楊 涌, 戴星宇, 李 俊

(國(guó)防科技大學(xué) 理學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073)

0 引 言

線性代數(shù)中Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的構(gòu)造有多種方法,本文給出基于廣義特征向量的構(gòu)造方法.本方法的好處是可以明確的體現(xiàn)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的構(gòu)造與空間的廣義特征子空間分解等價(jià).

基于這種方法,本文進(jìn)一步分析了矩陣乘積AB與BA的特征子空間的關(guān)系,進(jìn)而得到定理1:若矩陣A∈m×n,B∈n×m,則AB與BA的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中對(duì)應(yīng)非零特征值有完全相同的Jordan塊.

進(jìn)一步由定理1給出了矩陣乘積AB與BA相似的充分必要條件,即推論3:若方陣A∈n×n,B∈n×n, 則AB與BA相似的充分必要條件是對(duì)任意正整數(shù)r∈+,

rank(AB)r=rank(BA)r.

1 廣義特征子空間和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形構(gòu)造

對(duì)于任意方陣A來說,其可對(duì)角化的一個(gè)重要條件就是其特征向量可以組成整個(gè)空間n的一組基.但是,對(duì)于一般的方陣,其特征向量不足以組成空間n的一組基.為此,考慮在特征向量集(空間)上再加入一些向量,例如廣義特征向量集(空間)((A-λE)nx=0的解空間).這樣就需要考察兩個(gè)問題:(i) 擴(kuò)充后的向量集能否構(gòu)成全空間的一組基;(ii)在新的基下矩陣會(huì)相似于什么形態(tài).

對(duì)于第一個(gè)問題可利用線性代數(shù)中的結(jié)論:“屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)”的推廣形式,即引理1和引理2給予解答.

為了考慮第二個(gè)問題,通過進(jìn)一步分解廣義特征向量集(空間),從而得到一般矩陣在相似變換下的一個(gè)較為簡(jiǎn)單的形式:Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.

1.1 廣義特征子空間及空間n的分解

引理1設(shè)A是n階方陣,多項(xiàng)式f(λ),g(λ)互素,并令Vf,Vg,Vfg分別為方程組f(A)x=0,g(A)x=0與方程組f(A)g(A)x=0的解空間,則對(duì)任意向量η∈Vfg,存在向量α∈Vf,β∈Vg,使得η=α+β.

證由f(λ),g(λ)互素,存在多項(xiàng)式p(λ)和q(λ)滿足f(λ)p(λ)+g(λ)q(λ)=1,于是有

f(A)p(A)+g(A)q(A)=E,

設(shè)η∈Vfg,即f(A)g(A)η=0,則有

f(A)p(A)η+g(A)q(A)η=η,

注意到f(A)p(A)η=β∈Vg,g(A)q(A)η=α∈Vf,引理得證.

引理2設(shè)A是n階方陣,多項(xiàng)式f(λ),g(λ)互素,并令Vf,Vg分別為方程組f(A)x=0與方程組g(A)x=0的解空間,則任意非零向量α∈Vf,β∈Vg線性無關(guān).

證由f(λ),g(λ)互素,存在多項(xiàng)式p(λ)和q(λ)滿足f(λ)p(λ)+g(λ)q(λ)=1,于是有

f(A)p(A)+g(A)q(A)=E.

假設(shè)命題不真,即存在α∈Vf,β∈Vg線性相關(guān),則存在不全為零的系數(shù)λ和γ滿足λα+γβ=0.不妨設(shè)γ≠0,于是有

0=f(A)λα+f(A)γβ=f(A)γβ,

從而有f(A)β=0,即β∈Vf∩Vg.

又由f(A)p(A)+g(A)q(A)=E,得

β=Eβ=f(A)p(A)β+g(A)q(A)β=0,

這與條件β≠0矛盾.于是假設(shè)不真,引理得證.

利用以上引理可得以下結(jié)論.

(A-λ1E)n1x=0,(A-λ2E)n2x=0,…,(A-λsE)nsx=0

{αλ11,αλ12,…,αλ1d1},{αλ21,αλ22,…,αλ2d2},…,{αλs1,αλs2,…,αλsds},

則{αλ11,αλ12,…,αλ1d1,αλ21,αλ22,…,αλ2d2,…,αλs1,αλs2,…,αλsds}構(gòu)成向量空間n的一組基.即空間n有直和分解

通過以上的結(jié)論,給定方陣A,可以將空間n分解為A的廣義特征子空間的直和.實(shí)際上,還可以進(jìn)一步對(duì)廣義特征子空間進(jìn)行分解,從而給出一組更簡(jiǎn)潔的基,在這組基下矩陣A相似于其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.

在向量組

{(A-λiE)ni-1αλi1,(A-λiE)ni-1αλi2,…,(A-λiE)ni-1αλidi}

中取極大線性無關(guān)組(若以上向量組全為零,則在倒數(shù)第二行組成的向量組中找極大線性無關(guān)組,以此類推),不妨設(shè)為

{(A-λiE)ni-1αλi1,(A-λiE)ni-1αλi2,…,(A-λiE)ni-1αλiri},

則有

(i) 向量組

線性無關(guān).

Step 2: 注意到向量組

分別左乘方陣(A-λiE)ni-k,2≤k

在向量組

中將線性無關(guān)組

{(A-λiE)ni-1αλi1,(A-λiE)ni-1αλi2,…,(A-λiE)ni-1αλiri}

擴(kuò)充成一個(gè)極大無關(guān)組,不妨設(shè)為

{(A-λiE)ni-1αλi1,…,(A-λiE)ni-1αλiri,(A-λiE)ni-2βri+1,…,(A-λiE)ni-2βri+li},

則有向量組

線性無關(guān);

進(jìn)一步,通過上面一組基的構(gòu)造法不難得出如下的結(jié)論(該結(jié)論也可見文獻(xiàn)[1]中定理2).

