毛錫榮

(江蘇省無(wú)錫市輔仁高級(jí)中學(xué) 214123)

1 基本情況

1.1 授課對(duì)象

授課對(duì)象來(lái)自江蘇省梅村高級(jí)中學(xué)高一年級(jí)的實(shí)驗(yàn)班．該校于1960年成為江蘇省重點(diǎn)中學(xué),實(shí)驗(yàn)班學(xué)生在這個(gè)學(xué)校是第一層次學(xué)生,他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí),思維活躍,喜愛(ài)數(shù)學(xué),參與課堂活動(dòng)的積極性高,善于思考,合作精神強(qiáng),勇于發(fā)表自己的見(jiàn)解．

1.2 教材分析

所用教材為《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))》(人教版),本課教學(xué)內(nèi)容為第四章章引言和第一節(jié)“4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”．指數(shù)函數(shù)是以指數(shù)為自變量的一類(lèi)函數(shù),其定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集．為研究指數(shù)函數(shù),需要把指數(shù)冪運(yùn)算的范圍進(jìn)一步推廣．類(lèi)似于先將整數(shù)推廣到有理數(shù),再將有理數(shù)推廣到實(shí)數(shù),本節(jié)教材通過(guò)將指數(shù)冪由整數(shù)指數(shù)冪推廣到有理數(shù)指數(shù)冪,然后推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪,進(jìn)而為指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．

根據(jù)對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材內(nèi)容的分析,確立本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下:(1)了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景,認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)指數(shù)的必要性,體會(huì)數(shù)學(xué)探究的方法;(2)理解n次方根、根式以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的有關(guān)概念,掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì);(3)能正確地進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化,提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的理解與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用;教學(xué)難點(diǎn)是根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系的理解與運(yùn)用．

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 章節(jié)引領(lǐng),提出問(wèn)題

章引言:良渚遺址位于浙江省杭州市余杭區(qū)良渚和瓶窯鎮(zhèn),是一個(gè)具有宮殿區(qū)、內(nèi)城、外城和外圍水利系統(tǒng)四重結(jié)構(gòu)的龐大都邑(圖1)．

考古學(xué)家利用遺址中遺存物碳14的殘留量測(cè)定,古城存在時(shí)期為公元前3300～前2500年,距今約5 300至4 300年．

2019年7月6日,良渚古城遺址申遺成功,入選《世界遺產(chǎn)名錄》．作為世界文化遺產(chǎn),良渚古城遺址為中華5 000多年文明史提供了有力實(shí)證．

問(wèn)題1你知道考古學(xué)家在測(cè)定年代時(shí)用了什么數(shù)學(xué)知識(shí)嗎?

問(wèn)題2當(dāng)生物死亡后,它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減(稱(chēng)為衰減率),大約每經(jīng)過(guò)5 730年衰減為原來(lái)的一半,這個(gè)時(shí)間稱(chēng)為“半衰期”．

預(yù)設(shè) 設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為p,如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位．那么,死亡1年后,生物體內(nèi)碳14含量為;死亡2年后,生物體內(nèi)碳14含量為;死亡3年后,生物體內(nèi)碳14含量為;……;死亡5 370年后,生物體內(nèi)碳14含量為．

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)是什么?為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)?學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用?這些問(wèn)題大多數(shù)不能被學(xué)生真正認(rèn)識(shí)和理解．這里,以章引言為切入點(diǎn),從5 000年前良渚文化入手,設(shè)計(jì)碳14測(cè)定年代時(shí)用到什么數(shù)學(xué)知識(shí)這一問(wèn)題,使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊,它與我們的日常生活和科學(xué)技術(shù)緊密相連,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力．

問(wèn)題3(1-p)3的運(yùn)算含義是什么?

