周耀兵，雷 威，何思澈，郭子源，趙 燈*

（第二船舶設計研究所，湖北 武漢）

引言

沖擊是機械系統(tǒng)中遇到的強非線性行為之一，由于其在齒側(cè)間隙、懸架系統(tǒng)、轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)等齒輪嚙合系統(tǒng)的建模中被廣泛研究。力-位置關系的固有非線性引起了豐富的非線性現(xiàn)象，包括擦掠分岔和混沌運動，相關的研究一直備受關注。例如，Dyskin 等人[1]考慮了具有完美彈性接觸和周期性驅(qū)動力的沖擊振蕩器，發(fā)現(xiàn)次諧波共振的振幅比線性增長慢。Jiang 等人[2]發(fā)現(xiàn)，當單面沖擊振蕩器的剛度比隨著彈性約束的增加而增加時，會出現(xiàn)從光滑分岔到非光滑分岔的轉(zhuǎn)變現(xiàn)象。

同時，摩擦是兩個接觸面產(chǎn)生的涉及相對運動的對抗性力，由于表面磨損和能量耗散是大多數(shù)機械系統(tǒng)在設計和工作過程中關注的兩個主要問題，因此在文獻中也得到了相當大的關注。涉及摩擦界面的動力學問題在廣泛的技術和科學應用中被發(fā)現(xiàn)，包括螺栓連接、渦輪葉片、鐵路轉(zhuǎn)向架以及許多其他。對于更復雜的二維問題，相對簡單的系統(tǒng)可以表現(xiàn)出復雜的不穩(wěn)定性，對運動方程進行精確的數(shù)值積分就會出現(xiàn)問題。Menq[3]給出了二維庫侖摩擦系統(tǒng)中不包含滑/粘轉(zhuǎn)移的質(zhì)點的一項簡諧形式解析解。

為了代表齒輪軸承系統(tǒng)、BHA 等面向工程的問題，本文建立了一個包含碰撞和摩擦的二維摩擦系統(tǒng)的數(shù)值算法來研究其動態(tài)響應，拓展了在恒定外部激勵作用下的平面滑移過程中質(zhì)量所走曲線長度的閉合形式解，并根據(jù)滑動曲線長度預測沖擊位置。在此基礎上，提出了一種二維摩擦系統(tǒng)曲線長度封閉解的求解算法。

1 三維單節(jié)點摩擦模型

如圖1 所示，在二維摩擦系統(tǒng)中可以將滑塊載荷簡化為集中力Qt以及摩擦力Fμ，其中摩擦力與正壓力和速度有關，集中力受到阻尼、剛度、外部激勵等控制。

圖1 二維摩擦系統(tǒng)

在以往的研究中，作者已經(jīng)提供了二維摩擦系統(tǒng)數(shù)值解析解，如下式所示。

1.1 滑移-黏附轉(zhuǎn)換

考慮到集中力Qt以及摩擦力Fμ之間的相互關系，滑移-黏附轉(zhuǎn)換可以細分為滑移→黏附轉(zhuǎn)化和黏附→滑移轉(zhuǎn)換。而轉(zhuǎn)換過程最重要的特征為轉(zhuǎn)換時間以及轉(zhuǎn)換位置。

在滑移→黏附轉(zhuǎn)換過程中，當速度將為零瞬間，集中力Qt與速度之間的夾角，因此，轉(zhuǎn)換時間和黏附前瞬間滑移軌跡可以表述為:

在黏附→滑移過程中，利用對運動方程進行泰勒展開，可以獲取時間間隔內(nèi)滑塊的運動響應如式(3)所示。

1.2 滑移/黏附-分離轉(zhuǎn)換

當法向力N 能夠克服自身重力時能夠使得滑塊與接觸平面發(fā)生分離，此時摩擦力為零，因此=0。因此，滑移→分離前滑移軌跡可以表述為

對于平面接觸模型，只要滑塊運動縱坐標滿足z>z0，滑塊將一直處于分離階段。考慮到滑塊與接觸平面碰撞時會引起速度突變，造成能量發(fā)生損耗，因此碰撞后滑塊運動狀態(tài)與滑塊運動速度有關，如式(5)所示。

2 案例與驗證

為了進一步驗證上述接觸解析解，本文綜合考慮了剛度和阻尼引入了如式(6)所示的集中力形式

2.1 滑移-黏附轉(zhuǎn)換

為了在運動過程中引入滑移-黏附轉(zhuǎn)換，本文將式(6)中各參數(shù)設置為。在法向力N 小于重力的情況下，在運動過程中不可能產(chǎn)生滑移/黏附-分離轉(zhuǎn)換，而集中力與最大摩擦力Fμ之間的大小關系未定，使得在運動過程中滑塊能夠與接觸平面保持接觸狀態(tài)，同時引?入了滑移-黏附轉(zhuǎn)換。

