吳文銳,房 凱,李 鵬,錢征華,2

(1.南京航空航天大學(xué) 航空學(xué)院,航空航天結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇 南京 210016;2.南京航空航天大學(xué) 航空學(xué)院,直升機(jī)動力學(xué)全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇 南京 210016)

0 引言

壓電半導(dǎo)體材料兼具壓電特性和半導(dǎo)體特性,被用于制造各種電子器件,在智能材料與結(jié)構(gòu)領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。在壓電半導(dǎo)體材料中,機(jī)械力可產(chǎn)生極化電荷,與極化相關(guān)的電場驅(qū)動載流子定向移動,從而實(shí)現(xiàn)了機(jī)械載荷對載流子傳輸?shù)目刂?這種自供能特性為電子器件的微型化提供了便利。近年來,許多新的壓電半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)已經(jīng)被合成,包括纖維、管、帶、螺旋和薄膜等[1-2],這些結(jié)構(gòu)以單個或陣列的形式組成了許多新型電子器件,如場效應(yīng)晶體管、壓電傳感器[3]、納米發(fā)電機(jī)[4-5]等,在工程應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用。

已有研究表明,在壓電半導(dǎo)體介質(zhì)上施加非均勻應(yīng)變可以有效提高壓電性能[6],這為高靈敏度壓電半導(dǎo)體器件的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了新思路。基于此,人們期望通過漸進(jìn)變化的截面來獲取非均勻應(yīng)變,進(jìn)而提高自供電器件的壓電性能,錐形壓電半導(dǎo)體纖維是典型結(jié)構(gòu)之一。此外,受加工工藝及工作環(huán)境的影響,器件的形狀也會發(fā)生變化,如機(jī)械加工過程中的缺陷、使用過程中的生物和化學(xué)腐蝕等,這些都可導(dǎo)致器件表面凹凸不平[7]。

為了分析變截面壓電半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性,國內(nèi)外專家學(xué)者開展了一系列相關(guān)研究。Ren等[8]采用應(yīng)變梯度法,考慮了應(yīng)變梯度效應(yīng),得到非均勻納米線軸向延伸下載流子和機(jī)電場分布的理論解。Elouafi等[9]基于Mori-Tanaka模型和Eshelby張量,推導(dǎo)了橫觀各向同性壓電材料有效性能的解析和半解析表達(dá)式。Yang等[10]基于壓電半導(dǎo)體宏觀理論對一維模型進(jìn)行了分析,從理論上證明了壓電介質(zhì)和非壓電半導(dǎo)體復(fù)合光纖中的PN結(jié)與纖維的彎曲變形直接相關(guān)。Giuseppe Romano等通過解析和有限元仿真,研究了垂直壓縮氧化鋅納米線中自由載流子對壓電場的屏蔽效應(yīng)。類似的相關(guān)研究很多,但絕大多數(shù)都是針對特定的截面變化模式開展理論分析[10-13],當(dāng)壓電半導(dǎo)體纖維的截面以任意函數(shù)形式變化時(shí),其動力學(xué)控制方程為變系數(shù)偏微分方程,數(shù)學(xué)上難以求得具有一般形式的理論解。為了解決這一難題,文獻(xiàn)[7]提出了冪級數(shù)展開法,將壓電半導(dǎo)體材料的截面變化函數(shù)、位移場和電勢場表達(dá)為沿纖維長度方向的冪級數(shù)形式,但受限于級數(shù)的收斂性,該方法并不能求解截面模式任意變化下壓電半導(dǎo)體纖維的壓電特性。另一方面,現(xiàn)有對壓電半導(dǎo)體材料的力學(xué)特性研究常是基于線性化假設(shè),對壓電半導(dǎo)體本構(gòu)方程進(jìn)行了線性化處理,即假設(shè)壓電半導(dǎo)體材料中載流子的變化遠(yuǎn)小于初始載流子濃度,這種近似得到的線性解僅適用于外部載荷較小的情況[14-15],當(dāng)外部載荷逐漸增大時(shí),線性化假設(shè)不再適用。

