))在[a,b] (a,b為常數(shù))上恒成立,且f(a) = 0,f′(a) = 0(或f(b) = 0,f′(b) = 0),則f′′(a)≥0(或f′′(b)≤0).

推論1若f(x,m) ≥0 (m為參數(shù))在[a,b] (a,b為常數(shù))上恒成立,且f(a)=0,f′(a)=0,··· ,f(n-1)(a)=0,則f(n)(a)≥0,n≥1,n∈N.

推論2若f(x,m) ≥0 (m為參數(shù))在[a,b] (a,b為常數(shù))上恒成立,且f(b) = 0,f′(b) = 0,··· ,f(n-1)(b) = 0,則f(n)(b)≤0,n≥1,n∈N.

評(píng)注上述結(jié)論的細(xì)節(jié)請(qǐng)參看文獻(xiàn)[2].多次應(yīng)用命題1、2 即可得到推論1、2,此法求得的參數(shù)范圍為答案的必要條件,必須證明其充分性,端點(diǎn)效應(yīng)為必要性探路的一種特殊情況,在利用端點(diǎn)效應(yīng)求得的參數(shù)范圍下,當(dāng)f(n)(x)不變號(hào)時(shí), 可得到f(x)為單調(diào)函數(shù), 此參數(shù)范圍必滿足充分性,即為所求答案,當(dāng)f(n)(x)變號(hào)時(shí),此時(shí)端點(diǎn)效應(yīng)可能失效.2023 年全國各地高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)壓軸題,大部分恒成立試題都可以利用端點(diǎn)效應(yīng)解答,高考命題人更傾向于考查學(xué)生利用分類討論法解答此類題的能力,可以利用端點(diǎn)效應(yīng)得到參數(shù)的分界點(diǎn),進(jìn)而利用分類討論法完美解答.

例2(2023 年高考甲卷理科第21 題) 已知函數(shù);(1) 略.(2)若f(x) < sin 2x恒成立,求a的取值范圍.

方法一 (端點(diǎn)效應(yīng))設(shè)g(x)=f(x)-sin 2x,,則g(x) < 0 在上恒成立, 因?yàn)間(0) = 0, 所以g(x) ≤0 在上恒成立, 由端點(diǎn)效應(yīng)可得g′(0) ≤0,,因此a-3 ≤0 即a≤3.

下證充分性.當(dāng)a≤3 時(shí),令t=cos2x,則t∈(0,1),,0

評(píng)注本題可轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)效應(yīng)題型,并且充分性成立,充要性得證利用端點(diǎn)效應(yīng)可縮小參數(shù)的范圍,使得分類討論的問題得到了簡化,端點(diǎn)效應(yīng)為我們用分類討論解題提供了參數(shù)的分界點(diǎn).

方法二(分類討論)設(shè)g(x)=f(x)-sin 2x,,則g(x)<0 在上恒成立,g(0)=0,

因此g′(x) < 0, 函數(shù)g(x) 在上單調(diào)遞減,g(x) 0 即a> 3 時(shí), 設(shè)m(x)=x-sinx,x∈(0,+∞),因?yàn)閙′(x)=1-cosx≥0,所以m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,m(x) >m(0) = 0,因此sinx0,故

評(píng)注本解法要求學(xué)生具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,對(duì)于矛盾區(qū)間(矛盾點(diǎn))可以直接對(duì)原函數(shù)進(jìn)行放縮.

例3(2023 年高考甲卷文科第21 題)已知函數(shù).(1) 略.(2)若f(x)+sinx<0,求a的取值范圍.

方法一(端點(diǎn)效應(yīng))設(shè),則g(x) < 0 在上恒成立,因?yàn)間(0) = 0,所以g(x) ≤0 在上恒成立,由端點(diǎn)效應(yīng)得g′(0) ≤0,因?yàn)?所以a≤0.

下證充分性.當(dāng)a≤ 0 時(shí), 因?yàn)? 所以0

故g(x)在上單調(diào)遞減,g(x)

評(píng)注本題可轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)效應(yīng)題型,檢驗(yàn)充分性成立,充要性得證,得到的答案為我們利用分類討論法提供參數(shù)的分界點(diǎn),進(jìn)而完美解答此題.

