胡 楷, 馬 軍,2, 王曉東,2, 陳虹潮

(1．昆明理工大學(xué) 信息工程與自動(dòng)化學(xué)院,昆明 650500; 2．昆明理工大學(xué) 云南省人工智能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,昆明 650500)

轉(zhuǎn)子作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械的核心部件,在機(jī)械、動(dòng)力工程領(lǐng)域中起著重要的作用,一旦發(fā)生轉(zhuǎn)子裂紋故障,輕則造成轉(zhuǎn)子的斷裂或系統(tǒng)的停機(jī),重則引起經(jīng)濟(jì)損失及人員傷亡。因此,有效判斷和識(shí)別裂紋故障,對(duì)保證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安全運(yùn)行具有重大意義。

目前,國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)轉(zhuǎn)子裂紋故障的識(shí)別研究開(kāi)展了大量的工作,主要可以概括為裂紋檢測(cè)和定量識(shí)別裂紋參數(shù)2個(gè)方面[1-2]。裂紋檢測(cè)方面,劉楊等[3]基于裂紋柔度矩陣建立裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,從振動(dòng)信號(hào)中提取出裂紋的故障信息。向玲等[4]基于全譜圖分析了裂紋故障振動(dòng)信號(hào)的變化規(guī)律和特點(diǎn)。焦博隆等[5]提出了一種基于蝙蝠算法優(yōu)化參數(shù)的變分模態(tài)分解(VMD)診斷轉(zhuǎn)子裂紋故障方法,通過(guò)頻率結(jié)構(gòu)特征識(shí)別出轉(zhuǎn)子裂紋的故障特征。劉軍等[6]基于振動(dòng)能量空間分析方法研究了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性,實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)子裂紋故障的診斷。向玲等[7]提出了一種基于軸心軌跡形態(tài)的分析方法,為轉(zhuǎn)子裂紋故障診斷提供了一種新方法。上述研究只能定性判斷是否存在裂紋故障,難以識(shí)別發(fā)生裂紋故障的位置及故障,進(jìn)而導(dǎo)致對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)健康的監(jiān)測(cè)不足。

為了實(shí)現(xiàn)裂紋參數(shù)的識(shí)別,高海洋等[8]首次將Kriging代理模型技術(shù)應(yīng)用到裂紋識(shí)別領(lǐng)域,有效識(shí)別了懸臂梁和板結(jié)構(gòu)的裂紋參數(shù)。隨后,有學(xué)者將Kriging技術(shù)用于轉(zhuǎn)子裂紋參數(shù)的識(shí)別。Sinou等[9]提出了一種基于Kriging和多項(xiàng)式混沌展開(kāi)(PCE)的建模方法,用于預(yù)測(cè)不同裂紋參數(shù)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速和諧波分量。Lu等[10]將裂紋參數(shù)識(shí)別的逆問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找最優(yōu)裂紋參數(shù)的目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題,通過(guò)不斷更新樣本建立代理模型,用于轉(zhuǎn)子裂紋參數(shù)的量化識(shí)別。Wang等[11]提出了一種基于Kriging代理模型和非支配解排序遺傳算法Ⅲ型(NSGA-III)算法的轉(zhuǎn)子裂紋參數(shù)識(shí)別方法,對(duì)轉(zhuǎn)子裂紋的位置、深度等進(jìn)行識(shí)別。近年來(lái),針對(duì)單個(gè)Kriging代理模型預(yù)測(cè)效果不理想的問(wèn)題,部分學(xué)者對(duì)Kriging組合建模進(jìn)行了研究,Yang[12]在考慮地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)及方格數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上提出了一種Kriging組合模型,在地質(zhì)領(lǐng)域的空間預(yù)測(cè)取得了比單個(gè)Kriging代理模型更準(zhǔn)確的結(jié)果。Shi等[13]分析了機(jī)械結(jié)構(gòu)的時(shí)變可靠性,提出了一種自適應(yīng)Kriging組合模型,并通過(guò)實(shí)際算例驗(yàn)證了所提方法的精確性。然而,在Kriging組合模型的建立過(guò)程中,不同相關(guān)函數(shù)形式構(gòu)建的Kriging代理模型的預(yù)測(cè)精度各不相同,進(jìn)而引起Kriging組合模型的相關(guān)函數(shù)選擇不確定性問(wèn)題,導(dǎo)致后續(xù)的識(shí)別方案失敗,從而嚴(yán)重影響Kriging組合建模技術(shù)在裂紋識(shí)別領(lǐng)域的應(yīng)用。

