張士花

二面角的大小通常用其平面角來(lái)表示.在二面角的棱上任取一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.那么如何求作二面角的平面角呢？下面介紹三種路徑.

一、利用三垂線法

三垂線法是指根據(jù)三垂線定理或其逆定理來(lái)解題.三垂線定理：如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直.三垂線逆定理：如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直.運(yùn)用三垂線法求作二面角的平面角，關(guān)鍵是作出一個(gè)平面的斜線、垂線以及斜線在另一個(gè)平面內(nèi)的射影，以構(gòu)造出三垂線.如圖1，過(guò)平面α內(nèi)的一點(diǎn) A 作 AO ⊥β于 O ，過(guò) A 作 AB 垂直二面角α-c -β的棱 c 于 B ，則 BO 為斜線 AB 在平面β內(nèi)的射影，由三垂線定理可知 OB⊥ c ，則∠ABO 為二面角α-c -β的平面角.

例1.如圖2，在正四棱錐 P -ABCD 中，點(diǎn) E、F ，O 分別是線段 BC，PE，BD 的中點(diǎn).（1）求證：OF∥平面 PAD ；（2）若 AB =PA ，求二面角 F - CD -E 的正弦值.

解：

要確定二面角的平面角，關(guān)鍵是證明 FH ⊥平面 ABCD ，于是根據(jù)三垂線定理，由 HI⊥ CD 得到 FH⊥ CD ，從而找到了二面角的平面角∠FIH .運(yùn)用三垂線法求作二面角的平面角，要先找到一個(gè)半平面的垂線，以快速確定斜線及其射影.

二、運(yùn)用射影面積法

若容易確定二面角的一個(gè)半平面在另一個(gè)半平面內(nèi)的射影，則可采用射影面積法解題.先分別求出一個(gè)半平面與其射影的面積；再將二者作商，即可得出二面角的余弦值.如圖3，若△ABC 在另一個(gè)平面內(nèi)的射影為ΔA′B ′C ′，則二面角的余弦值為 cos θ= S（S）斜（射）=

例2.已知 RtΔABC 的斜邊在平面α內(nèi)，兩條直角邊分別與平面α成30°和45°角，則ΔABC 所在的平面與平面α所成的銳二面角的余弦值為? .

解：

由于 ΔABC 與 ΔABD 的底邊相同，所以它們的面積之比就是它們?cè)?AB 邊上的高之比，不難發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形的高 CE 和 DE 的夾角就是二面角的平面角，可直接運(yùn)用射影面積法，求得兩個(gè)三角形 ΔABC 與 ΔABD 的面積，即可解題.

三、采用垂面法

由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)半平面的公垂面與二面角的棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)半平面的交線所成的角，就是二面角的平面角.如圖 5，若平面 OABC 為二面角 α - a - β 的公垂面，則這個(gè)二面角的平面角為∠COB .運(yùn)用垂面法解題，要先根據(jù)面面垂直的判定定理證明公垂面與二面角的兩個(gè)半平面都垂直，才能確定二面角的平面角.

例3

解

運(yùn)用垂面法解題時(shí)，可以找到一個(gè)與二面角的棱垂直的平面，那么根據(jù)面面垂直的判定定理可知這個(gè)平面即為二面角的公垂面.在本題中，我們根據(jù) CD1 ⊥平面 FHP ，確定平面 FHP 為二面角的公垂面，從而找到二面角的平面角∠FHP .

總之，在求解二面角問(wèn)題時(shí)，我們需根據(jù)解題需求，采用三垂線法、射影面積法、垂面法來(lái)確定二面角的平面角，再根據(jù)平面幾何知識(shí)，如勾股定理、正余弦定理來(lái)求平面角的大小.