為了精確計(jì)算任意截面變化模式下壓電半導(dǎo)體纖維的靜力學(xué)特性,本文創(chuàng)新地提出了基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(PINN)模型,應(yīng)用深度學(xué)習(xí)算法求解復(fù)雜的變系數(shù)偏微分方程。該方法降低了對實(shí)驗(yàn)或模型數(shù)據(jù)的依賴[16],將潛在的物理定律編碼為先驗(yàn)信息,可對復(fù)雜高階多維方程進(jìn)行正向計(jì)算,不受幾何空間限制,處理邊界條件靈活,適用于任意截面形狀的壓電半導(dǎo)體。此外,該方法既能基于線性化假設(shè)進(jìn)行求解,還能直接求解非線性方程,具有非常好的普適性。本文先以靜態(tài)拉伸變形下的壓電半導(dǎo)體的線性化方程為例,介紹PINN方法的基本原理及實(shí)現(xiàn)過程,通過與有限元仿真的對比驗(yàn)證了該方法的正確性;再在此基礎(chǔ)上研究了不同的截面變化模式對壓電半導(dǎo)體纖維PN結(jié)物理特性的影響;最后應(yīng)用類似的思路求解了壓電半導(dǎo)體的非線性方程,充分驗(yàn)證了PINN方法的適用性和通用性。本文方法及結(jié)果可為壓電半導(dǎo)體器件的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及應(yīng)用提供重要的理論基礎(chǔ)。

1 應(yīng)用PINN求解壓電半導(dǎo)體力學(xué)特性的基本原理

1.1 壓電半導(dǎo)體材料的基本方程

對于壓電半導(dǎo)體材料,其控制方程包括運(yùn)動平衡方程、靜電電荷方程、電荷(電子與空穴)的連續(xù)性方程[17-19],即

(1)

(2)

(3)

Ei=-φ,i

(4)

1.2 變截面壓電半導(dǎo)體纖維的理論建模

圖1為變截面壓電半導(dǎo)體纖維受拉示意圖。

圖1 變截面壓電半導(dǎo)體纖維受拉示意圖

考慮圖1中長度為L的變截面壓電半導(dǎo)體纖維,其截面面積由函數(shù)A(x3)所決定,且在端部受到大小相等、方向相反的拉力F作用下發(fā)生變形。本文先從線彈性理論框架下研究變截面壓電半導(dǎo)體纖維的拉伸特性,即假設(shè)壓電半導(dǎo)體材料中電子(空穴)的變化遠(yuǎn)小于其初始載流子濃度。假設(shè)該納米纖維是電隔離的,無任何電荷或電流,在僅考慮拉伸變形下,結(jié)合式(2)-(4),控制式(1)中的運(yùn)動平衡方程、靜電電荷方程可退化[7]為

(5)

(6)

電荷連續(xù)性方程可改寫為

(7)

(8)

這里考慮了應(yīng)力松弛條件,對彈性常數(shù)、壓電常數(shù)和介電常數(shù)進(jìn)行了修正,即

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式(5)、(6)可統(tǒng)一為

(14)

考慮到纖維兩端的應(yīng)力邊界條件σ33=F,故纖維兩端的電位移邊界條件D3(0)=D3(L)=0可進(jìn)一步化簡為

(15)

(16)

于是,求解圖1中變截面壓電半導(dǎo)體的拉伸問題可歸結(jié)為尋找同時(shí)滿足式(12)-(16)的理論解。由于截面是變化的,式(14)是變系數(shù)的微分方程,難以找到適用于截面形式任意變化的通用理論解,一些理論解或數(shù)值解多數(shù)都是針對某種特定的截面變化模式。為了解決這一難題,本文將基于PINN對該問題進(jìn)行求解,并研究截面的非均勻變化對壓電半導(dǎo)體纖維拉伸變形的影響。這種方法最大的優(yōu)勢在于其具有廣泛的適用性,適用于任意截面形狀的壓電半導(dǎo)體纖維。

1.3 PINN的數(shù)值計(jì)算流程

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具備強(qiáng)大的擬合能力,可以擬合任何非線性函數(shù),但因其搜索空間龐大,導(dǎo)致尋優(yōu)難,而為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)置合理的約束是利用其擬合能力的有效手段。利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合變截面壓電半導(dǎo)體纖維的拉伸問題同樣如此。為了解決求解過程中尋優(yōu)難、訓(xùn)練樣本需求大的問題,本文將壓電半導(dǎo)體纖維的物理變化規(guī)律作為先驗(yàn)知識,利用其約束預(yù)測網(wǎng)絡(luò)的求解空間。本文構(gòu)建的PINN深度機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)求解變截面壓電半導(dǎo)體纖維拉伸問題的基本步驟如下所述。