針對(duì)上述存在的問(wèn)題,筆者基于逐步回歸模型篩選策略,提出了一種Kriging組合模型的建模方法,并將此模型用于建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的裂紋參數(shù)與動(dòng)力學(xué)響應(yīng)關(guān)系,避免原先復(fù)雜且耗時(shí)的有限元計(jì)算過(guò)程。基于Kriging組合模型構(gòu)建多目標(biāo)函數(shù),通過(guò)NSGA-Ⅲ多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行裂紋參數(shù)的尋優(yōu),實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)裂紋參數(shù)的定量識(shí)別。將Kriging組合模型與單個(gè)Kriging代理模型和指數(shù)函數(shù)-高斯函數(shù)的組合模型(ESK)進(jìn)行對(duì)比分析,驗(yàn)證了所提方法的精確性。

1 裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

1.1 裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元建模

A1=R2[π-cos-1(1-μ)+(1-μ)γ]

(1)

(2)

(a) 旋轉(zhuǎn)前

(b) 旋轉(zhuǎn)后圖1 裂紋轉(zhuǎn)子橫截面坐標(biāo)系Fig.1 Cross section coordinate system of cracked rotor μ=h/R

式中:R為轉(zhuǎn)子軸的半徑。

裂紋開(kāi)口部分在X軸和Y軸的截面慣性矩分別為IX,C和IY,C,其計(jì)算公式如下:

sin-1(1-μ)]

(3)

(4)

裂紋單元橫截面面積A1在X軸和Y軸上對(duì)應(yīng)的慣性矩為I1和I2,計(jì)算公式如下:

I1=I-IX,C

(5)

I2=I-IY,C

(6)

式中:I為無(wú)裂紋轉(zhuǎn)子的慣性矩。

(7)

f1(t)=cosn(Ωt/2)=

(8)

(9)

式中:n、p為正偶數(shù);j和i為求和過(guò)程中每次的取值;θ1為轉(zhuǎn)子裂紋開(kāi)始閉合的角度;θ2為轉(zhuǎn)子裂紋完全閉合的角度;f1(t)和f2(t)為傅里葉級(jí)數(shù)余弦展開(kāi)式。

假設(shè)轉(zhuǎn)子裂紋位于第j單元,對(duì)于裂紋單元,新的剛度矩陣kce,j為:

kce,j=kj+k1,jf1(t)+k2,jf2(t)

(10)

式中:kj為裂紋單元全部關(guān)閉狀態(tài)下的剛度矩陣;k1,j和k2,j為裂紋單元的剛度矩陣。

(11)

(12)

式中:E為彈性模量;l為裂紋單元的長(zhǎng)度。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由轉(zhuǎn)子、負(fù)載圓盤和滾動(dòng)軸承組成,系統(tǒng)參數(shù)見(jiàn)表1。假定橫向裂紋位于轉(zhuǎn)子的某一單元,裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元?jiǎng)恿W(xué)模型如圖2所示,模型離散為N個(gè)單元,每個(gè)單元有2個(gè)節(jié)點(diǎn),每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅考慮平移和轉(zhuǎn)動(dòng)方向的自由度,即具有4個(gè)自由度。根據(jù)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)有限元法[15],考慮呼吸裂紋及陀螺效應(yīng)的因素,裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為:

Mq″(t)+(C+ΩG)q′(t)+(K+K1f1(t)+

K2f2(t))q(t)=F+Fg

(13)

式中:K1和K2為4(N+1)×4(N+1)的矩陣,其中裂紋單元j對(duì)應(yīng)的值由k1,j和k2,j代替,其他元素的值為0;M為質(zhì)量矩陣[16];C為阻尼矩陣;G為陀螺矩陣;K為剛度矩陣;F為不平衡激勵(lì)向量;Fg為重力矩陣;q(t)為4(N+1)×1的向量。

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)

圖2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of finite element model of rotor system

