唐玉令 王曉軍

(紹興文理學院數理信息學院 312000)

數學課程標準[1-2]強調數學文化融入課程內容,強調數學與生活以及其他學科的聯系,重視提升學生應用數學解決實際問題的能力;同時明確了數學核心素養(yǎng)的學業(yè)質量水平與考試評價的關系．查閱近幾年中高考試卷,發(fā)現融入數學文化元素的試題頻頻出現,以會標圖案為背景的一類數學試題尤為凸顯,這引起了筆者對數學文化視角下的“會標圖案”試題的興趣與關注．

1 問題由來

(2022年江蘇四市調研卷第16題)第十四屆國際數學教育大會(簡稱ICME-14)于2021年7月在上海舉辦,會標的主題圖案(圖1)有著豐富的數學元素,展現了中國古代數學的燦爛文化,其右下方的“卦”是用中國古代的計數符號寫出的八進制數字3 745．八進制有0～7共8個數字,基數為8,加法運算時逢八進一,減法運算時借一當八．八進制數字3 745換算成十進制是5×80+4×81+7×82+3×83=2 021,表示ICME-14的舉辦年份．設正整數n=a0×80+a1×81+…+ak×8k,其中ai∈{0,1,2,3,4,5,6,7},i=0,1,…,k,k∈N．記ω(n)=a0+a1+…+ak,S(n)=ω(1)+ω(2)+…+ω(8n),則ω(72)=;當n≤7時,用含n的代數式表示S(n)=．

圖1

第二問考查的是數列的求和,要構造S(n)-S(n-1),因此需要分類討論:

當n=1時,S(1)=ω(1)+ω(2)+…+ω(8)=1+2+3+4+5+6+7+1=29．

當2≤n≤7時,S(n)-S(n-1)=ω(1)+ω(2)+…+ω(8n)-[ω(1)+ω(2)+…+ω(8(n-1))]=ω(8(n-1)+1)+ω(8(n-1)+2)+…+ω(8(n-1)+7)+ω(8n)=(n-1)+1+(n-1)+2+…+(n-1)+7+n=8n+21,然后利用累加法即可求出S(n)=[S(n)-S(n-1)]+

最后檢驗n=1時,S(1)滿足S(n)=4n2+25n,所以S(n)=4n2+25n(n≤7)．

這道題由ICME-14會標中的“卦”引出進制數,不僅突顯我國進制數的發(fā)展歷程,還讓學生了解到國際數學教育大會在中國舉辦,提升了民族自豪感．這種融入數學文化的試題將未學過的知識與已經學過的知識相結合,不僅能培養(yǎng)學生運用新定義知識解決數學問題的能力,而且能提高學生的綜合素質和核心素養(yǎng)．不難發(fā)現,題中的會標圖案還蘊藏著許多數學元素和文化,挖掘其潛在的教育價值顯得十分有意義．

2 會標圖案與數學史知識

會標圖案是數學活動的主題標志,一些重要的數學活動都要設計會標,其內容反映主辦地的歷史文化、民族特點和屆次、地點、時間等．會標圖案不僅有利于弘揚我國數學傳統(tǒng)文化,還能與時俱進地反映活動的精神風貌,如ICME-14會標、中國數學會會標、第24屆國際數學家大會會標等．下面以ICME-14會標圖案為例,挖掘其蘊藏的數學史料知識．

ICME-14會標圖案設計源于圓形的河圖[3](圖2)．“河圖”和“洛書”被譽為中華民族文明之源,隱含了許多數與數字關系,可謂是圖像和數字結合的完美典范．“河圖”和“洛書”(圖3)都是由具有一定排列順序的黑白點組成,數值大小為點的個數[4]．根據點數可以發(fā)現,洛書每橫、豎、斜對角的點數和均是15,是“等和”的排列,這也是世界上最早的幻方．河圖包含數字1到10,每個方位兩個數字的差都為5,是“等差”的排列．ICME-14會標圖案中突出了河圖上方2與7的點列,其積為14,表示本次會議的屆數,可謂設計精妙．

圖2 圓形的河圖 圖3 河圖洛書

ICME-14會標圖案中還包括“趙爽弦圖”(圖4)．“弦圖”是我國古代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的一種驗證勾股定理的圖形,是中國數學史上最早證明勾股定理的方法．其本質思想是圖形的割補和拼接,以形證數,十分巧妙,在我國數學史中影響巨大．

圖4 趙爽弦圖

ICME-14會標圖案的右下方是用“卦”表示出來的數．“卦”是中國古代文化中的一個重要符號和思想源泉,對于中國古代的占卜、預測、決策和文化傳承等方面都有著重要的影響．“卦”中還蘊含著許多數學知識,與二進制數有很大的關聯．“卦”由“—”和“- -”組成,“—”為陽爻,“- -”為陰爻．以“—”為1,“- -”為0,便可以將卦數寫成二進制數或八進制數．由此可以得到會標右下方的二進制數字為011 111 100 101,換算成十進制數恰是本次舉辦會議的年份2021,這不僅展現了中國數學文化的博大精深,也體現了傳統(tǒng)文化與現代文明的巧妙融合．