預(yù)設(shè) 首先引導(dǎo)學(xué)生回憶已學(xué)整數(shù)指數(shù)冪概念,然后展示圖2,發(fā)現(xiàn)已學(xué)整數(shù)指數(shù)冪已不能滿(mǎn)足實(shí)際問(wèn)題的解決,必須擴(kuò)展到實(shí)數(shù)指數(shù)冪．然后類(lèi)比實(shí)數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程,得到實(shí)數(shù)指數(shù)冪經(jīng)歷的擴(kuò)展過(guò)程(圖3),并引出課題“n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”．

圖2

圖3

設(shè)計(jì)意圖引領(lǐng)學(xué)生從問(wèn)題2中引出的整數(shù)指數(shù)冪出發(fā),通過(guò)觀察生物體內(nèi)碳14含量隨時(shí)間變化的連續(xù)曲線,自然而然會(huì)發(fā)現(xiàn)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)從整數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)展到實(shí)數(shù)指數(shù)冪的必要性;由類(lèi)比實(shí)數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程,猜想整數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到有理數(shù)指數(shù)冪和實(shí)數(shù)指數(shù)冪的過(guò)程,感受數(shù)學(xué)是在已有知識(shí)基礎(chǔ)上根據(jù)實(shí)際需要擴(kuò)展概念范圍,喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn),讓知識(shí)在經(jīng)驗(yàn)之根上自然生長(zhǎng),讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程．

2.2 合作交流,建構(gòu)概念

(1)n次方根的概念與根式的性質(zhì)

問(wèn)題4我們?cè)诔踔袑W(xué)過(guò)平方根、立方根,它們由什么運(yùn)算引入的?什么是平方根?什么是立方根?怎么表示?同學(xué)們能說(shuō)出這個(gè)一般性問(wèn)題嗎?

預(yù)設(shè) 引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比初中學(xué)過(guò)的平方根、立方根的概念,自主建構(gòu)n次方根的概念,探究根式的基本性質(zhì),并組織學(xué)生展開(kāi)交流活動(dòng),列舉實(shí)例進(jìn)行辨析．

(2)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化

問(wèn)題6請(qǐng)同學(xué)們觀察以下式子,有什么規(guī)律?(a>0)

問(wèn)題7你能利用問(wèn)題6中得出的規(guī)律,表示下列式子嗎?

預(yù)設(shè) 在學(xué)生嘗試、歸納、辨析的過(guò)程中,通過(guò)總結(jié)得到結(jié)論:當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí),根式可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式;當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí),根式也可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式．

問(wèn)題8你能用方根的意義解釋問(wèn)題7中的幾個(gè)式子的含義嗎?

(3)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

問(wèn)題9整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是什么?如何推廣到有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)?

預(yù)設(shè) 通過(guò)具體實(shí)例,引導(dǎo)學(xué)生將整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣到有理數(shù)指數(shù)冪,得出有理數(shù)指數(shù)冪的如下運(yùn)算性質(zhì):(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);(3)(ab)r=arbr(a>0,r,s∈Q)．

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的整數(shù)指數(shù)冪出發(fā),通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析,探索出“根式可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式”,并會(huì)用方根的意義解釋這一規(guī)律,從而得到正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,這樣再由整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),推廣到有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也就水到渠成了．在這個(gè)過(guò)程中,讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展和建構(gòu)的思維路徑,在建立起對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解的同時(shí),掌握數(shù)學(xué)探究的方法,在掌握知識(shí)的同時(shí),學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思想和方法．

2.3 知識(shí)運(yùn)用,深化理解

例1求下列各式的值:

例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(a>0):

例4計(jì)算下列各式(式中字母均是正數(shù)):

預(yù)設(shè) 學(xué)生自主完成后交流所得結(jié)果,教師點(diǎn)評(píng),總結(jié)出根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律: (1)根指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母,被開(kāi)方數(shù)(式)的指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子;(2)在具體計(jì)算時(shí),通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．

設(shè)計(jì)意圖幫助學(xué)生在應(yīng)用的過(guò)程中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)指數(shù)概念的本質(zhì),深化對(duì)指數(shù)概念的理解,使學(xué)生熟悉根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的關(guān)系,掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律,訓(xùn)練學(xué)生的理性思維,提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)．

回到開(kāi)頭的問(wèn)題:設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為p,如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位．那么,死亡5 370年后,生物體內(nèi)碳14含量為多少?

