陸 庭

(江蘇省太倉(cāng)高級(jí)中學(xué) 215400)

理性精神是人們?cè)谕ㄟ^(guò)邏輯思維對(duì)事物進(jìn)行抽象、概括從而形成概念、判斷或推理的認(rèn)識(shí)過(guò)程中反映出的尋找事物本質(zhì)及其規(guī)律的精神．著名數(shù)學(xué)家克萊因在《西方文化中的數(shù)學(xué)》中寫道:“數(shù)學(xué)是一種理性的精神,正是這種精神,激發(fā)、促進(jìn)并推動(dòng)人類的思維得以發(fā)展完善．”[1]高中數(shù)學(xué)在培育理性精神方面有著重要的意義,是培育學(xué)生理性精神的重要載體．張奠宙先生把數(shù)學(xué)理性精神概括為:“獨(dú)立思考,不迷信權(quán)威;尊重事實(shí),不感情用事;思辨分析,不混淆是非;嚴(yán)謹(jǐn)推理,不違背邏輯．”[2]數(shù)學(xué)理性精神的培育能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)理性的魅力,提高通過(guò)思考與推理獲得成功的信心和應(yīng)對(duì)挫折的承受力,養(yǎng)成堅(jiān)忍的優(yōu)秀品質(zhì)．

數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn),以學(xué)生的動(dòng)手操作、動(dòng)腦思維為基礎(chǔ),通過(guò)觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、推理、概括等過(guò)程,讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的探究或驗(yàn)證過(guò)程．這種學(xué)習(xí)方式能使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建構(gòu),逐步理解數(shù)學(xué)概念,從而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．因此創(chuàng)新數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性精神有著重要的促進(jìn)作用[3]．

1 創(chuàng)新數(shù)學(xué)探究情境,凸顯“形式化”思想

·片段1

師:古羅馬時(shí)期杰拉什(Jerash)的橢圓形廣場(chǎng)(圖1)中央曾有一個(gè)高臺(tái),安放著太陽(yáng)神的雕像,現(xiàn)在在杰拉什藝術(shù)節(jié)期間還作為藝術(shù)節(jié)的圣火燃放地．那么當(dāng)年工人們建造完橢圓形廣場(chǎng)之后該如何去尋找橢圓的中心來(lái)安放太陽(yáng)神的雕像呢?

圖1 杰拉什(Jerash)橢圓形廣場(chǎng)

生:要找到安放太陽(yáng)神雕像的位置,就是要找到橢圓的中心．

師:當(dāng)時(shí)沒(méi)有現(xiàn)代的科技手段和測(cè)量?jī)x器,如何在偌大的橢圓形廣場(chǎng)上找到它的中心呢?

生:可以將廣場(chǎng)等比例縮放到圖紙上去研究,用尺規(guī)作圖找出橢圓的中心．

師:非常好的想法,我們現(xiàn)在的建筑行業(yè)很多都采用這樣的策略．我們這一節(jié)課的主要任務(wù),就是用尺規(guī)作圖來(lái)尋找橢圓的中心．

本節(jié)課以真實(shí)存在的橢圓廣場(chǎng)作為切入口,結(jié)合時(shí)代背景,讓學(xué)生將“安放太陽(yáng)神雕像”這一實(shí)際問(wèn)題抽象為“用尺規(guī)作圖尋找橢圓的中心”這一數(shù)學(xué)問(wèn)題,在教學(xué)中凸顯了形式化的思想．教師是課堂的組織者,也是教學(xué)的引導(dǎo)者,通過(guò)探究實(shí)驗(yàn)情境的創(chuàng)設(shè),讓學(xué)生明確了本節(jié)課的探究主題,知道“要研究什么”,激發(fā)了學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的興趣,進(jìn)而為學(xué)生通過(guò)實(shí)例來(lái)提出問(wèn)題、建立模型、充分挖掘已有的橢圓知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題埋下伏筆,讓學(xué)生經(jīng)歷探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的全過(guò)程,促進(jìn)探索精神與實(shí)踐精神的發(fā)展,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)．

數(shù)學(xué)源于生活又高于生活,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是抽象的,但抽象實(shí)驗(yàn)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)踐[4]．因此,在數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,通常先回歸到直觀和具體的生活實(shí)踐中,通過(guò)創(chuàng)設(shè)適合學(xué)情的實(shí)驗(yàn)探究情景,使數(shù)學(xué)的抽象回歸到具體,讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的更好理解,激發(fā)學(xué)生尋找事物本質(zhì)的好奇心．

