歐陽毅, 張神星

(1.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,合肥 230026; 2.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥 230601)

0 引 言

線性代數(shù)學(xué)習(xí)中,初等變換是矩陣運(yùn)算的基本操作方法,用中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)線性代數(shù)教學(xué)的行語來說,就是“打洞”方法.它處于線性代數(shù)各類計(jì)算問題求解的核心位置.它起源于求解線性方程組的消元法,并被用來求方陣的行列式、可逆矩陣的逆以及更一般的矩陣方程AX=B的解、向量組中的極大線性無關(guān)組、整矩陣和域上多項(xiàng)式矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形、對(duì)稱陣的相合標(biāo)準(zhǔn)形等[1-4].在理論推導(dǎo)中,可以通過運(yùn)用初等變換來對(duì)矩陣進(jìn)行降階,從而使用數(shù)學(xué)歸納法來證明.在線性代數(shù)教學(xué)中,發(fā)現(xiàn)如果能夠更靈活地使用初等變換,特別地,靈活運(yùn)用初等變換的不變性質(zhì),不少線性代數(shù)核心結(jié)果的證明會(huì)比經(jīng)典教材里的證明更簡單.

本文基于這一觀點(diǎn),闡述如何系統(tǒng)而簡潔地證明線性代數(shù)教學(xué)里下述重要理論結(jié)果:線性方程組求解的基本定理,行列式函數(shù)的積性,克萊姆法則,可逆的等價(jià)條件,矩陣相抵標(biāo)準(zhǔn)形定理,矩陣秩三種定義的等價(jià)性,整系數(shù)或域上多項(xiàng)式矩陣行列式因子的唯一性和Smith標(biāo)準(zhǔn)形的存在唯一性定理等.通過本文介紹的方法,教師可以在線性代數(shù)的教學(xué)中引入初等變換的思考方式,讓學(xué)生更容易理解和應(yīng)用線性代數(shù)的理論.這種“化繁為簡”的思考方式可以幫助學(xué)生將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的行、列變換,從而更加直觀地理解和解決問題.

近幾年,本文作者在教學(xué)中采用了這種講授方式,并取得了比較積極的反響和良好的效果.學(xué)生們通過實(shí)際操作和練習(xí),逐漸掌握了初等變換的技巧和應(yīng)用方法.他們發(fā)現(xiàn),通過初等變換,原本復(fù)雜的線性代數(shù)問題可以被簡化為一系列簡單的步驟,從而更容易理解和解決.綜上所述,通過引入初等變換的教學(xué)方法,可以讓學(xué)生更容易理解和應(yīng)用線性代數(shù)的理論.這不僅提高了教師的教學(xué)效果,也提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.因此,鼓勵(lì)更多的教師在線性代數(shù)的教學(xué)中嘗試使用初等變換的教學(xué)方法,以提升教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)成果.

1 初等變換的核心結(jié)果

本文中,記In為n階單位矩陣,記O為零矩陣,ej為第j個(gè)分量等于1而其它分量均為0的列向量 (它們的維度由上下文確定).除去文章最后一節(jié),所有涉及的矩陣都是定義在某個(gè)域F上的矩陣.

先回顧一下初等變換的定義.

1.1 初等變換

定義1[1]矩陣的初等變換是指如下三類行或者列變換:

(i) 第一類初等變換:互換矩陣的兩行或者兩列;

(ii) 第二類初等變換:在矩陣的某行或者某列乘以一個(gè)非零常數(shù);

(iii) 第三類初等變換:矩陣的某行或者列的常數(shù)倍加到另外一行或者列.

下面的事實(shí)十分簡單,但在后面的論述中常常會(huì)遇到.

命題1初等變換是可逆變換,它的逆變換是同類型的初等變換.更確切地說,

(i) 第一類初等變換的逆就是它自己;

(ii) 第二類初等變換如果乘以的常數(shù)是λ,那么它的逆變換就是乘以λ-1(即除以λ);

(iii) 第三類初等變換如果加上的常數(shù)倍是a倍,那么它的逆就是減去a倍.