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生使用新學(xué)的知識(shí)解決引例中的數(shù)學(xué)問(wèn)題,加深對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的理解,并使得整個(gè)一節(jié)課前后呼應(yīng),形成整體．

2.4 總結(jié)反思,升華認(rèn)知

(1)為什么研究?——研究的背景;(2)研究什么?——研究的內(nèi)容;(3)怎么研究?——研究的過(guò)程、思想和方法;(4)你認(rèn)為接下來(lái)研究什么?——還需研究的問(wèn)題,將探究活動(dòng)延伸至課外．

預(yù)設(shè) 引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容、過(guò)程和方法,教師幫助完善,使學(xué)生在回顧、總結(jié)和反思的過(guò)程中建立起完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),升華認(rèn)知,深化理解．

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)“為什么研究”“研究什么”“怎么研究”三個(gè)問(wèn)題,學(xué)生不僅學(xué)習(xí)了本節(jié)課的數(shù)學(xué)知識(shí),而且掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的研究路徑．“你認(rèn)為接下來(lái)研究什么?”這一問(wèn)題,讓學(xué)生結(jié)合已學(xué)的函數(shù),更好地理解“背景概念—圖象和性質(zhì)—應(yīng)用”的函數(shù)研究套路,深度理解教材的編寫(xiě)意圖．

3 教后反思

3.1 以章引言為切入點(diǎn),自然提出問(wèn)題,發(fā)揮學(xué)科育人價(jià)值

在過(guò)去一個(gè)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期,學(xué)科教學(xué)的目標(biāo)只關(guān)注“雙基”,教學(xué)過(guò)程變成知識(shí)授受的過(guò)程,學(xué)科育人的任務(wù)被成績(jī)、分?jǐn)?shù)、升學(xué)所遮蔽、所排斥．這種狀況必須改變,教師的教學(xué)工作要從“學(xué)科教學(xué)”轉(zhuǎn)向“學(xué)科育人”．所謂學(xué)科育人,就是指學(xué)科的教學(xué)要以學(xué)科知識(shí)為載體,以育人為目標(biāo),挖掘?qū)W科的德育內(nèi)涵和人格養(yǎng)成價(jià)值,致力于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)．

本節(jié)課為了更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能,突出學(xué)科內(nèi)容的本質(zhì),體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),教學(xué)時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的背景和應(yīng)用,利用章頭圖——良渚遺址,它存在的時(shí)期為公元前3300～前2500年,是距今5 000年左右長(zhǎng)江中下游地區(qū)等級(jí)最高的城址,它對(duì)研究中華五千年文明的起源具有重要的參考價(jià)值,是弘揚(yáng)中華文化的寶貴素材．以此為背景設(shè)置問(wèn)題“考古學(xué)家在測(cè)定年代時(shí)用了什么數(shù)學(xué)知識(shí)?”和“死亡5 370年后,生物體內(nèi)碳14含量為多少?”學(xué)生一方面為擁有5 000年璀璨文明的祖國(guó)感到自豪,另一方面又了解了所要研究問(wèn)題的來(lái)龍去脈和實(shí)際價(jià)值,并于良好的研究氛圍中激起濃厚的學(xué)習(xí)興趣,生成對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài),使得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究產(chǎn)生不竭的動(dòng)力．

