涂振坤, 賈兆麗2,, 寧榮健

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥 230601; 2.新疆農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,烏魯木齊 830052)

0 引 言

文獻(xiàn)[1]中提出,如果二維隨機變量(X,Y)只在平面曲線L上取值,就稱(X,Y)為在曲線L上取值的二維曲線型隨機變量.

在文獻(xiàn)[2]中,給出了下面的結(jié)論.

引理1[2]設(shè)二維隨機變量(X,Y)在區(qū)域D內(nèi)(上)取值,其密度函數(shù)為f(x,y),且當(dāng)(x,y)∈D時,f(x,y)>0.L為D內(nèi)的一條光滑曲線,其方程為h(x,y)=0,且h′x(x,y)和h′y(x,y)均連續(xù),h′y(x,y)≠0.記u=x,v=h(x,y),y=H(u,v),則

本文將對上述結(jié)論再作進(jìn)一步挖掘,探討當(dāng)二維曲線型隨機變量(X,Y)∈L時,U=g(X,Y)的概率分布問題.

1 主要結(jié)論

(1)

由此得V的密度函數(shù)為

考慮到(u,v)∈Duv時,fUV(u,v)>0,故

又(X,Y)∈L等價于V=0,由條件密度函數(shù)定義有

推論1設(shè)a

(2)

在(2)中令b=u,a=-∞,可得當(dāng)(X,Y)∈L時,U=g(X,Y)的分布函數(shù)為

如果在定理1及推論1中分別取u=g(x,y)=x和u=g(x,y)=y,則可得

(3)

進(jìn)而有

(4)

(5)

進(jìn)而有

(6)

不難發(fā)現(xiàn),式(4)就是引理1中的結(jié)論,可見引理1是推論1的特例.

如果定理1中的變換u=g(x,y),v=h(x,y)不是一一對應(yīng)的,則定理1的結(jié)論就不成立. 因此需要將定理1作進(jìn)一步拓展.為此給出文獻(xiàn)[4]中的如下結(jié)論.

則(U,V)的密度函數(shù)為

則當(dāng)(X,Y)∈L時,U=g(X,Y)的密度函數(shù)為

(7)

證由引理2

故

得

2 應(yīng)用算例

例1設(shè)二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)

L:x2+y2=1,U=X-Y.

(i) 分別求U的密度函數(shù)fU(u),P{U≥0}以及邊緣密度函數(shù)fX(x),fY(y);

(ii) 當(dāng)(X,Y)∈L時,分別求U的密度函數(shù)fU|(X,Y)(u|L),P{U≥0|(X,Y)∈L}以及條件密度函數(shù)fX|(X,Y)(x|L),fY|(X,Y)(y|L).

解(i) ① 由(X,Y)的密度函數(shù)為f(x,y),知

當(dāng)u<-1時,FU(u)=0;當(dāng)u≥1時,FU(u)=1;

故

(ii) ① 由題意

L:x2+y2=1,0

由式(3)得

由式(5)得

本例(i)中,fU(u),P{U≥0}以及fX(x),fY(y)反映的是作為在矩形區(qū)域0

例2設(shè)二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為

其中D:-1

由于當(dāng)v=0時,0

本例中,由于變換u=x2,v=y-x2在D內(nèi)并非一一對應(yīng),因此需將D分為D1和D2兩個部分,再利用定理2進(jìn)行求解,可見定理2使得求二維曲線型隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)的方法變得更加豐富,適用范圍更廣.

3 結(jié) 論

由于在實際問題中存在曲線型隨機變量的現(xiàn)象,因此研究曲線型隨機變量具有一定的理論價值和應(yīng)用價值.但目前有關(guān)曲線型隨機變量的研究還不是很多,本文是在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上作了一定的引伸或拓展,將曲線型隨機變量的概率計算問題提升到曲線型隨機變量函數(shù)的概率分布問題,拋磚引玉,努力豐富和完善曲線型隨機變量的理論.

本文主要的工作是定理1和定理2.在定理1中給出了當(dāng)(X,Y)∈L時,(X,Y)的函數(shù)U=g(X,Y)的密度函數(shù)fU|(X,Y)(u|L)的計算公式.并由此相應(yīng)地得到當(dāng)(X,Y)∈L時,P{a≤U≤b|(X,Y)∈L},以及密度函數(shù)fX|(X,Y)(x|L)和fY|(X,Y)(y|L)等的計算方法.定理2是定理1的引伸,適用范圍更廣.

致謝感謝審稿人給出的寶貴意見,感謝唐爍老師對論文的內(nèi)容及結(jié)構(gòu)等方面的指導(dǎo).