嚴(yán)恭敏，戴晨杰，楊小康，黃國榮

（1.西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，西安 710072；2.空軍工程大學(xué) 航空工程學(xué)院，西安 710038）

慣性導(dǎo)航具有連續(xù)性好、自主性高、隱蔽性強(qiáng)的特點(diǎn)，是長航時(shí)導(dǎo)航最基本的有效手段[1,2]，因此長航時(shí)高精度慣導(dǎo)系統(tǒng)的研究一直備受關(guān)注。慣性導(dǎo)航誤差的主要來源包括慣性傳感器誤差、初始條件誤差和導(dǎo)航解算誤差，這三種誤差對導(dǎo)航精度發(fā)揮了決定性作用，但實(shí)際上還有一類誤差源往往會被忽略，即導(dǎo)航環(huán)境誤差[3]——也就是慣導(dǎo)系統(tǒng)的外部環(huán)境對導(dǎo)航解算精度的影響，天體的引力攝動(dòng)就是其中一種。對于地球表面的慣導(dǎo)系統(tǒng)，由于地球自身形狀導(dǎo)致的引力攝動(dòng)，以及太空中諸多大質(zhì)量天體引起的引力攝動(dòng)對長航時(shí)高精度慣導(dǎo)系統(tǒng)也會產(chǎn)生一定影響。

近年來，由于地球形狀非球形所引起的引力攝動(dòng)對近地導(dǎo)航的影響較大，已有一些文獻(xiàn)對其進(jìn)行了研究[4,5]，而對于外太空天體引力攝動(dòng)的研究也主要圍繞對衛(wèi)星軌道或者太空探測器的影響上[6-9]，亦或是對地月軌道影響的研究[10]，目前，尚未發(fā)現(xiàn)有文獻(xiàn)在長航時(shí)近地慣性導(dǎo)航上對天體引力攝動(dòng)進(jìn)行專門研究。

文獻(xiàn)[6]利用8 階滑動(dòng)拉格朗日插值法，計(jì)算得到月球引力攝動(dòng)加速度，以此研究對衛(wèi)星軌道的影響，對于地球表面的慣導(dǎo)系統(tǒng)，類比此方法求解日月引力攝動(dòng)攝動(dòng)加速度，就可以研究對慣導(dǎo)系統(tǒng)的影響。本文利用噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室(Jet Propulsion Laboratory,JPL)建立的星歷表[11,12]和MATLAB Astronomy Toolbox，建立了日地月三者的軌道模型，并基于萬有引力定律，建立了日月引力攝動(dòng)的求解模型，最后進(jìn)行了日月引力攝動(dòng)引起的長航時(shí)慣導(dǎo)誤差仿真驗(yàn)證，得到天體引力攝動(dòng)引起的導(dǎo)航誤差。

1 日地月軌道模型

開普勒軌道參數(shù)可以用于描述天體運(yùn)行軌道，在忽略其他星體的微小攝動(dòng)對軌道影響的情況下，利用該參數(shù)可以計(jì)算出過去與未來一段時(shí)間內(nèi)（大約50-100 年）的天體位置。表1 以2022 年6 月1 日00：00為例，給出了地球繞日公轉(zhuǎn)軌道以及月球繞地公轉(zhuǎn)軌道的瞬時(shí)開普勒參數(shù)。

表1 日地月系統(tǒng)軌道參數(shù)Tab.1 Orbital parameters of the solar-earth-lunar system

由表1 可以看到，日地距離大約是月地距離的1500 倍，所以盡管太陽質(zhì)量比月球大許多，月球引起的攝動(dòng)力仍會比太陽引起的大，對長航時(shí)慣性導(dǎo)航的影響理論上也會較大。同時(shí)，由于黃道面與赤道面存在夾角，攝動(dòng)力在一個(gè)周期內(nèi)對慣性器件產(chǎn)生的比力在三軸上的均值不會正好在0 附近，理論上會出現(xiàn)均值為負(fù)值的情況。利用表1 中的參數(shù)計(jì)算可以得到一定時(shí)間或者一段時(shí)間內(nèi)確定日地月之間的相對位置，JPL 在20 世紀(jì)60 年代建立的JPL 星歷表便存儲了這些信息，只要給定時(shí)間就能根據(jù)星歷推算出日地月的相對位置。

模型中所使用的坐標(biāo)系共有四個(gè)，分別是地心準(zhǔn)慣性坐標(biāo)系i 系；以太陽為原點(diǎn)的太陽坐標(biāo)系s 系，它相對于慣性空間不動(dòng)；地心地固坐標(biāo)系e 系，它與地球固連；導(dǎo)航系同載體坐標(biāo)系b 系。值得注意的是，i 系與s 系三軸平行但原點(diǎn)不同，兩者之間存在平動(dòng)，分為兩個(gè)坐標(biāo)系有利于后續(xù)計(jì)算表達(dá)更清晰。圖1 展示了建立的軌道模型以及日地月和慣性器件四者之間的位置向量。

