王小青

(江蘇省如皋中學(xué) 226599)

立體幾何的圖形各式各樣、千姿百態(tài),人們認(rèn)識(shí)空間圖形、建構(gòu)空間的有關(guān)概念和性質(zhì)(比如空間的平行和垂直的概念、空間角和距離的概念、空間平行和垂直的判定及性質(zhì)等等)的過程,就是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程．在這動(dòng)態(tài)過程中,點(diǎn)、線、面就是構(gòu)成空間幾何圖形的基本元素．

1 對(duì)“運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)”的闡述

1.1 空間立體圖形在運(yùn)動(dòng)中形成

空間立體圖形是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的幾何體．點(diǎn)動(dòng)成線,線動(dòng)成面,面動(dòng)成體,面繞某直線旋轉(zhuǎn)成旋轉(zhuǎn)體．這就是說,通過點(diǎn)、線、面的運(yùn)動(dòng)變換,幾何圖形將從一維上升到二維再上升到三維．

立體圖形的形成過程如圖1所示．

圖1 立體圖形的形成過程

學(xué)生認(rèn)識(shí)空間立體圖形,經(jīng)歷了“運(yùn)動(dòng)—畫圖”“觀察—想象”等思維過程,再通過這些基本圖形建構(gòu)復(fù)雜的空間幾何體,對(duì)復(fù)雜幾何體的認(rèn)知,學(xué)生必須在積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上發(fā)揮空間想象能力,理解如何通過基本圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、疊加、裁剪等運(yùn)動(dòng)過程形成這些幾何體.

1.2 空間位置關(guān)系在運(yùn)動(dòng)中探究

空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的定義、判定定理及性質(zhì)定理的探究過程就是用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)空間立體幾何的過程．如空間的垂直關(guān)系,在教學(xué)過程中,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)兩直線垂直時(shí),可以從平面的兩相交直線互相垂直入手,將其中一條直線進(jìn)行平移,可以認(rèn)識(shí)空間兩異面直線互相垂直;將兩相交直線中一條直線繞交點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn),可以認(rèn)識(shí)空間直線與平面垂直;再將另一條直線進(jìn)行平移(旋轉(zhuǎn)),可以認(rèn)識(shí)空間兩平面互相垂直.在平移和旋轉(zhuǎn)的過程中,可以探尋空間垂直關(guān)系的定義、判定定理、性質(zhì)定理,并且通過運(yùn)動(dòng)過程中的特殊位置理解垂直關(guān)系的內(nèi)涵與外延．

學(xué)生通過空間圖形的運(yùn)動(dòng)變化過程想象圖形的性質(zhì),積累感性認(rèn)知與經(jīng)驗(yàn),從運(yùn)動(dòng)變化的角度去探索、發(fā)現(xiàn)、交流、表達(dá)空間的位置關(guān)系.

1.3 空間度量關(guān)系在運(yùn)動(dòng)中建構(gòu)

空間的角、距離等度量關(guān)系的建構(gòu)對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn),要善于從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探尋這些度量關(guān)系．如對(duì)兩異面直線的研究,我們可以引導(dǎo)學(xué)生將其中一條直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn),直觀感知需要用“角度”來刻畫其關(guān)系,再將這條直線進(jìn)行平移,可以發(fā)現(xiàn)一是平移過程中直接感覺“角度”沒有發(fā)生變化,二是需要用“距離”刻畫其關(guān)系．那么如何刻畫兩異面直線的角與距離呢?在直觀演示的過程中,引導(dǎo)學(xué)生在探究直線平移中選擇已有的認(rèn)知“平面角”、刻畫“空間角”,類比已有的兩平行直線的距離的概念建構(gòu)異面直線的距離．對(duì)空間直線和平面所成的角、二面角等的建構(gòu),同樣可以將直線(半平面)進(jìn)行旋轉(zhuǎn),讓學(xué)生感知運(yùn)動(dòng)影響下的空間角如何轉(zhuǎn)化為平面角來刻畫．

學(xué)生通過自己動(dòng)手操作,從對(duì)度量關(guān)系變化的直觀感覺上升為對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)變化的理性認(rèn)知,提升幾何直觀能力,發(fā)展空間觀念.

