張曉賀

山西省測繪地理信息院，太原 030001

1 引 言

城市影響范圍是城市在社會、經(jīng)濟(jì)、政治、文化等因素共同作用下對周圍區(qū)域所及的最大地域范圍（顧朝林等，1999)。確定城市影響范圍，是城市規(guī)劃的一項(xiàng)重要工作，有利于明確城市間的空間作用關(guān)系，促進(jìn)城市合理布局。常用的城市影響范圍研究方法有賴?yán)Ｐ?、引力模型、潛力模型、斷裂點(diǎn)模型、緩沖區(qū)分析、Voronoi 圖（簡稱V 圖)、加權(quán)V 圖等。其中，賴?yán)Ｐ汀⒁δＰ?、潛力模型、斷裂點(diǎn)模型側(cè)重理論分析，不能實(shí)現(xiàn)城市影響范圍的具體劃分（鄧羽等，2013；常小剛和閆浩文，2015)；緩沖區(qū)分析不能對空間進(jìn)行完全劃分（黃杏元和徐壽成，1998)；V 圖是對空間的一種完全劃分，可以實(shí)現(xiàn)城市影響范圍的具體劃分（趙春燕等，2010；趙佳星等，2020)。

V 圖生成算法可分為矢量和柵格兩類。常用的矢量算法有分治算法、插入算法、掃描線算法等。矢量算法計(jì)算復(fù)雜，不利于海量數(shù)據(jù)的處理（李成名和陳軍，1998)，且只能處理點(diǎn)和線段（Okabe 等，2000)。常見的柵格生成算法有擴(kuò)張算法、距離變換算法、層次算法、細(xì)分算法、確定歸屬算法、光柵掃描算法（胡鵬等，2006)等。其中，綜合考慮精度和效率因素，光柵掃描算法更具有優(yōu)勢，不需要考慮空間目標(biāo)數(shù)量、分布和形狀（Fabbri 等，2008)。傳統(tǒng)光柵掃描算法，通過3×3（或者5×5)鄰域模板在正反兩次掃描中將一個柵格的信息傳遞給鄰近的柵格，生成普通V 圖（Chen，1999)。目前雖然有一些改進(jìn)算法（Xu 等，2014；江威等，2015；劉青平等，2019)，但還不能滿足非勻質(zhì)空間和面狀加權(quán)。李佳田等（2016)提出了非理想平面梯度V 圖構(gòu)建算法，只適合簡單的點(diǎn)發(fā)生元；田松等（2014)基于結(jié)晶法提出了顧及障礙物的加權(quán)V 圖算法，謝順平等（2010)提出了一種基于網(wǎng)絡(luò)分析的加權(quán)V 面域圖構(gòu)建算法，可以將交通路網(wǎng)納入V 圖的生成中，但都未擴(kuò)展到整個非勻質(zhì)空間。基于此，本文改進(jìn)了光柵掃描算法，研究了非勻質(zhì)空間下面狀加權(quán)V 圖的生成。以山西省11 個地級市為研究區(qū)，選取城市常住人口、轄區(qū)面積、國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP)等18 項(xiàng)指標(biāo)，采用主成分分析法構(gòu)建了城市綜合實(shí)力評價指標(biāo)體系，用山西省坡度圖構(gòu)建非勻質(zhì)空間，生成了其地級市影響范圍圖，并進(jìn)行了對比分析。以期為促進(jìn)山西省城鎮(zhèn)科學(xué)規(guī)劃提供參考。

2 非勻質(zhì)空間面狀加權(quán)V 圖構(gòu)建方法

2.1 方法原理

本文針對面狀加權(quán)目標(biāo)，改進(jìn)了傳統(tǒng)光柵掃描算法距離變換中的傳遞信息；針對非勻質(zhì)空間，由于每個柵格像元傳遞權(quán)重不同，單個像元與目標(biāo)點(diǎn)之間有眾多不同傳遞權(quán)重的其他像元，其到目標(biāo)點(diǎn)的最短路徑會沿著傳遞權(quán)重最高的像元延伸，這樣就導(dǎo)致最短路徑不一定是直線，不能直接通過橫縱坐標(biāo)值來計(jì)算歐氏距離，所以本文按柵格像元傳遞權(quán)重對距離進(jìn)行分解，用距離累加值代替?zhèn)鹘y(tǒng)的歐氏距離；為了提高歸屬精度，采用了“十字交叉”光柵掃描。

在光柵掃描的時候使用3×3 鄰域模板（圖1)，通過“十字交叉”4 次掃描實(shí)現(xiàn)距離變換，如圖2所示：“左下—右上”縱向掃描時使用了模板（a)；“右上—左下”縱向掃描時使用了模板（b)；“左上—右下”橫向掃描時使用了模板（c)；“右下—左上”橫向掃描時使用了模板（d)。