基于壓電半導(dǎo)體的本構(gòu)方程和控制方程式(12)-(14),可構(gòu)造損失函數(shù):

(17)

圖2 基于壓電控制方程的深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

首先,將多個神經(jīng)元按照多層結(jié)構(gòu)在輸入、輸出之間連接,構(gòu)成一個以x3和A(x3)為輸入,以φ、Δp、Δn為輸出的全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(其中φ、Δp、Δn分別表示壓電纖維內(nèi)部的電勢、電子濃度擾動、空穴濃度擾動),除最后一層外,其余的各層都是“線性變換+激活函數(shù)層”。激活函數(shù)給神經(jīng)元引入了非線性因素,解決了線性模型的非線性缺陷,使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以逼近任何非線性函數(shù)。在常見的激活函數(shù)中,由于雙曲正切函數(shù)具有輸出范圍廣、梯度不易消失的特點(diǎn),因此,本文選擇雙曲正切函數(shù)作為激活函數(shù),從而把函數(shù)值壓縮到[-1,1]區(qū)間[21]。

神經(jīng)元前向傳播的過程可表示為

(18)

式中:a為網(wǎng)絡(luò)層中的單個神經(jīng)元;上標(biāo)l為層序號,下標(biāo)j,i分別表示該層的第j個神經(jīng)元和前一層的第i個神經(jīng)元;w和b分別為兩個神經(jīng)元之間對應(yīng)的權(quán)重和偏差;g為激活函數(shù)。第L層為輸出層,輸出的擬合函數(shù)為

(19)

本文選取PINN的目的是尋找一組網(wǎng)絡(luò)層參數(shù),對輸入x3和A(x3)進(jìn)行處理,使輸出φ、Δp、Δn逼近微分方程的真實(shí)解。

其次,對輸出進(jìn)行自動求偏微分,構(gòu)成逼近函數(shù),并將深度人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)形成的逼近函數(shù)作為試函數(shù)[22]。結(jié)合壓電控制方程式(12)-(14),構(gòu)成方程的損失函數(shù):

(20)

同時(shí),將邊界和初始條件代入人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù),結(jié)合邊界條件式(15)、(16),構(gòu)成邊界損失函數(shù):

(21)

式中wfi和wui分別為方程損失函數(shù)和邊界損失函數(shù)中各部分對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)。權(quán)重系數(shù)的選取應(yīng)盡量使得方程損失、邊界損失各項(xiàng)當(dāng)中的φ,3處于同一數(shù)量級,使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對各項(xiàng)損失具有相似的關(guān)注程度,以避免某些影響偏微分方程的損失項(xiàng)被忽略。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各層之間的權(quán)重和偏置可以通過最小化均方誤差損失來進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)深度學(xué)習(xí)。

最后,定義整體損失函數(shù)為Loss=MSEf+MSEu,通過不斷迭代優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)權(quán)值,減小損失函數(shù)值,直至達(dá)到足夠合理的機(jī)器學(xué)習(xí)精度。此時(shí),該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近的數(shù)值即為本文變截面壓電半導(dǎo)體纖維拉伸問題的最終解。由算法的具體過程中可見,本文方法不受截面函數(shù)A(x3)的影響,適用于截面以任意函數(shù)形式變化的壓電半導(dǎo)體纖維。

2 基于PINN的變截面PN結(jié)物理特性分析

2.1 變截面PN結(jié)

為了驗(yàn)證PINN方法在求解變截面壓電半導(dǎo)體纖維力學(xué)特性的適用性,本文選擇半導(dǎo)體領(lǐng)域的基本單元PN結(jié)為例進(jìn)行研究。它由P型和N型兩種半導(dǎo)體連接而成,如圖3所示。由圖可見,當(dāng)構(gòu)成PN結(jié)的半導(dǎo)體材料具有壓電特征時(shí),外部施加的機(jī)械載荷可誘導(dǎo)結(jié)構(gòu)內(nèi)部出現(xiàn)極化電場,進(jìn)而驅(qū)動載流子的定向移動,以實(shí)現(xiàn)對半導(dǎo)體器件性能的調(diào)控。因此,開展PN結(jié)結(jié)構(gòu)的性能分析對半導(dǎo)體器件現(xiàn)代功能的研發(fā)和設(shè)計(jì)都具有重要意義。

