姬學(xué)琴

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容.常見的數(shù)列問題有求數(shù)列的某一項、求數(shù)列的通項公式、求數(shù)列的前 n 項和、與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用問題、求參數(shù)的取值范圍.求解數(shù)列問題，需靈活運用等差和等比數(shù)列的通項公式、定義、性質(zhì)、前 n 項和公式.下面結(jié)合實例，談一談下列三類數(shù)列問題的解法.

一、求數(shù)列的某一項

求數(shù)列的某一項問題的難度一般不大.解答此類問題，通常需先明確該項對應(yīng)的 n 的取值；然后將 n 的值代入數(shù)列的通項公式或遞推式中，即可求得該項的值.

我們仔細(xì)觀察數(shù)列的遞推式，可發(fā)現(xiàn)該數(shù)列具有周期性，于是令 n =1、2、3、4、5，并將其代入遞推式中，即可求出數(shù)列各項的值.由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的項，需明確數(shù)列中 an + 1 、an、an - 1 之間的關(guān)系，然后對 n 進行賦值，建立關(guān)系式即可解題.

二、數(shù)列求和問題

數(shù)列求和問題通常要求根據(jù)已知的遞推式或關(guān)系式求數(shù)列前 n 項的和.解答數(shù)列求和問題常用的方法有：觀察法、累加法、累乘法、分組求和法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法等.在解題時，往往要先仔細(xì)研究數(shù)列的通項公式，將其進行裂項、拆分、放縮；然后將數(shù)列的和式乘以公比，或?qū)⒑褪街懈黜椀捻樞虻惯^來，從而求得數(shù)列的和.

仔細(xì)研究數(shù)列{bn} 的通項公式，可發(fā)現(xiàn)該式中的 n + 1視為等差數(shù)列的通項公式，2n + 1 可視為等比數(shù)列的通項公式，于是在數(shù)列和式的左右同時乘以公比 1 2 ，并將其與原和式錯位相減，即可運用錯位相減法求得數(shù)列的前 n 項和.

在解答本題時，我們需先將數(shù)列的通項公式裂項，得出 bn = 1 2n - 1 - 1 2n + 1 - 1 ；然后將數(shù)列的各項相加，通過裂項相消法求得數(shù)列 {bn} 的和，從而求得數(shù)列 {cn} 的通項公式；再根據(jù)數(shù)列 {cn} 的單調(diào)性求得 k 的取值范圍.

三、與數(shù)列相關(guān)的應(yīng)用問題

與數(shù)列相關(guān)的應(yīng)用問題側(cè)重于考查同學(xué)們綜合運用數(shù)列知識解決問題的能力.解答這類問題，要先仔細(xì)審題，將自然數(shù)變量用 n 表示，建立關(guān)于 n 的關(guān)系式，并將其視為數(shù)列的通項公式或前 n 項和式；然后利用等差和等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)、定義、前 n 項和公式進行求解.

將牧場從2022年起每年年初的計劃存欄數(shù)視為數(shù)列，求得數(shù)列 {cn - 500} 的首項、公比，即可根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列 {cn - 500} 的通項公式，得到問題的答案.

數(shù)列問題的命題形式較多，其解法各不相同.同學(xué)們在解題時，不僅要靈活運用等差和等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)、定義、前 n 項和公式，還要學(xué)會運用轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、分類討論思想來輔助解題.