圖1 八鄰域示意圖Fig.1 8-neighborhood sketch

圖2 掃描模板Fig.2 Scanning template

在距離變換的時候，所傳遞的信息為距離累加值最小時對應(yīng)父結(jié)點(diǎn)行列號與最近目標(biāo)點(diǎn)的行列號、目標(biāo)編號、目標(biāo)權(quán)重及距離累加值：

式中，為第n次掃描k鄰域計(jì)算的距離累加值；Dk為k鄰域傳遞過來的距離累加值；d為距離遞增值，如圖3 所示，四角取值，上下左右取值1；w1為k鄰域傳遞過來的目標(biāo)權(quán)重；w2為該柵格像元在非勻質(zhì)空間中的傳遞權(quán)重。Dn為該柵格像元第n次掃描計(jì)算的最小距離累加值。

圖3 距離遞增圖Fig.3 Incremental distance graph

四次交叉掃描結(jié)束后，連通最短路徑生成非勻質(zhì)空間下面狀加權(quán)V 圖。由于采用了光柵掃描方式，改進(jìn)后的算法時間復(fù)雜度同樣只受柵格化后像元數(shù)量的影響，不受目標(biāo)數(shù)量、分布和形狀的影響。

2.2 算法描述

輸入：

（1)發(fā)生元，即面狀目標(biāo)矢量數(shù)據(jù)，按城市綜合實(shí)力評價指標(biāo)賦予權(quán)重；

（2)非勻質(zhì)空間，即柵格傳遞權(quán)重圖，本文按坡度對柵格賦予傳遞權(quán)重。

輸出：非勻質(zhì)空間下面狀加權(quán)V 圖。

算法：

（1)將面狀目標(biāo)和非勻質(zhì)空間組合柵格化為M×N大小的3 通道圖像，通道1 記錄最近城市編號，通道2 記錄最近城市權(quán)重，通道3 記錄柵格所代表空間的傳遞權(quán)重；

（2)定義用于標(biāo)注的結(jié)構(gòu)體數(shù)組 mark T[M][N]{T.r，T.c，T.x，T.y，T.n，T.w，T.d}，分別記錄父結(jié)點(diǎn)行列號（r，c)、最近目標(biāo)點(diǎn)的行列號（x，y)、城市編號n、城市權(quán)重w，以及距離累加值d；

（3)“左下—右上”縱向掃描，按式（1)計(jì)算4 鄰域傳遞過來的最小距離累加值，并用T[i][j]記錄最小值對應(yīng)父結(jié)點(diǎn)行列號與最近目標(biāo)點(diǎn)的行列號、城市編號、城市權(quán)重，以及距離累加值；

（4)同步驟（3)繼續(xù)完成“十字交叉”4 次掃描并連通最短路徑；

（5)用T[M][N].n生成面狀加權(quán)V 圖。

3 城市綜合實(shí)力評價指標(biāo)體系

3.1 選擇評價指標(biāo)

城市綜合實(shí)力評價是一個多維度的概念，因此要遵循全面性、可比性、可操作性等原則，選取不同角度的指標(biāo)進(jìn)行評價。如表1 所示，本文從城市規(guī)模水平、城市經(jīng)濟(jì)水平、社會發(fā)展水平、基礎(chǔ)設(shè)施水平四個方面選取了18 項(xiàng)指標(biāo)來構(gòu)建山西省11個地級市評價指標(biāo)體系，評價指標(biāo)數(shù)據(jù)來自2020年《山西省統(tǒng)計(jì)年鑒》（山西省統(tǒng)計(jì)局，2020)。

表1 城市綜合實(shí)力評價指標(biāo)體系Tab.1 Evaluation index system for urban comprehensive strength

3.2 數(shù)據(jù)處理

（1)標(biāo)準(zhǔn)化處理。對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)處理，首先計(jì)算數(shù)據(jù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，然后計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化值。

（2)主成分分析。先通過正交變換將一組可能存在相關(guān)性的變量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為一組線性不相關(guān)的變量，求得標(biāo)準(zhǔn)化后數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，計(jì)算特征值和相對應(yīng)的特征向量；然后以主成分對總方差累計(jì)貢獻(xiàn)率大于85%的標(biāo)準(zhǔn)提取n個主成分。由表2知，前兩個因子的累計(jì)貢獻(xiàn)率已達(dá)92.061%。

表2 總方差解釋表Tab.2 Explanation of total variance

（3)求得11 個地級市的綜合實(shí)力分?jǐn)?shù)：

式中，Ak為第k個主成分貢獻(xiàn)率；Pij為i市第j項(xiàng)指標(biāo)的z-score 標(biāo)準(zhǔn)化值，Wj為指標(biāo)j在主成分k上的得分系數(shù)。為了消除負(fù)值，便于后期V 圖研究，利用式（2)對城市得分進(jìn)行線性映射，映射區(qū)間[A，B]取值為[1，10]，計(jì)算結(jié)果作為城市權(quán)重，如表3所示。其中：