圖3 變截面PN結(jié)示意圖

表1 ZnO的材料參數(shù)

考慮到x3=0的位置對應(yīng)PN結(jié)的交界面,設(shè)置電勢的參考零點(diǎn)為φ(0)=0。對于圖3所示的PN結(jié),除邊界條件要求的D3(-L)=D3(L)=0外,還需滿足以下連續(xù)性條件:

(22)

此外,PN節(jié)處于平衡狀態(tài)時(shí)需滿足全局電中性條件[14,17],即

(23)

2.2 正確性驗(yàn)證

本文選取x3=±L處壓電半導(dǎo)體纖維的半徑為0.09 μm,相應(yīng)地,A0=0.02 μm2,Al=Ar=0.025 μm2。不同F(xiàn)作用下壓電半導(dǎo)體纖維的電勢沿x3軸的變化趨勢如圖4所示。

圖4 使用PINN法和有限元仿真結(jié)果的正確性驗(yàn)證

此外,為了對比,本文還使用有限元軟件COMSOL Multiphysics的PDE模塊進(jìn)行仿真分析,得到了不同外力情況下ZnO纖維的電學(xué)特性。由圖4可見,使用PINN法得到的結(jié)果與通過有限元仿真得到的結(jié)果高度吻合,這說明了本文方法的正確性。除二次函數(shù)外,經(jīng)核驗(yàn),通過PINN計(jì)算得到的其他截面變化模式下的電學(xué)響應(yīng)均與有限元仿真結(jié)果高度吻合。限于篇幅,這里不再一一給出。這充分說明了本文方法的正確性和適用性。同時(shí),電勢關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)沿x3方向反對稱分布,這是由壓電半導(dǎo)體纖維的對稱性所決定。不同外力改變了纖維內(nèi)應(yīng)變的大小,而在纖維的勢壘區(qū)內(nèi)部,電勢完全被自由電荷屏蔽[24],故僅在纖維端部,應(yīng)變的改變通過壓電效應(yīng)使電勢發(fā)生了明顯的變化。

2.3 頸縮截面的影響

本節(jié)仍以橫截面積變化函數(shù)A(x3)=A0(1+αx32)為例,研究頸縮構(gòu)型對壓電半導(dǎo)體纖維PN結(jié)內(nèi)部力電耦合特性的影響。研究過程中固定外力F=5 nN,分別討論兩種情況:

1) 兩端Al和Ar的截面積保持不變,為0.025 μm2,而交界面面積A0可變,其結(jié)果如圖5(a)所示。

圖5 不同端面比A0/Al的頸縮構(gòu)型纖維中電勢φ的分布

2) 交界面A0的截面積保持不變,為0.025 μm2,而兩端Al和Ar的面積可變,其結(jié)果如圖5(b)所示。

相比于A0=Al=Ar=0.025 μm2的均勻壓電半導(dǎo)體纖維構(gòu)型,A0/Al數(shù)值發(fā)生變化時(shí),工況1)的截面積變化劇烈的部分主要發(fā)生在PN結(jié)勢壘區(qū)內(nèi)部,而工況2)則主要發(fā)生在兩個端面附近。由圖5可見,在一對恒定作用力的作用下,隨著A0/Al值的減小,端面電勢φ逐漸增大,但兩種情況的變化幅度有著明顯差別,圖5(b)中的端部電勢變化更顯著。這是因?yàn)槎瞬康膽?yīng)變變化對附近電荷分布有影響,而在PN結(jié)的勢壘區(qū)內(nèi)部的場被自由載流子完全屏蔽,中部應(yīng)變改變并不會對附近電荷分布有影響,因此,勢壘區(qū)內(nèi)部的截面積變化幾乎不會改變PN結(jié)的壓電性能。

2.4 錐形端面構(gòu)型

為了進(jìn)一步說明PINN方法在求解任意截面形狀的壓電半導(dǎo)體纖維結(jié)構(gòu)的適用性和通用性,本節(jié)選取左端為錐形端面的壓電半導(dǎo)體纖維進(jìn)行分析,其構(gòu)型如圖6所示。

圖6 錐形端面構(gòu)型的變截面PN結(jié)示意圖

假設(shè)外力F=5 nN,A0=Ar=0.025 μm2,橫截面積A(x3)可用如下的分段函數(shù)表示:

A(x3)=

(24)

式中左端的切屑部分用線性函數(shù)來表征。

圖7是圖6所示的壓電半導(dǎo)體纖維中的電勢分布。由圖可見,端面截面積的改變對電勢的改變影響較顯著,這是因?yàn)殡S著左端面截面積的減小,該區(qū)域的強(qiáng)度降低,在相同的拉力下產(chǎn)生了較大的應(yīng)變,進(jìn)而通過壓電效應(yīng)產(chǎn)生的電場較大。這種改變僅發(fā)生在勢壘區(qū)外的端面位置附近,而結(jié)區(qū)附近的勢壘構(gòu)型基本無變化。

圖7 不同端面比A0/Al所對應(yīng)的纖維中電勢φ的分布

綜合圖5、7可知,對于具有相同初始載流子濃度的非均勻壓電納米纖維PN結(jié),其勢壘區(qū)內(nèi)部具有大致相同的電勢及電場特性,而端面截面積的改變對電場特性的影響顯著,變截面壓電半導(dǎo)體纖維在端部位置表現(xiàn)出很強(qiáng)的結(jié)構(gòu)依賴行為,工程應(yīng)用中可以利用這類特性來提高壓電納米纖維器件的靈敏度[8]。

2.5 壓電半導(dǎo)體纖維非線性方程求解

圖8 線性化法與非線性法計(jì)算結(jié)果對比

由圖8可見,當(dāng)外力F較小時(shí),線性和非線性兩者之間的誤差較小,這間接驗(yàn)證了線彈性壓電半導(dǎo)體理論的正確性。隨著兩端拉力F的增大,纖維端面及交界面的載流子濃度擾動提高,電勢隨之增大,這是因?yàn)榫€性化的控制方程略去了含Δn和Δp的增量項(xiàng),因而產(chǎn)生了一定的誤差。由于壓電纖維端面附近的載流子濃度擾動最大,故誤差最大的位置也位于該區(qū)域內(nèi)。此外,通過線性化法計(jì)算得到了比真實(shí)工況更高的電勢值,且此誤差隨著纖維兩端機(jī)械載荷的增大而被逐漸放大。為了進(jìn)一步量化分析,本文定義相對誤差δ為

(25)

端面附近不同位置處的相對誤差隨外力F的變化趨勢如圖8(b)所示,圖中x3表示端面附近的坐標(biāo)。由圖可見,隨著外力的增大,線性結(jié)果所產(chǎn)生的誤差會逐漸增大,這是因?yàn)榫€性化法略去了包含載流子濃度擾動的增量項(xiàng),而該增量項(xiàng)在載荷較大的情況下影響更明顯。同時(shí)在實(shí)際應(yīng)用中,在最大誤差允許的范圍內(nèi)可得到線彈性壓電半導(dǎo)體理論的適用區(qū)間。例如,如果最大相對誤差設(shè)為5%,則外界拉力的臨界值F臨界值=70 nN。當(dāng)F>70 nN時(shí),線彈性壓電半導(dǎo)體理論的計(jì)算結(jié)果會導(dǎo)致相對較大的誤差,此時(shí)必須考慮壓電半導(dǎo)體方程的非線性項(xiàng);而當(dāng)F≤70 nN時(shí),線彈性壓電半導(dǎo)體理論的計(jì)算結(jié)果相對誤差較小,可以接受。

3 結(jié)束語

本文構(gòu)建了基于物理信息的深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(PINN),并給出了計(jì)算模型及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建過程。在此基礎(chǔ)上,以變截面壓電納米纖維PN結(jié)為例進(jìn)行了壓電性能預(yù)測,通過與COMSOL仿真結(jié)果進(jìn)行對比,驗(yàn)證了模型的正確性和有效性,為復(fù)雜壓電半導(dǎo)體器件的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。該方法以計(jì)算機(jī)深度學(xué)習(xí)的方法代替了復(fù)雜的非線性方程求解,可用于求解壓電半導(dǎo)體問題的線性解和非線性解,對任意截面形狀的壓電納米纖維模型均適用,具有良好的普遍性。本文主要研究了壓電半導(dǎo)體纖維的靜態(tài)拉伸特性,可以預(yù)見,PINN方法對于壓電半導(dǎo)體材料的彎曲、扭轉(zhuǎn)及動態(tài)問題的求解依然適用。