注1 因?yàn)槌醯茸儞Q是可逆變換,所以當(dāng)證明初等變換前后兩個(gè)集合相等或者兩個(gè)量相等時(shí),只需要證明兩集合間的包含關(guān)系,或者兩個(gè)量之間具有≤或整除的關(guān)系,而另外一個(gè)方向的結(jié)果就是顯然的.這個(gè)方法在后面的證明中常常用到,不再做特別說明.

本文要初等矩陣的概念.

定義2[1]單位矩陣In做初等變換得到的方陣,稱為初等矩陣.

(i) 初等矩陣Pij是互換In的第i,j行得到的矩陣,它也是互換In的第i,j列得到的矩陣.稱Pij為第一類初等矩陣;

(ii) 初等矩陣Di(λ)是將In的第i行乘以λ得到的矩陣,它也是將In第i列乘以λ得到的矩陣.稱Di(λ)為第二類初等矩陣;

(iii) 初等矩陣Tij(a)是將In的第j行的a倍加到第i行得到的矩陣,它也是將In的第i列的a倍加到第j列得到的矩陣.稱Tij(a)為第三類初等矩陣.

下面兩個(gè)定理是初等變換理論的核心定理.

定理1對(duì)m×n階矩陣A做初等行變換相當(dāng)于對(duì)A左乘對(duì)應(yīng)的初等矩陣P,做初等列變換相當(dāng)于對(duì)A右乘對(duì)應(yīng)的初等矩陣P,其中P是對(duì)單位陣Im做同樣的初等行變換(或者對(duì)In做同樣的初等列變換)得到的方陣.

將命題1通過定理1翻譯成矩陣語言,就有

也就是說:

推論1初等矩陣都是可逆矩陣.具體地說,即

定義3[1]若存在r≥1及1≤j1

uiji≠0 (1≤i≤r) 且uij=0 (i>r或者j

則稱U是階梯形矩陣,稱uiji(1≤i≤r)為轉(zhuǎn)角元,稱r為臺(tái)階數(shù).

如果階梯形矩陣U的所有轉(zhuǎn)角元都等于1而它們所在列的其它元均為0,即它的第ji個(gè)列向量是向量ei,稱U是特殊階梯形矩陣.

根據(jù)定義,顯然有1≤r≤min{m,n}.

引理1臺(tái)階數(shù)r=n的n階階梯形方陣是主對(duì)角元全為非零元的上三角陣.臺(tái)階數(shù)r=n的n階特殊階梯形方陣只有一個(gè),即單位陣In.

證這是由于1≤j1≤…≤jn≤n,故ji=i對(duì)于1≤i≤n成立.

下面的定理是初等變換的基本操作:

定理2任意非零矩陣A均可通過有限次初等行變換化為特殊階梯形矩陣,且j1等于最小的列j,使得A在該列中有非零元.

翻譯成矩陣語言,這個(gè)定理就是說

定理3設(shè)A是m×n矩陣,則存在m階初等矩陣P1,…,Ps使得P1…PsA是特殊階梯形矩陣.

1.2 行列式的積性和矩陣的可逆

假設(shè)本小節(jié)涉及的矩陣都是n階方陣.

引理2若A是n階方陣,P是n階初等矩陣,則

det(PA)=det(P)det(A).

由此可知,若P1,…,Ps是初等陣,則

det(P1…PsA)=det(P1)…det(Ps)det(A).

證在P=Pij情形證明det(PA)=det(P)det(A),其余情形類似.一方面,PijA是將方陣A互換第i,j行得到的矩陣,根據(jù)行列式的基本性質(zhì),det(PijA)=-det(A).另一方面,根據(jù)行列式的定義,det(Pij)=-1.故det(PijA)=det(Pij)det(A).

定理4設(shè)A與B是同階方陣,則det(AB)=det(A)det(B).

證由定理3,設(shè)A=P1…PsU,其中Pi是初等陣而U是特殊階梯形矩陣.

如果U的最后一行全為0,那么det(U)=0.故由引理2得

det(A)=det(P1)…det(Ps)det(U)=0.

此時(shí)UB的最后一行也全是0,故det(UB)=0.再由引理2即得

det(AB)=det(P1…PsUB)=det(P1)…det(Ps)det(UB)=0.