方法二 (分類討論+ 連續(xù)函數(shù)保號(hào)性)設(shè),則g(x)<0 在上恒成立,,g(0) = 0,g′(0) =a.當(dāng)a≤0 時(shí)由方法一可知,滿足題意.當(dāng)a>0 時(shí),g′(0)=a>0由于函數(shù)g′(x)在上連續(xù),因此存在δ> 0 且,使得當(dāng)0 0,函數(shù)g(x)在(0,δ)上單調(diào)遞增,g(x) >g(0) = 0,不滿足題意,舍去.綜上,a的取值范圍為a≤0.

評(píng)注利用必要性探路可得到參數(shù)的分界點(diǎn),以此分界點(diǎn)進(jìn)行分類討論,在利用連續(xù)函數(shù)保號(hào)性推出矛盾,巧妙地解答了此題.

方法三(分類討論+放縮法)設(shè)

則g(x) < 0 在上恒成立,,g(0)=0,g′(0)=a.當(dāng)a≤0 時(shí),滿足題意.當(dāng)a>0 時(shí),因?yàn)閟inx 0, 所以, 取, 滿足,因此與已知矛盾,舍去.綜上,a的取值范圍為a≤0.

評(píng)注以必要性探路得到的參數(shù)分界點(diǎn)進(jìn)行分類討論,利用sinx

例4(2023 年高考乙卷文科第20 題) 已知函數(shù).(1) 略.(2)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,求a的取值范圍.

方法一(端點(diǎn)效應(yīng))由題意得f′(x) ≥0 在(0,+∞)上恒成立,, 令, 則g(x) ≥0 在(0,+∞)上恒成立, 因?yàn)間(0) = 0, 所以g(x) ≥0 在[0,+∞) 上恒立,,g′(0) = 0,g′′(0) = 2a-1,因此g′′(0) = 2a-1 ≥0,解得.

因此g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(x) >g(0) = 0,滿足題意.綜上,a的取值范圍為.

評(píng)注本題可化為端點(diǎn)效應(yīng)題型,檢驗(yàn)充分性成立,充要性得證,以此為參數(shù)的分界點(diǎn)可以利用分類討論法得到滿分.

方法二(分類討論)由題意得

圖2

圖3

評(píng)注利用必要性探路可得到參數(shù)的分界點(diǎn),以此分界點(diǎn)展開分類討論,進(jìn)而完美的解答了此題.

方法三(極限保不等式性質(zhì)+必要性探路)由題意得f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,因此

評(píng)注利用極限保不等式性質(zhì),縮小了參數(shù)a的范圍,再檢驗(yàn)其充分性,完美解答了該問題.在解題過程中,利用對(duì)數(shù)“單身狗”,減少了運(yùn)算量.

例5(2023 年高考新課標(biāo)Ⅱ卷第22 題)

(1)證明當(dāng)0

(2) 已知函數(shù)f(x) = cosax-ln(1-x2), 若x= 0 是f(x)的極大值點(diǎn),求a的取值范圍.

(1)證明設(shè)g(x)=sinx-(x-x2)=sinx-x+x2,x∈

(0,1),g′(x) = cosx-1+2x,g′′(x) = 2-sinx> 0,因此g′(x) 在(0,1) 上單調(diào)遞增,g′(x) >g′(0) = 0, 故g(x) 在(0,1) 上單調(diào)增,g(x) >g(0) = 0, 即x-x2< sinx, 設(shè)m(x) =x-sinx,x∈(0,1), 因?yàn)閙′(x) = 1-cosx≥0,所以m(x) 在(0,1) 上單調(diào)遞增,m(x) >m(0) = 0, 因此sinx

(2)解析函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)?-1,1),f(-x) =cos(-ax) - ln[1 - (-x)2] =f(x), 因此函數(shù)f(x) 為偶函數(shù),,f′(0) = 0.因?yàn)閤= 0是f(x) 的極大值點(diǎn), 因此存在δ> 0 且, 當(dāng)0