動態(tài)響應和狀態(tài)轉(zhuǎn)換時間可以用來評價我們所提供的摩擦算法和另外兩種數(shù)值方法(數(shù)值積分法NI和龍格-庫塔法RK)。

圖2(a)展示了在式(6)所示的外部受力條件下結(jié)點在達到穩(wěn)定運動后的運動軌跡變化。在一個運動周期內(nèi)，結(jié)點存在兩處速度響應變化劇烈位置，對結(jié)點運動響應精確求解提高了難度。

圖2 滑移- 黏附轉(zhuǎn)化結(jié)點運動響應

圖2(a)比較了使用本文的求解算法（Alg）、數(shù)值積分法（NI）和龍格-庫塔法（RK）在時間步長△t=10-5下節(jié)點穩(wěn)定運動軌跡。結(jié)果表明，基于三種求解算法的運動軌跡完全重合，本文提出的求解算法能夠準確地計算動力響應和預測滑粘過渡。

為了進一步驗證該算法對求解補償?shù)拿舾行?，本文采用一系列的時間步長，對三種求解算法的求解結(jié)果進行了對比。如圖2(b)所示，展示了五種時間步長下20 s 時刻的節(jié)點位置誤差。由于數(shù)值計算的準確性與時間離散負相關，時間步長越小，求解結(jié)果愈接近于準確解。因此本文擬定△t=10-8條件下可以獲取節(jié)點運動的“準確值”。如圖2(b)所示，可以明顯看出三種不同算法下在對數(shù)坐標系中節(jié)點位置誤差與時間步長近似呈現(xiàn)線性相關。NI 算法由于只能通過節(jié)點運動數(shù)據(jù)實時判定節(jié)點的當前運動狀態(tài)，而且在一個時間步內(nèi)忽略了節(jié)點運動過程中外部在和的變化，為求解計算引入一定誤差，因此在三種算法中NI 算法的求解準確性最弱。RK 算法在時間步長較低時求解準確性最好，而隨著時間步長降低，節(jié)點位置誤差會逐步向NI 接近，求解準確性將弱于本文提出的求解算法。本文提出的算法充分考慮了節(jié)點在運動過程中狀態(tài)轉(zhuǎn)變階段，以及在同一個時間周期內(nèi)因運動方向的改變引起的摩擦力變化，能夠更加準確預測節(jié)點的運動軌跡。

2.2 滑移/黏附-分離轉(zhuǎn)換驗證

為了在運動過程中產(chǎn)生滑移/粘連分離過渡，將選擇式(5)中的參數(shù)An的值為An=12，以確保單節(jié)點接觸可以違反不等式Q0<μmg。圖3 對比了三種方法計算出的運動平面的狀態(tài)轉(zhuǎn)換力矩、軌道和速度。我們可以發(fā)現(xiàn)，當單個節(jié)點的法向坐標低于零時，由于受到界面的沖擊，速度會發(fā)生突然的變化，甚至Vx和Vy也會減小到零。這意味著單個結(jié)點在整個運動過程中可以經(jīng)歷滑動分離和黏附分離的轉(zhuǎn)換。因此，利用我們的摩擦算法能夠準確地預測具有單節(jié)點接觸的三維摩擦系統(tǒng)中時變外部載荷下涉及滑移-粘連-分離過渡的動力學響應。

圖3 滑移/黏附- 分離轉(zhuǎn)化結(jié)點運動響應

如圖3(b)-(c)所示，在周期性外部載荷作用下，節(jié)點運動軌跡在10 s 內(nèi)逐漸達到穩(wěn)定，最終呈現(xiàn)周期性運動，其穩(wěn)定后的運動軌跡如圖3(a)所示。如圖3(d)-(f)所示，在運動過程中節(jié)點在三個方向上分速度均出現(xiàn)為零的情形，且出現(xiàn)時刻并不完全一致，可知在運動過程中節(jié)點發(fā)生了滑移-分離-黏附轉(zhuǎn)換。在z 方向速度發(fā)生突降為零時，x、y 兩方向的速度隨著發(fā)生突變，可知此時節(jié)點與邊界發(fā)生碰撞，引起了速度的突變，造成了能量損耗，發(fā)生了分離-滑移/黏附轉(zhuǎn)變。

3 結(jié)論

為了求解二維摩擦系統(tǒng)動力學問題的數(shù)值解，提出了一種新的實現(xiàn)角增量的摩擦算法。結(jié)果表明，所提出的摩擦算法能夠準確地捕捉到物體狀態(tài)變化時的過渡時間，計算精度高。

研究結(jié)果為研究二維多節(jié)點系統(tǒng)中各節(jié)點的響應提供了基礎，該系統(tǒng)中每個節(jié)點都涉及復雜的滑/粘轉(zhuǎn)換，方便了復雜的多節(jié)點計算，它也可以推廣到粗糙表面之間接觸特性的研究。