1.2 振動(dòng)特性分析及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為獲取裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng),繼而分析裂紋轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性,采用Newmark-β法對(duì)式(13)進(jìn)行數(shù)值積分求解,得到轉(zhuǎn)子裂紋故障的振動(dòng)加速度信號(hào)。運(yùn)用FFT算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理,分析裂紋轉(zhuǎn)子的頻譜特征及其變化規(guī)律。根據(jù)實(shí)際實(shí)驗(yàn)條件,將裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)劃分為80個(gè)單元,轉(zhuǎn)子裂紋位于50單元,左、右2個(gè)軸承位置分別在12和77單元。

圖3給出了轉(zhuǎn)速為1 500 r/min、相對(duì)裂紋深度μ為0.2、0.4和0.6時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)頻譜圖。由圖3可知,頻譜圖中出現(xiàn)了轉(zhuǎn)頻為25 Hz、2倍頻為50 Hz和3倍頻為75 Hz的顯著特征,在后續(xù)分析中分別簡(jiǎn)寫為1X、2X和3X成分;當(dāng)裂紋深度增加時(shí),1X、2X和3X特征的幅值隨之增加。

為驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型的正確性及分析結(jié)果的可靠性,對(duì)裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究,圖4為自主搭建的轉(zhuǎn)子裂紋故障模擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái),平臺(tái)轉(zhuǎn)子的直徑為20 mm。實(shí)驗(yàn)采用JF2100加速度傳感器進(jìn)行測(cè)量,通過(guò)優(yōu)泰動(dòng)態(tài)信號(hào)采集控制測(cè)試系統(tǒng)uTekAcqu采集振動(dòng)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)配置了裂紋深度為2 mm、4 mm和6 mm的裂紋轉(zhuǎn)子,分別對(duì)應(yīng)于上述模型中的μ=0.2、μ=0.4和μ=0.6,裂紋轉(zhuǎn)子細(xì)節(jié)如圖5所示。該模擬裂紋由線切割機(jī)加工而成,以此實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際工業(yè)環(huán)境中轉(zhuǎn)子裂紋故障的模擬,與動(dòng)力學(xué)模型保持一致,設(shè)置系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速為1 500 r/min,通過(guò)測(cè)得的振動(dòng)信號(hào)對(duì)其進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT),進(jìn)而分析其動(dòng)態(tài)特性。

(a) μ=0.2

(b) μ=0.4

(c) μ=0.6

圖4 轉(zhuǎn)子裂紋故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)Fig.4 Rotor crack fault simulation test bench

圖5 裂紋轉(zhuǎn)子細(xì)節(jié)圖Fig.5 Details of cracked rotor

圖6給出了轉(zhuǎn)子裂紋深度為2 mm、4 mm和6 mm的頻譜圖。由圖6可知,頻域內(nèi)出現(xiàn)明顯的1X、2X和3X特征,且裂紋深度越大,所有特征對(duì)應(yīng)的幅值越大。該實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)先前的數(shù)值仿真進(jìn)行了部分驗(yàn)證,證明了所建動(dòng)力學(xué)模型的正確性和預(yù)測(cè)故障特征的可靠性。

(a) 裂紋深度為2 mm

(b) 裂紋深度為4 mm

(c) 裂紋深度為6 mm

2 NSGA-Ⅲ和Kriging組合模型構(gòu)建

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)裂紋參數(shù)定量識(shí)別的問(wèn)題可以等效為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題,因此考慮把實(shí)際裂紋參數(shù)和預(yù)測(cè)裂紋參數(shù)1X、2X和3X幅值的差異形成目標(biāo)函數(shù)。為使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值,需要通過(guò)多目標(biāo)優(yōu)化算法搜索出最合適的裂紋參數(shù),從而實(shí)現(xiàn)裂紋參數(shù)識(shí)別的目的。在采用NSGA-Ⅲ算法進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化過(guò)程中,應(yīng)用Kriging組合模型預(yù)測(cè)裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的1X、2X和3X幅值分布,避免復(fù)雜且耗時(shí)的有限元計(jì)算過(guò)程。

2.1 Kriging代理模型

Kriging代理模型是基于統(tǒng)計(jì)理論的插值近似模型,本質(zhì)上是一種半?yún)?shù)化的插值技術(shù)。Kriging代理模型y(x)可表示為一個(gè)回歸模型與高斯隨機(jī)過(guò)程之和的形式[17],即

(14)