所以在這種情況,有det(AB)=det(A)det(B).

如果U最后一行不全為0,那么m=n=r,故U=Im.此時(shí)A=P1…Ps,其中Pi為初等陣.故由引理2得

det(AB)=det(P1…PsB)=det(P1)…det(Ps)det(B)=det(A)det(B).

定理5下列條件等價(jià):

(i) 方陣A可逆,即存在B使得AB=BA=I.

(ii)A的行列式det(A)≠0.

(iii)A是有限個(gè)初等矩陣的乘積.

證(iii) ? (i) ? (ii) 是顯然的,下面證明(ii) ?(iii).

設(shè)A=P1…PsU,其中Pi是初等陣而U是特殊階梯形矩陣.由det(A)≠0知det(U)≠0,從而U的最后一行不全為0.故r=n,U=In.此時(shí)A=P1…Ps是有限多個(gè)初等矩陣的乘積.

注2 上述定理說明了求逆算法的正確性:若A可逆,總可以將(A,I)經(jīng)過初等變換變?yōu)樘厥怆A梯形矩陣(I,B),此時(shí)B只能是A-1.

定理6(克萊姆法則) 設(shè)A是n階可逆方陣,b=(b1,…,bn)T,Ai是將A的第i列用b代替后得到的矩陣.則線性方程組AX=b有唯一解

1.3 秩的三種定義的等價(jià)性

定理7設(shè)矩陣A經(jīng)過初等行變換變?yōu)榫仃嘊.

(i) 矩陣的行向量空間保持不變,從而A與B的行秩相等.

(ii) 矩陣列向量組間的線性關(guān)系保持不變,從而A與B的列秩相等.

(iii) 對(duì)任意1≤k≤min{m,n},B的k階子式都是A的k階子式的線性組合,從而A與B的秩相等.

證(i) 記A=(α1,…,αm)T,B=(β1,…,βm)T.若初等行變換是

(a) 互換兩行,則{α1,…,αm}={β1,…,βm};

(b) 第i行乘以λ倍,則βi=λαi,αi=λ-1βi而βi′=αi′若i′≠i;

(c) 第j行的a倍加到第i行,則βi=αi+aαj,αi=βi-aβj,而βi′=αi′若i′≠i.

所有情況都說明它們的行向量空間是同一個(gè)空間.

(a) 若初等變換涉及到的行都在或者都不在集合{i1,…,ik}中,則

其中c=±1或者λ.

(b) 初等變換為互換第i行與第j行,其中i∈{i1,…,ik}而j?{i1,…,ik}.將集合{i1,…,ik,j}{i}中元素排序?yàn)閕′1<…

(c) 初等變換將第j行的a倍加到第i行,其中i∈{i1,…,ik}而j?{i1,…,ik}.如同(ii)一樣排序集合{i1,…,ik,j}{i}中的元素,則

同理,對(duì)于初等列變換則有

定理8設(shè)矩陣A經(jīng)過初等列變換變?yōu)榫仃嘊.

(i) 矩陣行向量組間的線性關(guān)系保持不變,從而A與B的行秩相等.

(ii) 矩陣的列向量空間保持不變,從而A與B的列秩相等.

(iii) 對(duì)任意1≤k≤min{m,n},B的k階子式都是A的k階子式的線性組合,從而A與B的秩相等.

推論3矩陣的列秩、行秩和秩三者相等.特別地,當(dāng)矩陣通過初等變換化為階梯形矩陣時(shí),臺(tái)階數(shù)等于矩陣的秩是唯一確定的.

證根據(jù)定理7,只需考慮A是(特殊)階梯形矩陣的情形,此時(shí)這是顯然的.

推論5設(shè)A經(jīng)過初等行變換變?yōu)樘厥怆A梯形矩陣U.

(i)U的非零行向量構(gòu)成A的行向量空間的一組基.

(ii)A的第j1,…,jr列列向量構(gòu)成A的列向量空間的一組基,即它們構(gòu)成A的列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組.