2 基于運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)研究立體幾何中的最值問題

空間圖形中,由于空間的點(diǎn)線面等元素平移和旋轉(zhuǎn)的變化影響了空間的角、距離、幾何體的表面積、體積等度量關(guān)系的變化,從而產(chǎn)生了立體幾何中的一類有關(guān)最值的問題．

空間幾何體是由立體幾何的基本元素在運(yùn)動(dòng)中形成的,運(yùn)動(dòng)的過程中,滲透了一些“動(dòng)態(tài)”的點(diǎn)、線、面等元素,這樣給靜態(tài)的立體幾何賦予了活力,研究立體幾何的問題更趨靈活．通過探究空間點(diǎn)線面的運(yùn)動(dòng)過程,從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)入手,從運(yùn)動(dòng)的元素、運(yùn)動(dòng)的方向、運(yùn)動(dòng)過程中的特殊位置等切入,探尋運(yùn)動(dòng)過程中的平移、旋轉(zhuǎn)等方式如何影響目標(biāo)的最值．因此,用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)研究立體幾何最值問題,有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力．

2.1 “動(dòng)點(diǎn)”平移形成的最值問題

例1如圖2,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．

圖2

(1)證明:l⊥平面PDC;

(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點(diǎn),求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．

分析探求 本題圖形中沒有直接標(biāo)出平面PAD與平面PBC的交線,所以首先要確定這兩個(gè)平面的交線l．從運(yùn)動(dòng)的角度思考,發(fā)現(xiàn)平面PAD與平面PBC分別是由正方形的邊AD,BC沿DP,CP方向平移到點(diǎn)P,所以兩平面的交線l與AD,BC平行,如圖3．

圖3 圖4

第(2)題是求動(dòng)態(tài)過程的最值問題,那么直線PB與平面QCD所成角的正弦值為什么會(huì)有最值?觀察圖形可知直線PB的位置是確定的,平面QCD所過的直線CD是確定的,直線l上的動(dòng)點(diǎn)Q影響了平面QCD的位置,進(jìn)而影響了直線PB和平面QCD所成的角．由于PB的位置和長(zhǎng)度是確定的,可以借助建立空間直角坐標(biāo)系,用點(diǎn)的坐標(biāo)來刻畫運(yùn)動(dòng)的點(diǎn),建立PB與平面QCD所成角的正弦值的目標(biāo)函數(shù)求解(圖4)．

另外,我們看到PB與CD的位置關(guān)系是確定的．由于點(diǎn)Q的變化,PB在平面QCD上的射影m也在變化,從而射影m與CD所成的角在變化．設(shè)直線PB與動(dòng)平面QCD所成的角為θ,其中直線PB在平面QCD內(nèi)的射影m與CD所成的角為θ2,聯(lián)想到三角余弦結(jié)論cosθ1=cosθcosθ2,直線PB和CD所成的角θ1為定值,而當(dāng)點(diǎn)Q在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí),存在一個(gè)位置使直線PB在平面QCD內(nèi)的射影與CD平行,即θ2=0,此時(shí)Q(1,0,1),PB與平面QCD所成角的正弦值取最大值．

從運(yùn)動(dòng)的角度,可以進(jìn)一步探究二面角B-CD-Q的取值范圍,三棱錐B-DCQ的體積(定值);是否存在點(diǎn)Q,使得PB∥平面QCD等一系列問題,體會(huì)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)如何影響目標(biāo)的最值．

構(gòu)成立體幾何的基本元素點(diǎn)在立體圖形中的“動(dòng)”,將會(huì)影響其圖形中的線面位置關(guān)系以及角、距離、面積、體積等數(shù)量關(guān)系的大小和取值范圍等.當(dāng)點(diǎn)在直線或平面上運(yùn)動(dòng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)的位置影響了所求目標(biāo)中的直線和平面的位置,由此也就提出了動(dòng)態(tài)中的距離和角度數(shù)量關(guān)系的最值問題．

解決這類問題的一般方法有兩類,一是空間向量法,建立空間直角坐標(biāo)系,用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來刻畫動(dòng)點(diǎn)的位置,把動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,然后用代數(shù)的方法求目標(biāo)函數(shù)的最值;二是傳統(tǒng)的幾何法,利用圖形的幾何性質(zhì),將空間問題平面化,把三維空間問題降為二維平面問題來研究,以平面幾何中的公理、定義和定理為依據(jù),直接推理求得最值．

2.2 “動(dòng)平面”旋轉(zhuǎn)形成的最值問題

(1)若點(diǎn)M,N分別為棱AD,BC的中點(diǎn),F為棱AB上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),則△FMN周長(zhǎng)的最小值為;