式中:F(β,x)為多項(xiàng)式回歸函數(shù);f(x)為關(guān)于輸入?yún)?shù)x的基函數(shù);β=(β1,…,βp)T為對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)向量;z(x)為系統(tǒng)的估計(jì)誤差。

z(x)是協(xié)方差為Cov[z(xi),z(xj)]=σ2R(θ,xi,xj)、均值為0的隨機(jī)分布,其中σ2為方差,R(θ,xi,xj)為超參數(shù)θ的相關(guān)函數(shù),用于表征樣本點(diǎn)xi與xj的空間相關(guān)關(guān)系,其數(shù)學(xué)表達(dá)為:

(15)

式中:m為預(yù)先設(shè)計(jì)變量的數(shù)目;dk為樣本點(diǎn)k的歐氏距離;θk為超參數(shù)。

相關(guān)函數(shù)R(θ,xi,xj)有多種形式,Kriging代理模型中慣用的相關(guān)函數(shù)有指數(shù)函數(shù)、高斯函數(shù)、三次函數(shù)、球函數(shù)和樣條函數(shù)。

2.2 基于逐步回歸選擇策略的Kriging組合模型

筆者所提出的新思路是在得到不同Kriging代理模型的基礎(chǔ)上,引入逐步回歸模型篩選策略,對(duì)獲得的候選Kriging代理模型進(jìn)行篩選,通過(guò)啟發(fā)式權(quán)重系數(shù)法計(jì)算各篩選后模型的權(quán)重,形成新的組合模型。初始組合模型可表示為:

(16)

選擇留一法交叉驗(yàn)證[18],分別建立基于指數(shù)函數(shù)、高斯函數(shù)、三次函數(shù)、球函數(shù)和樣條函數(shù)的Kriging代理模型,所建模型依次表示為EXP、GAU、CUB、SPH和SPL,以此作為候選模型庫(kù)。依據(jù)逐步回歸法的思想[19],從候選模型庫(kù)中選擇顯著性較好的模型加入到組合模型。對(duì)候選模型逐個(gè)檢驗(yàn),將不顯著的Kriging代理模型進(jìn)行剔除處理,模型選取規(guī)則為:當(dāng)模型顯著性P值小于0.05,則將其引入組合模型;當(dāng)模型顯著性P值大于0.05,則將其剔除。

基于逐步回歸模型選擇策略形成的最終Kriging組合模型可表示為:

(17)

其中,利用啟發(fā)式權(quán)重系數(shù)法計(jì)算wi[20],其計(jì)算表達(dá)式如下:

(18)

(19)

(20)

(21)

2.3 Kriging組合模型的構(gòu)建過(guò)程

應(yīng)用提出的Kriging組合模型建立裂紋參數(shù)與裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)超諧成分之間的關(guān)系。由于不同的裂紋參數(shù)在某一位置的超諧成分幅值很接近,使用一個(gè)測(cè)點(diǎn)難以識(shí)別出裂紋參數(shù),但如果測(cè)點(diǎn)過(guò)多則會(huì)造成信息的冗余,為盡量與工程實(shí)際保持一致,經(jīng)過(guò)綜合考慮,選取轉(zhuǎn)子系統(tǒng)兩軸承位置計(jì)算的振動(dòng)響應(yīng)來(lái)構(gòu)建組合模型[11]。采用拉丁超立方抽樣(LHS)抽取初始樣本X,包括裂紋位置和相對(duì)裂紋深度,基于有限元?jiǎng)恿W(xué)模型,計(jì)算裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的1X、2X和3X超諧成分幅值來(lái)構(gòu)建矩陣Y,即

(22)

(23)

式中:xi=[liμi]為第i個(gè)裂紋參數(shù)樣本;li為裂紋位置;μi為相對(duì)裂紋深度;An,mX(xi)為第n個(gè)測(cè)點(diǎn)的mX超諧成分幅值。

表2 代理模型的逐步回歸優(yōu)化篩選結(jié)果

在表2中,第1行中第1列P值小于0.05,表示基于GAU的Kriging代理模型被放入1X特征Kriging組合模型中。第1行中第2列P值大于0.05,表示基于SPH的Kriging代理模型拒絕放入1X特征的組合模型中。第3行表示已篩選出Kriging代理模型的權(quán)重系數(shù)。