即f′(x) > 0, 不滿足題意, 舍去.當(dāng)時(shí), 因?yàn)閔′(0) = 2 -a2< 0 且函數(shù)h′(x) 在(0,1) 上連續(xù), 因此存在充分小的δ> 0, 當(dāng)0

評(píng)注此解法充分利用極值點(diǎn)概念,極值點(diǎn)為函數(shù)的局部性質(zhì),利用端點(diǎn)效應(yīng),得到答案的必要條件,使得參數(shù)范圍縮小,在進(jìn)一步驗(yàn)證充分性,完美解答此題,此題其它解法可參見文獻(xiàn)[3].2022 年全國乙卷理科第21 題,2022 年新高考全國Ⅱ卷第22 題,2020 年新高考Ⅰ卷第21 題,2010 年湖北高考理科第21 題,2016、2017 年全國ⅠⅠ卷文科數(shù)學(xué)第21 題,2019 年高考全國Ⅰ卷文科第20 題都可利用端點(diǎn)效應(yīng)完美解答,在運(yùn)用端點(diǎn)效應(yīng)解題時(shí),有時(shí)也出現(xiàn)了端點(diǎn)效應(yīng)失效,如2020 年新高考卷第21 題.

例6(2020 年高考Ⅰ卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x,當(dāng)x≥0 時(shí),,求a的取值范圍.

方法一(必要性探路)令,則g(x)≥0在[0,+∞) 上恒成立, 因此g(2) ≥ 0, 解得.

方法二(分類討論)令,則g(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立,當(dāng)時(shí),解法同方法一.當(dāng)時(shí),g(2)=e2-7+4a

評(píng)注令,則h(x) ≥0在[0,+∞)上恒成立,,h′′(x)=ex-3x+2a,h(0)=0,h′(0)=0,因此h′′(0)≥0,得,但是,并不是答案,原因在哪?

圖4

從上面分析中可以看出, 端點(diǎn)效應(yīng)失效一個(gè)原因是, 原函數(shù)取等于0 時(shí)除了端點(diǎn)x= 0還可以有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí),h(x)的圖象如圖5 所示.此題還可利用分離參數(shù)法或者直接利用指數(shù)找朋友分類討論法解答,也可以在范圍內(nèi)進(jìn)行討論,進(jìn)而得到參數(shù)的準(zhǔn)確范圍,此處略去.本題難度較大,利用必要性探路, 充分性證明, 完美解答, 大大降低了試題的難度,要求學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯推理,直觀想象能力.

圖5

3 結(jié)語

必要性探路,是解決含參數(shù)不等式恒成立的一個(gè)有力武器,取特殊點(diǎn)不是靠運(yùn)氣,而是有一定原因的,作為教師應(yīng)該幫助學(xué)生講好背后的精彩故事,導(dǎo)數(shù)恒成立壓軸題如果不易分類討論、也不容易進(jìn)行分離參數(shù)時(shí),不妨嘗試此法,雖然得到的參數(shù)范圍是必要的,不一定滿足充分性,但可以使得參數(shù)范圍縮小,分類討論的問題會(huì)簡化,從2023 年高考導(dǎo)數(shù)壓軸題也可以看出,必要性探路是一種克敵制勝的法寶,用高觀點(diǎn)來指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)是很有必要的,可以將問題化難為易,變得簡單明了,很多問題只有在高觀點(diǎn)下才能得到更深刻的理解,只有厘清高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的結(jié)合點(diǎn),深入剖析高考熱點(diǎn)問題,才能準(zhǔn)確把握高考命題的新方向,在高三一輪復(fù)習(xí)時(shí),老師們應(yīng)重視基礎(chǔ)知識(shí),強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)的落實(shí),為二輪復(fù)習(xí)做好鋪墊,重視通性通法,重視知識(shí)的形成過程,淡化技巧,做完題要反思,體會(huì)出題人的意圖,明確考察的知識(shí)與能力,落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),重視導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)、數(shù)列等的多元融合,適當(dāng)滲透高觀點(diǎn)去探究問題的本質(zhì),開闊解題思路,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力,進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng),希望本文對(duì)讀者的學(xué)習(xí)有一定的啟發(fā)作用.