吳飛鵬

幾何意義是指從幾何角度來解釋代數(shù)式所具有的某種特殊含義.數(shù)學(xué)中的許多代數(shù)式都有它相應(yīng)的幾何意義，運(yùn)用代數(shù)式的幾何意義，可快速架起“數(shù)”和“形”之間的橋梁，將代數(shù)問題化為幾何問題，利用幾何知識(shí)來解題，這樣不僅能轉(zhuǎn)換解題的思路，還能減少運(yùn)算量，提升解題的效率.

一、巧用直線參數(shù)方程中 t 的幾何意義解題

若直線 l 經(jīng)過定點(diǎn) M0（x0，y0） ，且傾斜角為 α ，則直線 l 的參數(shù)方程為 {x = x0 + t cos α， y = y0 + tsin α， t 為參數(shù).若 M1 、 M2 為直線 l 上的兩點(diǎn)，且點(diǎn) M1 、M2 對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 t1 、t2 ，則有如下結(jié)論成立：

②若弦 M1M2的中點(diǎn)為 M ，則點(diǎn) M 對(duì)應(yīng)的參數(shù)

在解答與線段有關(guān)的問題時(shí)，可以直接根據(jù)直線的參數(shù)方程中 t 的幾何意義，快速求得線段的長(zhǎng)以及線段的中點(diǎn).

例1.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線 l 的傾斜角為α ， 且經(jīng)過定點(diǎn) P（4， 2）；以平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以 x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，將極坐標(biāo)方程ρ=4 cos θ表示的曲線記作 C .若直線 l 與曲線 C 相交，且兩個(gè)交點(diǎn)分別為 M、N ，求PM +PN 的取值范圍.

解答本題，需明確直線的參數(shù)方程中 t 的幾何意義，將 t1、t2看作直線 l 上的兩點(diǎn) M、N 對(duì)應(yīng)的參數(shù)，據(jù)此得出PM =t1、PN =t2、MN =t1- t2，將問題轉(zhuǎn)化為線段問題，再根據(jù)比例中項(xiàng)的定義建立關(guān)系式.

二、巧用極徑ρ的幾何意義解題

我們知道，在極坐標(biāo)系中，極徑ρ的幾何意義是以原點(diǎn) O 為起點(diǎn)的線段長(zhǎng).在解答有關(guān)線段的長(zhǎng)度問題時(shí)，若線段的一個(gè)端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則可構(gòu)造極坐標(biāo)系，將線段長(zhǎng)設(shè)為ρ ， 其線段與 x 軸的夾角設(shè)為θ ， 建立關(guān)系式，靈活運(yùn)用極徑ρ的幾何意義來求線段的長(zhǎng)、建立關(guān)于線段長(zhǎng)的關(guān)系式.

例3.已知直線 l 的方程為 x +y =2，圓的方程為 x2+ y2=4，設(shè)點(diǎn) P 在直線 l 上，射線 OP 交圓于點(diǎn) R ，點(diǎn) Q 在 OP 上，且滿足OQ?OP =OR2，當(dāng)點(diǎn) P 在 l 上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q 軌跡的極坐標(biāo)方程.

解：

由于 OP、OQ、OR 都經(jīng)過點(diǎn) O ，所以設(shè) P、Q、R 的極坐標(biāo)分別為ρ1， θ、ρ， θ、ρ2 ， θ.根據(jù)極徑ρ的幾何意義，由OQ?OP =OR2得ρρ1=ρ22，從而求得點(diǎn) Q 軌跡的極坐標(biāo)方程.

例4.

解：

本題中 OA、OB 以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)，于是以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以 x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，將橢圓的方程化為極坐標(biāo)方程.而 A、B 兩點(diǎn)在橢圓上，則可根據(jù)極徑的幾何意義，以及 OA 與 OB 的關(guān)系，設(shè) A（ρ1，θ1） 、B（ρ2，θ1 + π 2 ） ，再將其代入橢圓的極坐標(biāo)方程中進(jìn)行運(yùn)算，即可求得問題的答案.

可見，在解答與直線、線段有關(guān)的問題時(shí)，靈活運(yùn)用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義以及極坐標(biāo)方程中極徑的幾何意義，能快速確定線段的表達(dá)式以及長(zhǎng)度.這有利于簡(jiǎn)化運(yùn)算，能有效地優(yōu)化解題的過程，提升解題的效率.