李殷杰, 鐘金標(biāo)

(安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 安慶 246133)

0 引 言

源于物理,力學(xué)等方面的很多問(wèn)題,可通過(guò)建立橢圓型方程或方程組邊值問(wèn)題來(lái)給予解決,從而這方面的研究一直是偏微分方程研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一,在本文研究下列橢圓型方程組Dirichlet邊值問(wèn)題

(1)

的可解性,這里Ω?n為有界光滑區(qū)域,目前,對(duì)橢圓型方程和方程組邊值問(wèn)題正解的存在性,唯一性或多解性的研究非?；钴S,例如文獻(xiàn)[1-4]是近期發(fā)表的研究文章.

文獻(xiàn)[1]中研究了半線性橢圓型方程組

(2)

其中Ω為n中有界光滑區(qū)域,非線性項(xiàng)f(x,u),g(x,v)滿足條件:

(A3) 對(duì)x∈Ω,f(x,s),g(x,s)關(guān)于s是嚴(yán)格遞增的.

利用不動(dòng)點(diǎn)定理證明了問(wèn)題(2)正解的存在性,并討論了解的唯一性,這里f,g滿足條件(A2),說(shuō)明f(x,s),g(x,s)在+∞處關(guān)于s只能是次線性和線性的,對(duì)f(x,s),g(x,s)在+∞處關(guān)于s是超線性的情形,問(wèn)題(1)是否存在正解未給予證明.

在文獻(xiàn)[2]中利用Morse理論研究了問(wèn)題

(3)

非平凡解的存在性,證明了非平凡弱解的存在性定理.

在文獻(xiàn)[3]中討論下列橢圓型方程邊值問(wèn)題

這里Ω?2是有界連通的光滑域,0

該問(wèn)題中非線性項(xiàng)關(guān)于u是次線性的,證明了經(jīng)典解的存在性,文獻(xiàn)[4-7]也是近期發(fā)表的相關(guān)文章.

設(shè)問(wèn)題(1)中的非線性項(xiàng)滿足下列條件:

(H3)f(x,0,0),g(x,0,0)中至少有一個(gè)大于0.

1 主要結(jié)論

定理1若條件(H1)成立,則問(wèn)題(1)只能存在非負(fù)解.

證由條件(H1)可知f(x,u,v)≥0,g(x,u,v)≥0,從而

由上調(diào)和函數(shù)極值原理[8]知u≥0,v≥0,從而問(wèn)題(1)只能存在非負(fù)解.

證由定理1知,問(wèn)題(1)只能存在非負(fù)解,做函數(shù)集合

顯然D為C2(Ω)×C2(Ω)中閉凸子集,取(s(x),t(x))∈D,讓u,v分別是問(wèn)題

(6)

(7)

從而

做算子T如下:T∶(s,t)=(u,v).即

因?yàn)長(zhǎng)=(-Δ)-1為緊正算子[10],f,g為非負(fù)連續(xù)函數(shù),T為D映射到D的緊正算子,由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理[8],T有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),該不動(dòng)點(diǎn)即為問(wèn)題(1)的非負(fù)解.

下面考察帶參數(shù)的橢圓型方程組邊值問(wèn)題

(8)

其中Ω為n中有界光滑區(qū)域,λ>0,μ>0為正參數(shù),利用定理2結(jié)論,可以得出.

定理3當(dāng)λ,μ充分小時(shí),且f(x,s,t),g(x,s,t)滿足條件(H1),(H2),(H3)時(shí),問(wèn)題(8)存在有界正解.

-Δu-λf(x,u,v)=-λf(x,0,0)≤0, -Δv-gf(x,u,v)=-μg(x,0,0)≤0,

當(dāng)λ,μ充分小時(shí),

利用定理2的結(jié)論知,問(wèn)題(8)存在有界正解.

注 在文獻(xiàn)[1]中對(duì)所研究的問(wèn)題,其非線性項(xiàng)在+∞處含線性與次線性部分,證明了正解的存在,而對(duì)超線性情形正解是否存在解未給予證明,而在研究問(wèn)題(8)中,非線性函數(shù)f,g在+∞處可以是超線性的,根據(jù)定理3仍可得到問(wèn)題(8)存在有界正解.

而對(duì)線性項(xiàng)為超線性情形時(shí),一直是此類問(wèn)題研究的的難點(diǎn)之一.

應(yīng)用實(shí)例:考察問(wèn)題

(9)

這里Ω為n中有界光滑區(qū)域.f(x,s,t)=1+(s+t)2,g(x,s,t)=2+(s+t)4,顯然滿足條件(H1),(H2),(H3).

由定理3可知,當(dāng)λ,μ充分小時(shí),問(wèn)題(9)存在有界正解,這里f,g在+∞處是超線性的.

2 結(jié) 論

本文首先研究了半線性方程組(1)正解的存在性,其中非線性項(xiàng)f(x,u,v),g(x,u,v)為超線性函數(shù).利用上,下解方法及不動(dòng)點(diǎn)定理證明了正解的存在性,對(duì)f(x,u,v),g(x,u,v)為超線性函數(shù)情形,相關(guān)研究中f(x,u,v),g(x,u,v)都是較為特殊的函數(shù).本文通過(guò)引入小參數(shù),對(duì)f(x,u,v),g(x,u,v)為較為一般的超線性函數(shù),證明了帶參數(shù)的橢圓型方程組邊值問(wèn)題(8)存在有界正解,并給出了應(yīng)用實(shí)例.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.