分析探求 第(1)題由圖5可知,點(diǎn)M,N分別為棱AD,BC的中點(diǎn),F為棱AB上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),則△FMN中線段MN的長(zhǎng)為定值,動(dòng)線段MF,NF分別在平面ABD和平面ABC中,而隨著兩平面的旋轉(zhuǎn)變化過程,線段MF,NF沒有發(fā)生改變,故可以將兩平面旋轉(zhuǎn)至同一平面中,即可將平面ABD翻折至面ABC所在的平面上,問題轉(zhuǎn)化為平面中線段之和的最小值問題．

圖5

對(duì)于第(2)題,可以確定正四面體的外接球球心O和半徑.過點(diǎn)E作四面體A-BCD外接球的截面,則截面是一個(gè)圓,在截面圓旋轉(zhuǎn)的過程中,要使得截面圓面積最小,由R2=d2+r2知截面圓的半徑最小,即球心到截面圓的距離最大.而截面過定點(diǎn)E,旋轉(zhuǎn)過程中距離最大值即為球心O到E的距離,此時(shí)截面過E且與OE垂直,從而得出面積的最小值．

動(dòng)截面的形成,是由點(diǎn)、線、面的變化引起的,當(dāng)動(dòng)平面過某條定直線時(shí),可以將平面繞著定直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn),通過旋轉(zhuǎn)過程中的變化探尋目標(biāo)的最值,當(dāng)動(dòng)平面過某個(gè)定點(diǎn)時(shí),可以將平面繞空間定點(diǎn)旋轉(zhuǎn),利用面面平行的性質(zhì)定理,確定動(dòng)截面,然后判斷截面是怎樣的基本圖形．由此,可以從動(dòng)截面的基本平面圖形特征來研究其中的有關(guān)問題．

2.3 “動(dòng)軌跡”形成中的最值問題

例3(多選題)點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則( ).

分析探求1 從形切入.對(duì)于選項(xiàng)A,點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng),那么直線D1P運(yùn)動(dòng)形成平面ACD1,問題轉(zhuǎn)化為求正△ACD1中直線D1P與AC所成角的取值范圍,將空間角轉(zhuǎn)化為平面角的最值問題.對(duì)于選項(xiàng)B,點(diǎn)P滿足AP⊥B1C時(shí),則直線AP運(yùn)動(dòng)形成的平面即為過點(diǎn)A與直線B1C垂直的平面ABC1D1,又因?yàn)镻在正方體的表面上,故點(diǎn)P的軌跡為折線段ABC1D1A,則目標(biāo)線段長(zhǎng)的最大值即為線段AC1的長(zhǎng).對(duì)于選項(xiàng)C,根據(jù)線面角的定義可得A1P=1,又點(diǎn)P在平面A1B1C1D1上,故點(diǎn)P的軌跡為以A1為圓心、1為半徑的四分之一圓,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)即可得線段C1P長(zhǎng)度的最小值.對(duì)于選項(xiàng)D,點(diǎn)P在平面ABCD上運(yùn)動(dòng),且滿足PF∥平面B1CD1時(shí),則點(diǎn)P的軌跡為過F且與平面B1CD1平行的平面與正方體表面的交線,由正方體可作出相應(yīng)的正六邊形截面,從而得PF長(zhǎng)度的最小值．本題的正確選項(xiàng)為BC.

分析探求2 從數(shù)切入.建立空間坐標(biāo)系,設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo),利用已知條件探尋動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的代數(shù)關(guān)系式,再利用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示目標(biāo)線段長(zhǎng)和所成角,轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值．相比分析探求1,運(yùn)算量大,所以從圖形直觀探尋動(dòng)點(diǎn)的軌跡更優(yōu)．

立體幾何中,某些點(diǎn)、線、面依一定的規(guī)則運(yùn)動(dòng),將會(huì)形成各式各樣的軌跡,探求空間中的軌跡與探求平面上的軌跡類似．解決這類問題,可綜合采用幾何法和代數(shù)法處理．采用幾何法時(shí),必須抓住幾何不變量,利用線線、線面、面面的平行與垂直的位置關(guān)系,以及空間角、距離等度量關(guān)系,探尋特定情況下的動(dòng)點(diǎn)的軌跡,要熟悉一些常見曲線生成過程,熟悉常見截面曲線的類型;使用代數(shù)法時(shí),可以建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,選取適當(dāng)?shù)淖宰兞考澳繕?biāo)函數(shù),利用有關(guān)性質(zhì),通過代數(shù)運(yùn)算求得問題解決．

2.4 “動(dòng)模型”形成的最值問題

例4如圖6,在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別為邊AB,CD的中點(diǎn),將△ADF沿AF所在的直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn),將△BCE沿CE所在的直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)的過程中,下列說法正確的是( ).