推論2設(shè)n階方陣A有特征值λ, 則A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中對(duì)角線元素為λ且階數(shù)大于等于r的Jordan塊的個(gè)數(shù)為

rank(A-λE)r-1-rank(A-λE)r.

進(jìn)一步,則A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中對(duì)角線元素為λ且階數(shù)等于r的Jordan塊的個(gè)數(shù)為

rank(A-λE)r-1+rank(A-λE)r+1-2rank(A-λE)r.

2 矩陣乘積AB與BA的相似問題

本節(jié)首先利用前面得到的結(jié)論證明如下的定理.

定理1若矩陣A∈m×n,B∈n×m, 則方陣AB與BA有完全相同的非零特征值,并且對(duì)應(yīng)任意相同的非零特征值,在AB與BA的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中有完全相同的Jordan塊.

證首先證明AB與BA有完全相同的非零特征值.設(shè)λ是AB的任一非零特征值,則存在非零向量α,使得ABα=λα,進(jìn)而BABα=λBα.由于ABα=λα≠0,從而Bα≠0.于是λ也是BA的非零特征值.同理也可以證明,BA的任意非零特征值也是AB的非零特征值,從而定理的第一部分得證.

下面證明定理的第二部分.設(shè)λ是AB(同時(shí)也是BA)的特征值.根據(jù)推論2只需證明對(duì)任意正整數(shù)r,都有

rank(AB-λEm)r-rank(AB-λEm)r+1=rank(BA-λEn)r-rank(BA-λEn)r+1

即可.

為此,只需證明廣義特征子空間V1與廣義特征子空間V2有相同的維數(shù),也就是方程組

(AB-λEm)rx=0與(BA-λEn)ry=0

的解空間有相同的維數(shù),即dimV1=dimV2.

設(shè)α∈V1,則(AB-λEm)rα=0,從而有

B(AB-λEm)rα=(BA-λEn)rBα=0,

即Bα∈V2,于是矩陣B定義了線性變換B:V1→V2.

若0≠α∈V1,則由(AB-λEm)rα=0可知

若Bα=0,則上式左邊等于零,而λ≠0,α≠0,故等式右邊不為零,矛盾!因此對(duì)任意0≠α∈V1,總有Bα≠0,從而映射B:V1→V2是單射,即dimV1≤dimV2.同理也可證明dimV2≤dimV1,從而定理得證.

注 由定理1可知,方陣AB與BA在非零特征值部分是相似的.

推論3若方陣A∈n×n,B∈n×n, 則AB與BA相似的充分必要條件是對(duì)任意正整數(shù)r∈+,rank(AB)r=rank(BA)r.

證根據(jù)推論2,由定理1的證明過程可知AB與BA相似當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意r∈+,及任意特征值λ,方程組

(AB-λEn)rx=0與(BA-λEn)ry=0

的解空間有相同的維數(shù).

對(duì)于非零的特征值λ,根據(jù)定理1可知結(jié)論恒成立,因此只需考慮零特征值的情況.注意到此時(shí)AB與BA都是n階方陣,因此方程組

(AB)rx=0與(BA)ry=0

解空間維數(shù)相同,當(dāng)且僅當(dāng)rank(AB)r=rank(BA)r,推論得證.

推論4設(shè)方陣A∈n×n,B∈n×n,則方陣(AB)n與(BA)n相似.

證根據(jù)定理1,AB與BA的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中對(duì)應(yīng)非零特征值的Jordan塊完全相同.于是不妨設(shè)AB與BA的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形分別為

其中Jλ≠0表示由非零特征值對(duì)應(yīng)的Jordan塊構(gòu)成的準(zhǔn)對(duì)角陣,J0與J′0表示由特征值0對(duì)應(yīng)的Jordan塊構(gòu)成的準(zhǔn)對(duì)角陣.于是(AB)n與(BA)n分別相似于

推論5(希爾維斯特定理) 設(shè)矩陣A∈m×n,B∈n×m,則下列等式成立

λn|λEm-AB|=λm|λEn-BA|.

證注意到方陣AB與BA的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中對(duì)應(yīng)非零特征值的Jordan塊完全相同.因此特征多項(xiàng)式|λEm-AB|與|λEn-BA|的非零根一一對(duì)應(yīng),分別乘λn與λm后得到次數(shù)相等的首一多項(xiàng)式λn|λEm-AB|與λm|λEn-BA|,且它們的根一一對(duì)應(yīng),于是相等.

3 結(jié) 論

本文給出利用線性空間的廣義特征特征子空間分解構(gòu)造矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法.該方法揭示出線性空間的(不變子空間)分解與多項(xiàng)式分解,以及線性變換的分解的內(nèi)在聯(lián)系.特別地,空間的分解可以給出矩陣的對(duì)應(yīng)分解.通過對(duì)相應(yīng)的空間分解的分析和計(jì)算,文章給出了矩陣乘積AB與BA相似當(dāng)且僅當(dāng)rank(AB)r=rank(BA)r,任意r∈+,以及希爾維斯特定理的一個(gè)推廣形式.

致謝本文作者對(duì)國(guó)防科技大學(xué)數(shù)學(xué)系周悅研究員、宋伊萍副教授關(guān)于本文部分內(nèi)容的有益討論表示感謝.