2 創(chuàng)新數(shù)學(xué)探究過(guò)程,注重“數(shù)學(xué)化”思想

數(shù)學(xué)化的過(guò)程通常就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探索、發(fā)現(xiàn)、分析、總結(jié)的過(guò)程．運(yùn)用數(shù)學(xué)化思想進(jìn)行課堂教學(xué),是一種鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行動(dòng)手實(shí)踐、獨(dú)立探索的教學(xué)方法．

·片段2

在尋找橢圓中心的過(guò)程中(GGB操作),有學(xué)生指出,直接畫一條橫線,與橢圓交于A,B兩點(diǎn),通過(guò)細(xì)致的操作讓兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)一樣(GGB原始精度為0.1,這位學(xué)生確實(shí)做到了),再作線段AB的中垂線,與橢圓交于C,D兩點(diǎn),作線段CD的中點(diǎn)O(圖2),即為橢圓的圓心．

圖2 學(xué)生求解過(guò)程1

師:請(qǐng)問(wèn)你這樣做的依據(jù)是什么?

生:因?yàn)闄E圓是對(duì)稱的圖形,我只要作x軸的平行線,那么它與橢圓的交點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,再作AB的中垂線,它必然過(guò)橢圓的中心……

師:想法非常好,但是現(xiàn)在GGB設(shè)定的精度是0.1,如果我改成0.01,A,B的縱坐標(biāo)還一樣嗎?(實(shí)踐發(fā)現(xiàn)不一樣)如果改為0.000 1呢?還能手動(dòng)操作讓A,B的縱坐標(biāo)一樣嗎?(實(shí)踐發(fā)現(xiàn)非常困難)

數(shù)學(xué)探究的過(guò)程是不斷試錯(cuò)尋求正確結(jié)論的過(guò)程,教師應(yīng)善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維誤區(qū),適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,及時(shí)改正,在探究實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中注重?cái)?shù)學(xué)化思想．以往的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)以教師為主導(dǎo),要么教師直接向?qū)W生演示實(shí)驗(yàn)過(guò)程,要么學(xué)生按照教師的步驟來(lái)做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),學(xué)生感受不到真正的探究過(guò)程．學(xué)生的能力都是在多次嘗試中積累出來(lái)的,而不是靠教師教出來(lái)的．教師是學(xué)生的指路人,一句“改成0.01,A,B的縱坐標(biāo)還一樣嗎?”讓學(xué)生明白了自己的錯(cuò)誤在哪;一句“如果改為0.000 1呢?還能手動(dòng)操作讓A,B的縱坐標(biāo)一樣嗎?”也讓學(xué)生徹底明白了靠手動(dòng)操作使得A,B的縱坐標(biāo)相等是不可能實(shí)現(xiàn)的．

·片段3

生1:圓和橢圓差不多,我們可以利用圓的任意兩條弦的中垂線來(lái)找到圓心,那可不可以尋找橢圓中弦的中垂線來(lái)找中心?

生2:橢圓中的任意一條線段位置不固定,所以它的中垂線就不一定過(guò)中心,中點(diǎn)加上垂直的限制條件是不是太強(qiáng)了呢?

生3:如果找線段的中線行不行?

生4:可是一條線段的中線只知道過(guò)中點(diǎn),如何確定它的方向呢?

生5:一條線段不行,那兩條線段行不行呢?

生6:兩條線段中點(diǎn)連線確實(shí)把直線確定了,但是橢圓的中心在哪里呢?

學(xué)生通過(guò)相互交流不斷更正(圖3),慢慢地打開了思路,將數(shù)學(xué)問(wèn)題探究得更加充分．一位學(xué)生興奮地站起來(lái)說(shuō)他畫出了兩組平行線段的中線,發(fā)現(xiàn)這兩組平行線段的中線的交點(diǎn)就是橢圓的中心．教師隨即讓這位學(xué)生用GGB驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)果真如此．(學(xué)生鼓掌)