證(i) 這是由于A的行向量空間等于U的行向量空間,維數(shù)rank(A)等于U的非零行向量的個(gè)數(shù),故U的這些非零行向量一定構(gòu)成這個(gè)空間的一組基.

(ii) 由于U的第j1,…,jr列列向量集合{e1,…,er}是U的列向量空間的一組基,而初等行變換不改變列向量間的線性關(guān)系,故A的第j1,…,jr列列向量集合組成A的列向量空間的一組基.

1.4 線性方程組的求解

設(shè)A=(aij)m×n,b=(b1,…,bm)T,X=(x1,…,xn)T.考慮一般線性方程組AX=b的求解.不妨假設(shè)存在ai1≠0,否則變量x1就沒有出現(xiàn)在線性方程組里面,其取值可以自由選擇.

熟知需要對(duì)增廣矩陣(A,b)做初等行變換.這里的關(guān)鍵在于:

引理3初等行變換不改變線性方程組的解集合.

證由于初等變換的可逆性,只需要證明變換前方程組的解都是變換后方程組的解,而這是顯然的.

(ii) 如果rank(A,b)=rank(A)=r,設(shè)X0是AX=b的一個(gè)解,VA是齊次線性方程組AX=0的解空間,那么AX=b的解集合等于{X0+Y|Y∈VA}.

注3 此處將A變?yōu)樘厥怆A梯形矩陣U,這讓定理的結(jié)果可以寫得更漂亮一些.當(dāng)然在實(shí)際計(jì)算時(shí),U為階梯形矩陣就已經(jīng)足夠求解.

(ii) 一方面若Y∈VA,則A(X0+Y)=b.另一方面,若AX=AX0=b,則A(X-X0)=0,即X-X0∈VA且X=X0+(X-X0).

滿足等式Uβ=0.將其展開就得到djk=0對(duì)于1≤k≤r成立,故β=0.故VA是由{αj|j≠j1,…,jr}生成的線性空間.另一方面,{αj|j≠j1,…,jr}的線性無關(guān)性通過考慮它們的j分量(j?{j1,…,jr}) 立得.

1.5 整系數(shù)和域上多項(xiàng)式系數(shù)矩陣的初等變換

本節(jié)設(shè)R=或者F[x],其中F是域.環(huán)R與域有一個(gè)主要區(qū)別:R的非零元不一定是乘法可逆元而域的非零元都是乘法可逆元.事實(shí)上R的乘法可逆元集合R×即

R上矩陣的第一類初等變換和第三類初等變換與F上的初等變換沒有什么不同.但對(duì)于第二類初等變換,對(duì)矩陣的某行或者某列同乘以λ倍,要使它為可逆變換,則需要λ∈R×.這樣,在對(duì)R上的矩陣做初等變換時(shí),不能任意除一個(gè)非零數(shù)得到1.需要用到R上的帶余除法.

定義4設(shè)a∈R,稱

為a的高度.若a>0(當(dāng)R=時(shí))或者a首一(當(dāng)R=F[x]時(shí)),稱a恒正.

引理4(帶余除法) 若a,b∈R且a≠0,則存在唯一的q,r∈R,使得b=qa+r且h(r)

引理5設(shè)(a,*,…,*)與(b,*,…,*)是矩陣A的兩行且a≠0.則經(jīng)過有限次初等變換后可以將這兩條行向量變?yōu)?d,*,…,*)與(0,*,…,*),其余行不變,這里d是a和b的最大公因子.

證這個(gè)引理實(shí)際上就是歐幾里得算法的實(shí)現(xiàn).不妨設(shè)(a,*,…,*)是A的第1行,(b,*,…,*)是第2行.設(shè)b=qa+r,則第1行的-q倍加到第2行,它就變?yōu)?r,*,…,*).若r≠0,令a=q1r+r1.則第2行的-q1倍加到第1行,它就變?yōu)?r1,*,…,*).繼續(xù)這個(gè)過程,我們就將(a,b)變?yōu)?rn,0)或者(0,rn).再做一次第二類變換(使rn恒正)和最多一次第一類變換(將(0,rn)換為(rn,0)),(a,b)就變?yōu)?d,0),其中d是a和b的最大公因子.