2.4 多目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造及裂紋參數(shù)識(shí)別

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題是多個(gè)目標(biāo)函數(shù)在相關(guān)的約束條件下同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化的問(wèn)題,筆者將裂紋參數(shù)定量識(shí)別的問(wèn)題等效為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題,利用Kriging組合模型預(yù)測(cè)諧波特征幅值與實(shí)際諧波特征幅值的差異,構(gòu)成多目標(biāo)函數(shù)。因此,裂紋參數(shù)的識(shí)別問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為式(24)和式(25)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。

findx*={l*,μ*}

(24)

(25)

式中:x*為目標(biāo)裂紋參數(shù)樣本;l*為目標(biāo)裂紋位置;μ*為目標(biāo)相對(duì)裂紋深度;O1～O6為目標(biāo)函數(shù);An,mX(x*)為通過(guò)Kriging組合模型預(yù)測(cè)得到的超諧成分幅值;An,mX(xTarget)為在裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中測(cè)量、計(jì)算得到的超諧成分幅值。

考慮到實(shí)際環(huán)境中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸承兩端附近不易出現(xiàn)裂紋故障[11],將約束條件設(shè)置為:

(26)

為解決上述多目標(biāo)問(wèn)題,使用NSGA-Ⅲ算法來(lái)進(jìn)行迭代尋優(yōu),相較于傳統(tǒng)的優(yōu)化算法,其優(yōu)勢(shì)表現(xiàn)為當(dāng)目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)大于4時(shí),NSGA-Ⅲ算法的優(yōu)化效果更好[21]?；贙riging組合模型和NSGA-Ⅲ的裂紋參數(shù)識(shí)別步驟如圖7所示。通過(guò)NSGA-Ⅲ種群的交叉變異迭代最終獲得一系列Pareto最優(yōu)解,最后一個(gè)子代所有的參數(shù)可使全部目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小,根據(jù)合適的評(píng)價(jià)指標(biāo)在Pareto最優(yōu)解中選擇一組最佳裂紋參數(shù)作為最終識(shí)別結(jié)果。

圖7 基于組合代理模型和NSGA-III的裂紋參數(shù)識(shí)別流程圖Fig.7 Flow chart of crack parameter identification based on combined model and NSGA-III

定義多目標(biāo)權(quán)重M為裂紋參數(shù)最終選擇指標(biāo),M是對(duì)最后一個(gè)子代的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)的總和,M的最小值所對(duì)應(yīng)的個(gè)體為最終選擇的裂紋參數(shù),即

(27)

式中:ki為權(quán)重系數(shù);O(i)為每個(gè)子代的目標(biāo)函數(shù)值。

3 轉(zhuǎn)子裂紋參數(shù)識(shí)別分析

3.1 裂紋參數(shù)定量識(shí)別分析

為了驗(yàn)證以上轉(zhuǎn)子系統(tǒng)裂紋參數(shù)識(shí)別方法的有效性,基于以上Kriging組合模型和NSGA-Ⅲ多目標(biāo)遺傳算法,使用LHS生成訓(xùn)練樣本,采用有限元?jiǎng)恿W(xué)模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),然后應(yīng)用所提Kriging組合模型構(gòu)建裂紋參數(shù)與1X、2X、3X幅值的關(guān)系,并利用NSGA-Ⅲ算法進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。遺傳算法的初始參數(shù)為:種群規(guī)模80,交叉概率0.5%,變異概率0.5%。

重新抽取5組裂紋參數(shù)作為驗(yàn)證樣本,計(jì)算裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的1X、2X、3X幅值來(lái)進(jìn)行識(shí)別方法的有效性分析。筆者詳細(xì)分析第1組裂紋參數(shù)的識(shí)別過(guò)程,圖8為6個(gè)目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化過(guò)程中目標(biāo)函數(shù)的均值隨進(jìn)化代數(shù)變化的結(jié)果,可以看出在進(jìn)化代數(shù)大于18時(shí)所有目標(biāo)函數(shù)值基本收斂。

圖8 目標(biāo)函數(shù)的均值隨進(jìn)化代數(shù)的變化Fig.8 The changes of the mean value of the objective function with the evolution algebra

圖9為采用NSGA-Ⅲ算法優(yōu)化的Kriging組合模型裂紋參數(shù)真實(shí)值與識(shí)別值的對(duì)比。由圖9可知,真實(shí)裂紋單元位于第58個(gè)有限元單元,裂紋位置的識(shí)別結(jié)果在第58單元和59單元,71%的識(shí)別結(jié)果處于第58單元;相對(duì)裂紋深度的識(shí)別結(jié)果在0.228～0.234范圍內(nèi),真實(shí)相對(duì)裂紋深度為0.225,最大相對(duì)誤差為2.6%,說(shuō)明裂紋參數(shù)的識(shí)別效果好。