圖1 日地月軌道模型Fig.1 Sun-Earth-Moon orbit model

從圖1 建立的軌道模型可以看到，日地月系統(tǒng)共存在三個(gè)周期項(xiàng)，分別是地球自轉(zhuǎn)周期、月球繞地公轉(zhuǎn)周期以及地球繞日公轉(zhuǎn)周期，這三個(gè)周期項(xiàng)理論上會使日月引力攝動(dòng)對長航時(shí)慣性導(dǎo)航呈現(xiàn)出周期性，在后續(xù)的比力仿真以及誤差仿真中都驗(yàn)證了這一點(diǎn)。

2 攝動(dòng)力求解模型

“引力攝動(dòng)”是一個(gè)天文學(xué)術(shù)語，它主要用于描述一個(gè)大質(zhì)量體對一個(gè)穩(wěn)定的二體系統(tǒng)中的子星會產(chǎn)生額外的擾動(dòng)力，使其繞母星公轉(zhuǎn)軌道產(chǎn)生變化的現(xiàn)象。以日地月系統(tǒng)為例，如圖2 所示。

圖2 中，F(xiàn)SE表示地球受太陽引力，它對地月系統(tǒng)來說沒有影響，不會干擾彼此相對的位置；FSM表示月球受太陽引力，F(xiàn)SM減去太陽對地球的引力FSE會產(chǎn)生一個(gè)引力差FP，F(xiàn)P就是太陽對月球的擾動(dòng)力，稱為引力攝動(dòng)。由于軌道內(nèi)外兩側(cè)的引力攝動(dòng)在方向和大小上是不同的，因此它會使月球公轉(zhuǎn)軌道形狀產(chǎn)生變化。

同理，對于地球表面的慣性器件，主要是加速度計(jì)而言，由于地球并不是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，太陽對地球中心的引力與對地表慣性器件的引力也有一個(gè)微小的矢量差，即攝動(dòng)力。在地球自轉(zhuǎn)的過程中，太陽相對于慣性器件的角位置在一天內(nèi)會產(chǎn)生較大的變化（近似為一個(gè)圓），攝動(dòng)力在加速度計(jì)三軸上的投影也隨著這個(gè)位置的變化而變化，將其代入導(dǎo)航解算就會產(chǎn)生由攝動(dòng)力引起的導(dǎo)航誤差，接下來將對攝動(dòng)力建立一個(gè)較為精確的求解模型。

假設(shè)太陽與月球的引力場是均勻的，利用萬有引力公式，可以求得太陽引力對地球產(chǎn)生的比力

式中，G為萬有引力常數(shù)，MS為太陽質(zhì)量。同理可以求得

式(5)中，由于地球公轉(zhuǎn)周期對比地球自轉(zhuǎn)周期以及月球公轉(zhuǎn)周期較長，因此項(xiàng)可以認(rèn)為是一個(gè)常值，始終朝向一個(gè)方向，

粗略計(jì)算可以得到月球引力攝動(dòng)在各軸的比力大約為0.1 μg，而太陽引力攝動(dòng)要小一個(gè)量級。將這個(gè)額外比力類比為加計(jì)的常值零偏，根據(jù)慣導(dǎo)誤差傳播方程，

0.1 μg的加計(jì)零偏導(dǎo)致的速度誤差最大約可以達(dá)到5× 10-4m/s。

3 數(shù)值仿真驗(yàn)證

3.1 日月引力攝動(dòng)比力仿真

調(diào)用 MATLAB Astronomy Toolbox 提供的planetEphemeris 函數(shù)，獲得2022 年1 月1 日開始連續(xù)一年的日地月三者相對位置，將慣性器件靜止放于地理位置L=0，λ=0 處，計(jì)算出2022 年一年內(nèi)日月引力攝動(dòng)對加速度計(jì)造成的額外比力，并選取150 d～200 d 的比力數(shù)據(jù)，其三軸分量如圖3 所示，圖3中藍(lán)線表示比力的數(shù)值大小，紅線為此波形包絡(luò)線，更明顯地展示出周期。從圖3 中可以看出三軸比力都存在明顯的月球繞地公轉(zhuǎn)周期（27 天），x 軸和z 軸比力還存在半日周期，而y 軸比力則是地球自轉(zhuǎn)周期（1天）。觀察三軸比力，可以發(fā)現(xiàn)三軸比力大約都在0.15 μg量級。

