明萬元, 黃香蕉, 楊海波

(南昌航空大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 南昌 330063)

0 引 言

對實際問題中具有某種特殊性質(zhì)的曲線的研究,往往能促進數(shù)學(xué)的發(fā)展. 如,起源于著名油畫《蒙娜麗莎》的“懸鏈線問題”,大大促進了常微分方程的迅速發(fā)展[1];1630年意大利科學(xué)家伽利略提出的“最速降線問題”,直接導(dǎo)致了變分學(xué)的誕生[2-3].

在上世紀(jì)九十年代中期,劍橋大學(xué)的Hans-Henrik Stφlum教授發(fā)現(xiàn)那些發(fā)展漫長、路線曲折的古老河流的彎度(即河流長度與其直線距離的比值)通常約為π[4]. 本文不探討該現(xiàn)象的具體原因,而是考慮一個相關(guān)的數(shù)學(xué)問題:是否存在一條可求長的理想曲線,該條曲線上任一點到曲線起點的弧長與連接這兩點的弦長的比值均為π? 下面就該曲線的存在唯一性及其滿足的方程進行探討,并將該問題作進一步推廣.

1 平面直角坐標(biāo)系下曲線的構(gòu)造

為敘述方便,稱平面曲線L具有性質(zhì)(H),如果L滿足以下兩個條件:

(i)L的方程y=y(x)∈C1(),起點為O(0,0);

下面在直角坐標(biāo)系下推導(dǎo)曲線L的方程. 根據(jù)性質(zhì)(H),函數(shù)y(x)應(yīng)滿足

(1)

兩邊對x求導(dǎo),得

(2)

將上式整理并改寫為

(y-xy′)2=(π2-1)(x+yy′)2.

y-xy′=a(x+yy′).

(3)

其中C1為任意常數(shù). 由隱函數(shù)存在定理[5],(3)式在2{(0,0)}內(nèi)可唯一確定隱式解y=y(x).

在方程(1)中令x=0可得初始條件y(0)=0.但無論(3)式中任意常數(shù)C1取何值,點O(0,0)均不在解集(3)中,故原積分方程(1)沒有滿足初始條件y(0)=0的特解. 也就是說,不存在嚴(yán)格具有性質(zhì)(H)的曲線.

事實上,由于曲線L的方程y=y(x)∈C1(),故L上任一點處的切線都存在.若取曲線L上與起點O充分靠近的點B,則曲線弧與弦的長度之比應(yīng)接近于1,而不是π.因此,對任意光滑曲線L,至少在與起點O充分靠近的鄰域內(nèi),不可能嚴(yán)格滿足性質(zhì)(H).

為構(gòu)造在上述弱條件下具有該性質(zhì)的曲線,對微分方程(2)兩端同時從0到x積分,可得與(2)同解的積分方程為

(4)

圖1 平面直角坐標(biāo)系下曲線L的示意圖

注1y(0)的值可在方程(3)中令x→0+,方程兩邊同時取極限求得,即

上述所構(gòu)造的曲線L2的方程(3)比較復(fù)雜,較難看出其具體形狀,也不便分析該曲線的幾何性質(zhì). 為更直觀地看出該曲線所屬的類型,下面再從極坐標(biāo)系下研究該曲線的方程.

2 極坐標(biāo)系下曲線的構(gòu)造

(5)

兩邊對θ求導(dǎo),得

(6)

ρ=C2ebθ,

(7)

其中C2為任意非負(fù)常數(shù).

由(5)式得初始條件ρ(0)=0,將其代入(7)式得C2=0,從而ρ≡0.故方程(5)沒有非平凡解.

類似地,為構(gòu)造弱條件下弧長與弦長成比例的曲線,將微分方程(6)兩端同時從0到θ積分,即得與(6)同解的積分方程為

圖2 極坐標(biāo)系下曲線L的示意圖

注2 曲線L=L1+L2的真實圖形如圖3所示,其中L2的方程為ρ=C2ebθ,其表示的正是對數(shù)螺旋線[6]. 當(dāng)b>0時,該螺旋線向外旋轉(zhuǎn)至無窮;當(dāng)b<0時,該螺旋線向內(nèi)旋轉(zhuǎn)并趨于極點. 自然界中對數(shù)螺旋線非常普遍,如蝸牛殼、蜘蛛網(wǎng)以及銀河系的旋臂等[7-9].

圖3 極坐標(biāo)系下曲線L的圖形

注3 利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的變換公式,容易驗證方程(3)與方程(7)表示的是同一條曲線.

3 推 廣

上節(jié)中曲線的構(gòu)造與推導(dǎo)方法可推廣至更一般的弧長與弦長成k(k>1)倍的情形.

進一步地,還可將具有該性質(zhì)的平面曲線推廣至空間曲線的情形.

命題2設(shè)空間曲線Γ的起點為O(0,0,0),Γ由兩段光滑曲線Γ1與Γ2拼接而成,其連接點為A.若Γ2的方程由

(8)

注4 易見,若在方程(8)中取t=0,k=π,則退化為平面曲線(3).

4 結(jié) 論

本文從實際問題中河流長度與其直線距離的比值關(guān)系出發(fā),構(gòu)造了一類在特定條件下(即從曲線上某點之后開始)曲線上任一點與曲線起點之間的弧長與弦長成比例的曲線. 結(jié)論表明:若不考慮該曲線初始弧段(即文中的曲線L1)的形狀,則該平面曲線的類型是唯一確定的,即對數(shù)螺旋線.

本文的結(jié)論在一定程度上豐富了對數(shù)螺旋線的優(yōu)美性質(zhì),所采用的方法對構(gòu)造具有某些特殊性質(zhì)的曲線也有一定的啟示. 當(dāng)然,本文僅考慮了分段光滑的曲線,對更一般的曲線(如,分形)未作探討.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.