圖6

A.無論旋轉(zhuǎn)到什么位置,B,D都不可能重合

B.存在某個(gè)位置,使得直線DF和直線BE所成的角為60°

C.存在某個(gè)位置,使得直線DF和直線BE所成的角為90°

D.存在某個(gè)位置,使得直線AD和直線BC所成的角為90°

分析探求 本題是研究平面圖形的旋轉(zhuǎn)問題,那么動(dòng)平面在旋轉(zhuǎn)過程中如何影響動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)直線的位置?事實(shí)上,依據(jù)圓柱、圓錐的定義知,直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周,另一條直角邊和斜邊形成圓錐的底面圓面和圓錐的側(cè)面．要將平面圖形的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為空間的點(diǎn)、線、直角三角形和直角梯形的旋轉(zhuǎn)模型來求解．如圖7,在旋轉(zhuǎn)過程中,AF是以F為頂點(diǎn)、AM為底面半徑的圓錐曲線的母線.同理,AB,EC,DC邊可看作圓錐的母線．即將問題轉(zhuǎn)化為兩圓錐中動(dòng)點(diǎn)和圓錐母線間的位置關(guān)系,將動(dòng)直線所成的角轉(zhuǎn)化為圓錐的軸截面的頂角大小．很多時(shí)候,若運(yùn)動(dòng)方式為旋轉(zhuǎn),要善于根據(jù)題設(shè)條件建構(gòu)圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球模型．

圖7

拓展延伸a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),下列結(jié)論中正確的有.

①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成30°角;

②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成60°角;

③直線AB與a所成角的最小值為45°;

④直線AB與a所成角的最大值為60°．

圖8

若著眼于斜邊AB以AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),可以建構(gòu)圓錐模型．由題意,AB是圓錐的母線,如圖9,由AC⊥a,AC⊥b,AC⊥圓錐底面,平移直線a,b,可分別作出直線AB與直線a,b所成的角,通過三角形的正弦定理、余弦定理和三角余弦公式等結(jié)論求解．

圖9

平面圖形的翻折、立體圖形的展開、平面繞某直線的旋轉(zhuǎn),都會(huì)使幾何模型發(fā)生變化,由此動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線的位置也會(huì)發(fā)生變化．利用模型的變化解決立體幾何問題時(shí),要熟悉平移、翻折和旋轉(zhuǎn)的規(guī)律及性質(zhì),要注意變化前后線線、線面、面面位置關(guān)系的變化,要尋求相關(guān)元素之間的相對(duì)關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的變化;要善于在圖形運(yùn)動(dòng)和變化的過程中發(fā)現(xiàn)不變的幾何量或幾何關(guān)系,要聯(lián)系基本圖形的特征,這樣可以使問題得到解決,更能感受知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系,提高解題能力．同樣,善于建構(gòu)相關(guān)的空間模型,也可以幫助解決動(dòng)態(tài)位置關(guān)系的問題.比如,可以根據(jù)題設(shè)條件中的垂直關(guān)系構(gòu)造長(zhǎng)方體模型;又如可以根據(jù)旋轉(zhuǎn)方式構(gòu)造某旋轉(zhuǎn)體模型．

3 結(jié)語

用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)研究立體幾何問題時(shí),必須狠抓其本源,了解基本元素的本質(zhì)與內(nèi)涵,熟悉基本圖形的特征,掌握數(shù)學(xué)中的基本概念和性質(zhì);用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)研究立體幾何問題的過程,實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)建模的過程,是創(chuàng)新的過程;解決這類問題,夯實(shí)基礎(chǔ)是關(guān)鍵,運(yùn)用數(shù)學(xué)思想是策略,富有空間想象能力是保證;在“動(dòng)”中研究立體幾何的經(jīng)歷,可以幫助學(xué)生不斷進(jìn)行空間想象內(nèi)功的修煉,不斷積累知識(shí)與技巧,不斷提高解決立體幾何問題的能力．