3 史料知識與試題聯結

將數學文化元素融入試題,體現出數學課程標準的學業(yè)質量水平與考試評價的關系,有利于引導教學關注育人目的,注重培養(yǎng)學生核心素養(yǎng),重視提高學生綜合運用知識解決實際問題的能力,幫助教師和學生把握教與學的深度和廣度,為階段性評價、學業(yè)水平考試和升學考試命題提供重要依據,推動教、學、考有機銜接,形成育人合力[1]．ICME-14會標圖案中的洛書、弦圖、卦等史料知識蘊含著豐富的數學思想方法,有利于培育學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力．下面以此為背景,進行數學文化試題的聯結與拓展．

3.1 “九宮格”中的“等和”與“等積”

“九宮格”源于我國古代的“洛書”,是世界上最早的“幻方”．將此數學史料與數學試題巧妙聯結,就需要學生從題目中尋找關鍵信息,讀懂洛書中“等和”排列的數字規(guī)律,由此提升學生的學業(yè)質量水平．洛書中“等和”的數字關系有許多的應用與變式,下面是一道與此相關的“等積”試題．

例1(2020年湖南邵陽中考第15題)在如圖5的方格中,若要使橫、豎、斜對角的3個實數相乘都得到同樣的結果,則后兩行2個空格的實數之積為．

圖5

這道題將洛書中橫、豎、斜對角的“等和”排列變式為“等積”排列,并以此為背景考查學生的運算能力與推理能力．對于這類數學問題,教師要善于歸納與分類,生成有層次性、邏輯性和系統(tǒng)性的問題鏈,促進學生思維的深度參與[5]．

3.2 趙爽弦圖中的“求值”與“涂色”

趙爽弦圖作為勾股定理的一個重要證明方法,也是數學文化融入試題的重要元素．在初中階段,趙爽弦圖一般用于考查求邊長、面積、最值等,需要結合勾股定理,其變式題目十分多樣,這也需要教師深入挖掘趙爽弦圖的潛在價值,讓學生感受到定理的產生、證明、應用過程,理解定理證明中所蘊含的數學思想,促進知識的遷移與應用． 趙爽弦圖不僅在初中階段有諸多應用,在高中階段也頻頻出現,下面是一道與此相關的“涂色”問題．

例2(2020年河北省高三九校聯考第9題)如圖6為我國數學家趙爽(約3世紀初)為《周牌算經》作注時驗證勾股定理的示意圖．現在提供6種不同的顏色給其中5個小區(qū)域涂色,規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色,且相鄰區(qū)域顏色不同,則A,C區(qū)域涂同色的概率為( )．

圖6

解析 分析題意,可知至少使用3種顏色,分3種情況:

這道題以弦圖為載體,考查排列組合內容．在高中階段,趙爽弦圖僅作為題目背景,重點考查三角函數、概率運算、平面向量和排列組合等知識點,對學生的綜合能力的要求有了明顯的提高,要求學生真正理解并掌握知識的內涵,學會舉一反三．

3.3 “卦”中的“進制數”與“排列組合”

可以發(fā)現,2022年江蘇四市調研卷的第16題融入了“卦”和八進制數的計算,使題目更加豐滿．教師在講解八進制時,可以類比十進制,幫助學生理解八進制的內涵,做到觸類旁通;并且可以將進制數作為擴展內容介紹給學有余力的學生,開拓學生眼界．“卦”不僅與進制數相關,它本身還蘊含著排列組合的思想,下面是一道與此相關的排列組合試題．

例3(2019年全國Ⅰ卷理科第19題)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成,爻分為陽爻“—”和陰爻“- -”,如圖7就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦,則該重卦恰有3個陽爻的概率是( )．

圖7

這道題以“卦”為背景,將“卦”緊密而又巧妙地與排列組合知識相結合,通過對“卦”的解析進一步考查學生對排列組合知識的掌握．在題目中融入文化,既是對數學文化知識的創(chuàng)新性運用,也是對傳統(tǒng)文化的進一步傳承與弘揚．

4 結語

以上是由會標圖案引出的一系列數學史料的探究,并延伸出相關數學文化的試題．可以看出,有了數學史料背景的融入,這些試題更富有文化色彩,試題的設計也更加巧妙．作為教師,更應多閱讀、研究相關數學文化,挖掘數學史料中蘊藏的數學思想,選擇合適的數學史料融入到課堂教學中,幫助學生理解數學知識的發(fā)展和本質,構建螺旋上升的知識結構,并結合問題的變式與相似性聯結,培養(yǎng)學生將數學思想方法應用到現實生活中的能力[6],提高學生的數學核心素養(yǎng)．