(b) 相對(duì)裂紋深度圖9 最終種群中個(gè)體的裂紋參數(shù)分布Fig.9 Distribution of individual crack parameters in the final population

在轉(zhuǎn)子裂紋參數(shù)識(shí)別中需要確定一組裂紋參數(shù)作為最終識(shí)別結(jié)果,因此,根據(jù)M的選擇指標(biāo)在Pareto最優(yōu)解集中選取最佳裂紋參數(shù),使識(shí)別的裂紋參數(shù)結(jié)果更加接近實(shí)際裂紋參數(shù)。圖10為在Pareto最優(yōu)解集中得到的種群中所有裂紋參數(shù)對(duì)應(yīng)的M。由圖10可知,在第55組中取得M的最小值,因此將Pareto最優(yōu)解集中第55組作為最終識(shí)別的裂紋參數(shù)結(jié)果。另外4組也采用同樣的過(guò)程,獲取最終的識(shí)別結(jié)果。

圖10 裂紋識(shí)別結(jié)果的評(píng)價(jià)指標(biāo)Fig.10 Evaluation indicators of crack identification results

滿足M選擇指標(biāo)后的轉(zhuǎn)子裂紋參數(shù)識(shí)別結(jié)果見(jiàn)表3。由表3可知,裂紋位置完全識(shí)別正確,相對(duì)裂紋深度的識(shí)別誤差為0.15%～2.5%。綜上,所提方法對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的裂紋參數(shù)識(shí)別具有較高的有效性和準(zhǔn)確性。

表3 轉(zhuǎn)子裂紋參數(shù)識(shí)別結(jié)果

3.2 不同Kriging代理模型的識(shí)別對(duì)比分析

為了驗(yàn)證Kriging組合模型在裂紋參數(shù)識(shí)別中的精確性,采用基于單個(gè)Kriging代理模型的裂紋參數(shù)識(shí)別結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。此外,為證明所提Kriging組合模型(PESK)的優(yōu)勢(shì),建立了考慮指數(shù)函數(shù)和高斯函數(shù)相結(jié)合的Kriging組合模型(ESK)[22],并與基于ESK模型的識(shí)別結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。對(duì)于基于不同Kriging模型最終預(yù)測(cè)識(shí)別結(jié)果的精度,使用平均絕對(duì)百分比誤差(δMAPE)[23]分析真實(shí)值與識(shí)別值的誤差,即

(28)

式中:s為總的識(shí)別組數(shù);V為真實(shí)值;P′為預(yù)測(cè)識(shí)別值。

計(jì)算各驗(yàn)證樣本裂紋參數(shù)的δMAPE,結(jié)果如圖11所示。分析不同單個(gè)相關(guān)函數(shù)下Kriging代理模型與Kriging組合模型的識(shí)別誤差,結(jié)果可知,基于Kriging組合模型的δMAPE最小,裂紋位置的δMAPE為0,相對(duì)裂紋深度的δMAPE為1.2%。綜上分析可知,相較于單個(gè)Kriging代理模型的識(shí)別結(jié)果,基于Kriging組合模型的裂紋參數(shù)識(shí)別結(jié)果準(zhǔn)確性較高。所提出的Kriging組合模型引入逐步回歸模型篩選策略,解決了相關(guān)函數(shù)不確定性的問(wèn)題,取得了比ESK組合模型更高的準(zhǔn)確性。

圖11 基于不同Kriging模型識(shí)別MAPE誤差對(duì)比Fig.11 Comparison of identification MAPE errors based on different Kriging models

4 結(jié) 論

(1) 基于有限元和中性軸法理論,建立了裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)仿真模型,獲得了裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的1X、2X和3X超諧特征,并通過(guò)疲勞裂紋實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了有限元?jiǎng)恿W(xué)模型的正確性。

(2) 基于所提Kriging組合模型識(shí)別轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的裂紋參數(shù)具有很好的有效性和準(zhǔn)確性,裂紋位置的識(shí)別完全正確,相對(duì)裂紋深度的最大識(shí)別誤差為2.5%。