定理10設(shè)A是R上的矩陣,B是A經(jīng)過初等變換得到的矩陣.則對(duì)任意1≤k≤min{m,n},B的k階子式都是A的k階子式的線性組合.從而

(i)A的秩等于B的秩.

(ii) 對(duì)于1≤k≤rank(A),則A的k階行列式因子Dk(A),即A的所有k階子式的最大公因子,等于B的k階行列式因子Dk(B).

證只需證明Dk(A)=Dk(B),其余同定理7 (iii) 的證明.由于B的k階子式都是A的k階子式的線性組合,故Dk(A)|Dk(B).再由初等變換的可逆性,Dk(B)|Dk(A).故兩者相等.

證(i) 首先證明存在性.

(a) 由于A≠O,設(shè)aij≠0,互換第i行與第1行,再互換第j列與第1列,最后對(duì)得到矩陣的第1行乘以a11的符號(hào)或者首項(xiàng)系數(shù)的逆,這樣最終得到的新矩陣A就滿足a11恒正.

(ii) 再證唯一性.由于初等變換不改變矩陣的秩,故r=rank(S)=rank(A).由于初等變換不改變行列式因子,故Dk(A)=Dk(S),但根據(jù)定義,Dk(S)=d1…dk,故

dk=dk(A)=Dk(A)/Dk-1(A).

注4 Smith標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性在一般線性代數(shù)教材是使用更復(fù)雜的Binet-Cauchy公式證明的[1].

另外,唯一性的證明還說明Dk-1(A)|Dk(A),這個(gè)事實(shí)也通過Laplace展開公式[1]得出,只要說明每個(gè)k階子式都是k-1階子式的線性組合即可.

定理12考慮R上的方陣.下列條件等價(jià):

(i) 方陣A可逆,即存在B使得AB=BA=I.

(ii)A的行列式det(A)∈R×.

(iii)A是有限個(gè)初等矩陣的乘積.

證(iii) ? (i) ? (ii) 是顯然的.下面證明 (ii) ? (iii).設(shè)A=P1…PsSQ1…Qt,其中Pi,Qj是初等陣而S是A的Smith標(biāo)準(zhǔn)形.由det(A)∈R×知rank(S)=n,S=diag(d1,…,dn)且det(S)=d1…dn∈R×.由于di恒正,這只能d1=…=dn=1,即S=In.

2 結(jié) 論

在線性代數(shù)的教學(xué)中,初等變換是一種非常重要的工具,可以用來證明線性代數(shù)中的定理與結(jié)論.通過使用初等變換,可以將一般的矩陣轉(zhuǎn)化為性質(zhì)已知的、結(jié)構(gòu)簡單的矩陣,從而證明各個(gè)主要結(jié)論和定理.

這種教學(xué)方式的優(yōu)勢在于,它能夠幫助學(xué)生克服對(duì)線性代數(shù)中抽象理論的恐懼.相比于直接面對(duì)抽象的問題,將問題轉(zhuǎn)化為具體的行、列變換可以使學(xué)生更容易理解和解決問題.這種直觀的思路可以提高教師的教學(xué)效果,同時(shí)也能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.

此外,通過使用初等變換進(jìn)行證明,學(xué)生還可以同步地提高他們的計(jì)算能力.在進(jìn)行初等變換的過程中,學(xué)生需要進(jìn)行矩陣的運(yùn)算和計(jì)算,這可以幫助他們鞏固和提高他們的計(jì)算技巧.因此,這種教學(xué)方式不僅可以幫助學(xué)生理解線性代數(shù)的理論,還可以培養(yǎng)他們的計(jì)算能力.

總之,通過使用初等變換來證明線性代數(shù)中的定理與結(jié)論是一種有效的教學(xué)方法.它可以幫助學(xué)生克服對(duì)抽象理論的恐懼,提高教師的教學(xué)效果和學(xué)生的學(xué)習(xí)效果,同時(shí)還可以同步地提高學(xué)生的計(jì)算能力.因此,在線性代數(shù)的教學(xué)中,我們可以充分利用初等變換這一工具,來幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用線性代數(shù)的知識(shí).

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.