表3 城市綜合實(shí)力最終得分Tab.3 Final score for urban comprehensive strength

式中，A為映射區(qū)間最小值；B為映射區(qū)間最大值。

4 山西省城市影響范圍

以2021 年山西省11 個地級市建城區(qū)范圍作為V 圖的發(fā)生元，并將表3 中映射后得分作為影響權(quán)重賦予相應(yīng)的發(fā)生元；因?yàn)槌鞘杏绊懼饕ㄟ^人類活動實(shí)現(xiàn)，而人類活動會受地形影響，坡度越大，人類活動越受限制，即柵格像元的傳遞能力和坡度成反比，所以取山西省坡度圖作為構(gòu)建非勻質(zhì)空間要素，按照式（4)給每個柵格像元賦予傳遞權(quán)重，坡度線性映射區(qū)間[A，B]取值為[1，50]：

式中，w2i為柵格像元i的傳遞權(quán)重；Gi為柵格像元對應(yīng)的坡度值（°)；A為映射區(qū)間最小值；B為映射區(qū)間最大值。其中，山西省坡度區(qū)間為 0°～45.264°，如圖4 所示。

圖4 山西省坡度圖Fig.4 Slope map of Shanxi Province

以改進(jìn)后的面狀加權(quán)V 圖算法為基礎(chǔ)，利用ArcEngine 開發(fā)相應(yīng)模塊，生成山西省11 個地級市影響范圍圖。作為對比，勻質(zhì)空間下取歐氏距離，分別構(gòu)建點(diǎn)狀和面狀加權(quán)V 圖。

如圖5 所示，通過生成的V 圖分析，總體上，太原作為省會城市，位于山西省中部，行政和區(qū)位優(yōu)勢得天獨(dú)厚，其綜合水平名列榜首，影響范圍幾乎囊括了整個山西省中部；運(yùn)城、臨汾、長治得分區(qū)別不大，占據(jù)了晉南大部分地區(qū)，晉城得分相對較低，劃分影響范圍相對較小；大同得分雖然不高，但由于獨(dú)處晉北，影響范圍囊括了整個山西北部，添加地形因素后，劃分的影響范圍增大；忻州、朔州、陽泉、晉中、呂梁影響范圍受限于太原，尤其是晉中得分雖然比大同高，但因?yàn)殡x太原較近，其影響范圍要遠(yuǎn)小于大同；添加地形因素后，由于山脈阻隔，朔州和忻州劃分的影響范圍增大。

圖5 山西省城市影響范圍V 圖Fig.5 Influence range map of cities in Shanxi Province

疊加對比圖5（a)、（b)，點(diǎn)狀加權(quán)V 圖（呈弧形)不僅不能準(zhǔn)確反映城市范圍特征，且會將權(quán)重小的城市（陽泉、晉中)凸出區(qū)域劃分到權(quán)重大的城市（太原)影響范圍內(nèi)（圖6 中點(diǎn)狀加權(quán)V 錯分區(qū)域)，可見當(dāng)城市之間權(quán)重差異較大、距離較近時，面狀加權(quán)V 圖（呈不規(guī)則線段)比點(diǎn)狀加權(quán)V圖更能精確劃分城市影響范圍；結(jié)合圖4，對比圖5（b)、（c)，山西省山區(qū)較多，均質(zhì)空間加權(quán)V 圖不能反映地形特點(diǎn)，非勻質(zhì)空間加權(quán)V 圖沿地形分布，城市影響范圍劃分受地形因素影響較大，尤其是在太原與忻州V 圖邊界的劃分上表現(xiàn)比較明顯，可見非勻質(zhì)空間加權(quán)V 圖更貼近實(shí)際。

圖6 點(diǎn)狀加權(quán)V 圖與面狀加權(quán)V 圖局部對比Fig.6 Local comparison between point-weighted Voronoi diagram and area-weighted Voronoi diagram

5 結(jié) 論

本文通過對V 圖算法的研究，改進(jìn)了光柵掃描算法，實(shí)現(xiàn)了非勻質(zhì)空間下面狀加權(quán)V 圖的生成。以山西省11 個地級市為研究對象，選取了18 項(xiàng)指標(biāo)，采用主成分分析法構(gòu)建了城市綜合實(shí)力評價指標(biāo)體系，用山西省坡度圖構(gòu)建了非勻質(zhì)空間，對山西省城市影響范圍進(jìn)行了研究。研究表明：

（1)山西省地級市影響范圍呈現(xiàn)中心省會超強(qiáng)，南北相對均衡的特點(diǎn)；

（2)相比點(diǎn)狀加權(quán)V 圖，城市之間權(quán)重差異較大、距離較近時，面狀加權(quán)V 圖更適合城市影響范圍劃分。

如何科學(xué)確定評價指標(biāo)計(jì)算城市綜合得分確定城市權(quán)重，以及如何改進(jìn)非勻質(zhì)空間下V 圖生成算法，提高邊界精度等問題還有待進(jìn)一步研究。