3.2 整體把握教材結(jié)構(gòu),立足方法引領(lǐng),構(gòu)建數(shù)學(xué)研究路徑

布魯納認(rèn)為:“掌握事物的結(jié)構(gòu),就是允許許多別的東西以與它有意義地聯(lián)系起來(lái)的方式去理解它．簡(jiǎn)單地說(shuō),學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的．”[1]一方面,結(jié)構(gòu)具有較知識(shí)點(diǎn)更強(qiáng)的遷移力,也就是學(xué)生能用基本的結(jié)構(gòu)不斷拓展和建構(gòu)知識(shí)．另一方面,如果學(xué)生把握了知識(shí)之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)方法的結(jié)構(gòu),就有可能借助結(jié)構(gòu)的支撐,解決許許多多看來(lái)似乎陌生但實(shí)際密切關(guān)聯(lián)的問(wèn)題,從而能夠從整體的高度把握知識(shí)的本質(zhì),形成對(duì)知識(shí)、思想和方法的正確認(rèn)識(shí)和深度理解,使得學(xué)習(xí)的活動(dòng)更有價(jià)值、充滿(mǎn)活力．

本節(jié)課主要研究指數(shù)冪的概念、表示方法、運(yùn)算法則及基本性質(zhì),這是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)．教學(xué)中,一方面要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)根式、有理數(shù)指數(shù)冪的概念及運(yùn)算性質(zhì)等的探究與辨析,并借助具體例題的求解,深化對(duì)根式、有理數(shù)指數(shù)冪的概念以及有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的認(rèn)識(shí),掌握根式、有理數(shù)指數(shù)冪的概念以及有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)等知識(shí)在解決具體問(wèn)題中的應(yīng)用;另一方面要啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)從整體上把握教材結(jié)構(gòu),引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程,感知探究和學(xué)習(xí)新知的一般套路,體會(huì)函數(shù)研究的一般思路,使學(xué)生不僅學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的知識(shí),更學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)的方法,從而有效地提升數(shù)學(xué)學(xué)科的素養(yǎng)．

3.3 滲透數(shù)學(xué)思想方法,揭示數(shù)學(xué)本質(zhì),提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)的基本思想是指對(duì)數(shù)學(xué)及其對(duì)象、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)以及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí),是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓.它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中,制約著學(xué)科發(fā)展主線和邏輯架構(gòu),也是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括．“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門(mén)不到兩年可能就忘了,惟有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學(xué)的精神和數(shù)學(xué)的思想、研究方法、著眼點(diǎn)等,這些隨時(shí)隨地發(fā)生作用并使學(xué)生終身受益．”[2]掌握數(shù)學(xué)的基本思想對(duì)提升學(xué)生的思維品質(zhì),對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)乃至終身發(fā)展有十分重要的意義．在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,要有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想方法,使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦,學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考,發(fā)揮出數(shù)學(xué)的真正價(jià)值．

數(shù)學(xué)思想方法存在于問(wèn)題的解決過(guò)程中,數(shù)學(xué)問(wèn)題的步步轉(zhuǎn)化無(wú)不遵循著數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)．本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程十分重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透和提煉．首先,章引言中碳14衰減問(wèn)題,是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出函數(shù)模型的過(guò)程,體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)建?！钡乃枷?其次,通過(guò)具體實(shí)例的歸納,由具體到抽象,由特殊到一般,建立了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與n次方根的關(guān)系,體現(xiàn)數(shù)學(xué)不完全歸納的思想;第三,在進(jìn)行實(shí)數(shù)指數(shù)冪推廣時(shí),類(lèi)比了實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程,在函數(shù)研究路徑的探究中,類(lèi)比了冪函數(shù)的研究過(guò)程,都運(yùn)用了類(lèi)比的思想方法．通過(guò)數(shù)學(xué)思想方法的提煉和滲透,學(xué)生在理解和掌握有理數(shù)指數(shù)冪的概念和性質(zhì)的同時(shí),內(nèi)化了“數(shù)學(xué)建?！薄疤厥獾揭话恪薄安煌耆珰w納”和“類(lèi)比”的數(shù)學(xué)思想方法,收到了很好的教學(xué)效果．