杜玲瓏, 王 珂

(東華大學(xué) 理學(xué)院,上海 201620)

0 引 言

積分變換是求解數(shù)理方程解的常用工具之一.例如,在求解全空間熱傳導(dǎo)方程或波動方程的初值問題時,通常利用Fourier變換先將該類問題轉(zhuǎn)化為一階常微分方程的初值問題并求解,再利用逆Fourier變換,從而獲得原定解問題的解.對于一維半無界的熱傳導(dǎo)方程或者波動方程,一般可以利用對稱延拓法,將半無界問題轉(zhuǎn)化成全空間上的初值問題.也可以利用Laplace變換先將其轉(zhuǎn)化為常微分方程求解,再利用逆Laplace變換得到原方程的解,見文獻[1-4].本文綜合利用Fourier-Laplace兩種積分變換求解n維半無界的熱傳導(dǎo)方程.該方法可以應(yīng)用到其它n維半無界的數(shù)理方程,如波動方程[5].

1 半無界熱傳導(dǎo)方程

本文研究半無界空間的熱傳導(dǎo)方程.記n維空間為x=(x1,x′)∈+×n-1,其中x1∈(0,∞)為半直線.則n維半無界空間的熱傳導(dǎo)方程定義如下:

(1)

對于初邊值問題(1),利用齊次化原理(Duhamel原理)可以將解表示為

(2)

G(x1,x′,t;y1)稱為半無界問題(1)的Green函數(shù),滿足如下方程

(3)

其中δ(x′)=δ(x2)…δ(xn).

2 半無界熱傳導(dǎo)方程Green函數(shù)的表示

為求解半無界問題(1)的Green函數(shù),首先對全空間熱傳導(dǎo)方程的熱核在變換空間中進行刻畫,給出熱核在Fourier空間上的表達式.接著對時間做Laplace變換、對部分空間做Fourier變換,在變換空間中用熱核和邊界算子分析Green函數(shù)的結(jié)構(gòu),從而在原空間中得到半無界問題的Green函數(shù)表達式.

2.1 全空間熱核K在(x1,ξ′,s)空間中的表示

全空間熱傳導(dǎo)方程定義如下:

(4)

其解可以表示為

其中K(x,t)被稱為初值問題(4)的基本解或熱核,滿足如下方程

對空間n維變量x做Fourier變換并求解常微分方程,得到熱核K在(ξ,t)變量下的表示

K(ξ,t)=e-a2ξ2t,K(ξ,t)∶=F[K(x,t)].

對其做逆Fourier變換,得到熱核K在(x,t)變量下解的表達式

2.2 半無界問題Green函數(shù)的表示

令H(x1,x′,t;y1)=G(x1,x′,t;y1)-K(x1-y1,x′,t),將(3)轉(zhuǎn)變?yōu)槿缦鲁踔禐?的方程

(5)

對系統(tǒng)(5)中的空間變量x′∈n-1和時間變量t∈(0,∞)分別做Fourier變換和Laplace變換,得到如下常微分方程

(s+a2|ξ′|2)H-a2Hx1x1=0.

解上述常微分方程,得到解的一般形式:H(x1,ξ′,s)=Ae-λx1+Beλx1.根據(jù)解在無窮遠(yuǎn)處的衰減性質(zhì)及定解條件,得

因此,

當(dāng)邊界條件為Dirichlet邊界條件即k1=0,半無界熱傳導(dǎo)方程解的Green函數(shù)可化簡為

G(x1,ξ′,s;y1)=K(x1-y1,ξ′,s)-K(x1+y1,ξ′,s).

(6)

對(6)式兩邊的變量ξ′和s分別做逆Fourier變換和逆Laplace變換,即得到Green函數(shù)和熱核之間的關(guān)系

G(x1,x′,t;y1)=K(x1-y1,x′,t)-K(x1+y1,x′,t).

G(x1,x′-y′,t;y1)=K1(x1-y1,t)Kn-1(x′-y′,t)-K1(x1+y1,t)Kn-1(x′-y′,t)

當(dāng)邊界條件為Neumann邊界條件即k2=0,半無界熱傳導(dǎo)方程的Green函數(shù)可以化簡為

G(x1,ξ′,s;y1)=K(x1-y1,ξ′,s)+K(x1+y1,ξ′,s).

同理,可以用熱核表示Neumann邊界條件下半無界問題解的Green函數(shù),即

G(x1,x′-y′,t;y1)=K1(x1-y1,t)Kn-1(x′-y′,t)+K1(x1+y1,t)Kn-1(x′-y′,t)

當(dāng)邊界條件為Robin邊界條件即k1k2≠0,有

對上式兩邊做逆Fourier變換和逆Laplace變換,并注意到

和

F-1L-1[(k1λ+k2)2K(x1+y1,ξ′,s)]=(k2-k1?x1)2K(x1+y1,x′,t).

因此

上式用到了熱核Kn-1(x′,t)的半群性質(zhì)

于是有

因此

結(jié)合該式并利用方程進一步化簡,有

綜上,當(dāng)邊界條件為Robin條件即k1k2<0時,

G(x1,x′-y′,t;y1)=Kn(x-y,t)+Kn-1(x′,t)K1(x1+y1,t)

3 結(jié) 論

文中綜合利用Fourier和Laplace兩種積分變換,在變換空間中用全空間熱傳導(dǎo)方程的熱核和邊界算子表示n維半無界熱傳導(dǎo)方程解的Green函數(shù),并在半無界空間中給出了熱傳導(dǎo)方程在三類邊界條件下Green函數(shù)的具體表達式.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.