圖3 攝動(dòng)引起的三軸比力分量Fig.3 Triaxial specific force component due to perturbation

3.2 長航時(shí)純慣導(dǎo)誤差仿真

于地理位置L=0，λ=0 處進(jìn)行靜基座純慣導(dǎo)仿真（高度通道固定不更新），仿真過程中假設(shè)慣性器件是理想無誤差的，并且假設(shè)慣導(dǎo)的初始導(dǎo)航參數(shù)（姿態(tài)、速度和位置）準(zhǔn)確已知。從2022 年1 月1 日開始，共進(jìn)行100 d 的純慣導(dǎo)仿真，導(dǎo)航結(jié)果如圖4-5 所示，圖5 為速度誤差的放大圖。

圖4 純慣性導(dǎo)航誤差Fig.4 Inertial navigation error

圖5 速度誤差放大圖Fig.5 Enlarged speed error graph

易知靜基座下的導(dǎo)航結(jié)果即是導(dǎo)航誤差，分析圖4-5，可以得到如下結(jié)論：

①俯仰角和橫滾角的波動(dòng)差別不大，誤差量級在1 × 10-5° 量級。圖5 中可以看出北向速度誤差在5.9× 10-4m/s量級，東向速度誤差在 2.1× 10-4m/s，這是由日月引力攝動(dòng)對慣性器件產(chǎn)生的比力直接引起的。圖4 還給出了日月引力攝動(dòng)引起的導(dǎo)航位置誤差，它的波形與姿態(tài)角波動(dòng)大致相同，誤差量級在1.5 m 左右。

②從周期角度分析，從姿態(tài)角和位置的導(dǎo)航結(jié)果可以明顯地看出存在兩個(gè)周期，分別是地球自轉(zhuǎn)周期和月球繞地公轉(zhuǎn)周期。同時(shí)，波形中還存在半天、半月這兩個(gè)明顯周期，簡單分析可以知道，由于攝動(dòng)并不是單一的引力，而是兩個(gè)引力的矢量差，因此在一天內(nèi)、一月內(nèi)，單軸上的比力分量理論上會有四次經(jīng)過零點(diǎn)，這也解釋了為什么會出現(xiàn)半天、半月這兩個(gè)周期。圖4 中速度誤差由于受公轉(zhuǎn)周期產(chǎn)生的波動(dòng)不大，周期性不明顯，因此圖5 截取了速度誤差50 d～60 d十天的數(shù)據(jù)，可以看出地球自轉(zhuǎn)周期產(chǎn)生的影響較為明顯。同時(shí)，地球繞日公轉(zhuǎn)周期在姿態(tài)、速度、位置三者的導(dǎo)航結(jié)果上看都不明顯，這與第2 節(jié)中月球引力攝動(dòng)影響較大的結(jié)論一致。

③經(jīng)過100 d 的長航時(shí)純慣導(dǎo)仿真，可以看出日月引力攝動(dòng)可以引起米級的周期性定位誤差，并不存在累積效應(yīng)，100 d 的誤差保持在同一量級。同時(shí)，隨著慣導(dǎo)系統(tǒng)高度的增高，日月引力攝動(dòng)引起的位置誤差也會逐漸增大，仿真結(jié)果不再展示。

3.3 緯度對定位誤差的影響

3.2 節(jié)中在赤道上進(jìn)行了為期100 d 的靜基座純慣導(dǎo)仿真，本節(jié)將慣導(dǎo)器件放于不同緯度，比較不同緯度下日月引力攝動(dòng)對純慣導(dǎo)仿真造成的定位誤差有何不同。圖6 為緯度0°～80°下速度誤差以及定位誤差的最大值。

圖6 不同緯度下誤差最大值Fig.6 Maximum error at different latitudes

顯然從圖6 可以發(fā)現(xiàn)緯度誤差與北向速度誤差直接相關(guān)，經(jīng)度誤差與東向速度誤差直接相關(guān)，相對應(yīng)的誤差最大值曲線趨勢完全相同。同時(shí)東向速度誤差與北向速度誤差、經(jīng)度誤差與緯度誤差都呈現(xiàn)出“互補(bǔ)”的狀態(tài)。在緯度30 °附近，日月引力攝動(dòng)造成的北向速度誤差、緯度誤差達(dá)到最小，與此同時(shí)其造成的東向速度誤差、經(jīng)度誤差達(dá)到最大。

4 結(jié)論

利用JPL 行星星歷DE405 和MATLAB Astronomy Toolbox 建立了日地月三者的軌道模型，計(jì)算出了對應(yīng)時(shí)刻日月引力攝動(dòng)對慣性器件引起的三軸攝動(dòng)比力大約為0.15 μg。100 d 長航時(shí)純慣性導(dǎo)航的仿真結(jié)果顯示，日月引力攝動(dòng)對長航時(shí)純慣性導(dǎo)航可以引起米級的導(dǎo)航誤差，但是不存在累積效應(yīng)；同時(shí)其對定位誤差的影響隨著緯度變化而變化，在緯度30 °附近影響相對較弱。