圖3 學(xué)生求解過(guò)程2

人本主義理論認(rèn)為“人的求知欲和學(xué)習(xí)的潛能會(huì)在合適的條件下完全釋放出來(lái)”．將探究過(guò)程還給學(xué)生,教師從實(shí)驗(yàn)的主導(dǎo)者轉(zhuǎn)為引導(dǎo)者,放手讓學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的不斷探索及對(duì)方法的不斷修正,從有爭(zhēng)議的問(wèn)題突破,提出不同的看法,發(fā)表不同的見解.在交流的過(guò)程中思維全方位打開,思維的不斷碰撞與疊加使得難以解決的問(wèn)題通過(guò)集體的智慧被創(chuàng)造性地解決了,這種成功的喜悅將會(huì)更加激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,進(jìn)而提高他們的學(xué)習(xí)動(dòng)力．

3 創(chuàng)新數(shù)學(xué)探究證明,追求“演繹化”思想

學(xué)生發(fā)現(xiàn)了用尺規(guī)作圖尋找橢圓中心的方法并不意味著這個(gè)探究實(shí)驗(yàn)的結(jié)束,精彩的部分恰恰才剛剛開始．理性精神的內(nèi)涵包含了追求真理的過(guò)程．特級(jí)教師張乃達(dá)先生強(qiáng)調(diào):“數(shù)學(xué)證明是理性探索精神的產(chǎn)物,是理性精神的啟蒙教育,是理性探索活動(dòng)中的重要環(huán)節(jié)．”[5]數(shù)學(xué)證明是演繹化思想的重要表現(xiàn)形式,創(chuàng)新數(shù)學(xué)探究證明就是要讓學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评韥?lái)論證探究實(shí)驗(yàn)過(guò)程的正確性,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理性精神的重要方面,也是設(shè)計(jì)和進(jìn)行數(shù)學(xué)證明的切入點(diǎn)．

·片段4

師:我們通過(guò)GGB驗(yàn)證了兩條平行弦的中點(diǎn)連線必定過(guò)橢圓的中心,那你能證明這個(gè)結(jié)論嗎?

圖4

證明 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)．

(1)若AB斜率不存在,則x1=x2,x3=x4,從而E(x1,0),F(x2,0),所以EF:y=0經(jīng)過(guò)橢圓的中心．

師:觀察證明過(guò)程,結(jié)合我們已有的知識(shí),你有什么新的啟示嗎?

在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)演繹化思想既要把學(xué)生的注意力吸引到邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性上去,又要激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力;不只訓(xùn)練推演的能力,也要加強(qiáng)歸納和類比的能力;不只要求發(fā)展收斂思維,也應(yīng)要求發(fā)展發(fā)散思維．在抽象、論證、演算、推廣數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),能夠把具體與抽象、特殊與一般、邏輯的嚴(yán)密性與形式的生動(dòng)性等很好地結(jié)合起來(lái)．

4 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)不僅承載著驗(yàn)證數(shù)學(xué)命題真?zhèn)蔚娜蝿?wù),更加肩負(fù)著通過(guò)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理性精神的重任．“命題真?zhèn)蔚呐袛嗯c證明”“檢驗(yàn)命題成立的條件”“將命題推廣到一般化”,這些實(shí)驗(yàn)探究的過(guò)程都將培養(yǎng)學(xué)生去思考、發(fā)現(xiàn)新的問(wèn)題,獲得新的知識(shí),從而達(dá)到弄清問(wèn)題的本質(zhì)這一最終目的,從根本上培育學(xué)生的數(shù)學(xué)理性精神．

數(shù)學(xué)教學(xué)中的形式化、數(shù)學(xué)化、演繹化思想無(wú)一不突顯出理性精神．在數(shù)學(xué)教學(xué)中這些思想不應(yīng)僅局限于對(duì)一些數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,而更應(yīng)該提倡追根溯源、弄清實(shí)質(zhì)、理清脈絡(luò),從而獲得對(duì)知識(shí)更深層次的理解．總之,培育學(xué)生的數(shù)學(xué)理性精神需要改變以往數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中單一的教師講授模式,應(yīng)創(chuàng)新數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn),在實(shí)驗(yàn)中培育學(xué)生用數(shù)學(xué)的理性思維分析、處理實(shí)際問(wèn)題的能力,從而將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)象結(jié)合起來(lái),讓學(xué)生自己去感受、探索世界萬(wàn)物中數(shù)學(xué)的本質(zhì)、原理及其內(nèi)在的聯(lián)系．