趙 翔 袁銘澤 方仕童 李映輝

* (西南石油大學(xué)土木工程與測(cè)繪學(xué)院,成都 610500)

? (深圳大學(xué)機(jī)電與控制工程學(xué)院,廣東深圳 518060)

** (西南交通大學(xué)力學(xué)與航空航天學(xué)院,成都 610031)

引言

近年來(lái),能量采集技術(shù)得到了大力發(fā)展,許多研究致力于將自然環(huán)境中容易忽視的能量如太陽(yáng)能、熱能、振蕩能等轉(zhuǎn)換為電能.在諸多能量來(lái)源中,由各種機(jī)械設(shè)備、道路、建筑等產(chǎn)生的機(jī)械振動(dòng)是主要能量來(lái)源之一,因此將機(jī)械振動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能成為實(shí)現(xiàn)能量轉(zhuǎn)化的普遍方式之一[1].其中,繞x軸旋轉(zhuǎn)的梁結(jié)構(gòu)是工程應(yīng)用中極為廣泛的一種基本機(jī)械元件[2-3],其在現(xiàn)代生產(chǎn)生活中廣泛存在,如機(jī)械中的角速度傳感器[4]、航空航天中的旋翼、鉆井中的鉆桿等,其中的諸多旋轉(zhuǎn)元件都可以用自旋梁來(lái)模擬其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及振動(dòng)特征[5-6].由于自旋梁在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)比普通梁更為強(qiáng)烈[7-10],因此有必要對(duì)自旋梁進(jìn)行振動(dòng)能量采集.

壓電振動(dòng)能量采集最早由美國(guó)Inman 等[11-12]提出,其在Euler-Bernoulli 梁假設(shè)下,研究了懸臂式壓電俘能器在基座橫向運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的橫向振動(dòng)的精確解析解.Zhao 等[13]應(yīng)用格林函數(shù)法對(duì)懸臂式Timoshenko 直梁壓電俘能器進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析,得到了強(qiáng)迫振動(dòng)的解析解,并探究了各類因素對(duì)電壓響應(yīng)的影響.在直梁的基礎(chǔ)上,何艷麗等[14]用格林函數(shù)法對(duì)Timoshenko 曲梁壓電俘能器進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析,此外,趙翔等[15]提出采用逆方法對(duì)含裂紋的曲梁壓電俘能器進(jìn)行損傷檢測(cè).Niazi 等[16]提出了一種帶動(dòng)態(tài)放大器的懸臂壓電-磁致收縮雙穩(wěn)態(tài)混合能量采集器,該系統(tǒng)包括兩個(gè)振動(dòng)自由度和兩個(gè)電自由度,其可在提高發(fā)電功率的同時(shí)獲得更寬的激勵(lì)頻帶.為了實(shí)現(xiàn)風(fēng)能驅(qū)動(dòng)壓電能量采集器振動(dòng)發(fā)電,Priore 等[17]提出了一種基于渦激振動(dòng)和馳振相互作用的氣動(dòng)彈性壓電能量采集器,其旨在優(yōu)化俘能器在低風(fēng)速范圍內(nèi)的俘能性能;Zhao 等[18]通過(guò)引入Lamb-Oseen 渦旋模型,對(duì)懸臂式壓電俘能器的渦激振動(dòng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析.

雖然對(duì)于壓電振動(dòng)能量采集研究已經(jīng)形成了較為完整的理論體系,部分理論成果也已付諸于實(shí)際工程中,但這些成果中的壓電俘能器大部分采用非旋轉(zhuǎn)梁的形式,雖有少量研究采用自旋梁形式,但其結(jié)構(gòu)均為矩形截面,且無(wú)軸向載荷以及外激勵(lì)作用的自由振動(dòng)[19-20].周蘭偉等[21]基于模擬退火算法對(duì)受軸向載荷作用的自旋梁壓電分流電路進(jìn)行優(yōu)化,但其未考慮梁上受外激勵(lì)作用;Wang 等[22]結(jié)合翹曲效應(yīng)和自旋效應(yīng)的影響,建立了具有分布式壓電傳感器的非對(duì)稱截面自旋梁的控制方程;Yang 等[23]研究了表面粘貼壓電薄膜的彈性梁自旋時(shí)的彎曲振動(dòng),得到了自旋梁在交流電壓激勵(lì)下強(qiáng)迫振動(dòng)的解析解.由此可見,隨著機(jī)械系統(tǒng)的復(fù)雜化和智能化,自旋梁俘能器的研究很有必要.

針對(duì)上述問(wèn)題,本文采用擴(kuò)展Hamilton 原理建立了軸向載荷以及梁上外激勵(lì)共同作用下自旋梁壓電俘能器強(qiáng)迫振動(dòng)的力電耦合模型,并創(chuàng)新性地采用格林函數(shù)法求解自旋梁俘能器的壓電響應(yīng).數(shù)值計(jì)算中將自旋梁俘能器與非旋轉(zhuǎn)梁俘能器的集能效率進(jìn)行對(duì)比分析,探究了自旋梁俘能器的轉(zhuǎn)速、電阻等重要物理參數(shù)對(duì)輸出電壓和諧振頻率的影響,以期為自旋梁壓電俘能器在不同諧振頻率下的能量采集以及振動(dòng)研究提供理論參考.

1 壓電俘能器模型的建立

俘能器采用受外載荷p(x,t)和軸向載荷T0的自旋直梁(外層為壓電層,內(nèi)層為結(jié)構(gòu)層)作為主體結(jié)構(gòu),p(x,t)與y方向的夾角為,其在y方向與z方向的分力分別為p1,p2,連接負(fù)載電阻Rl形成閉合回路進(jìn)行模擬,如圖1 所示.假定壓電層和結(jié)構(gòu)層緊密貼合,梁長(zhǎng)為L(zhǎng).圖2 所示為俘能器的橫截面示意圖,外直徑為D,結(jié)構(gòu)層直徑為d,壓電層厚度為hp,x-y方向和x-z方向上的彎曲剛度為EI,Euler-Bernoulli梁繞x軸以速度旋轉(zhuǎn),μ表示單位長(zhǎng)度梁的質(zhì)量.

圖1 自旋梁壓電俘能器模型Fig.1 The model of spinning piezoelectric energy harvester

圖2 自旋梁壓電俘能器橫截面示意圖Fig.2 The cross section of spinning piezoelectric energy harvester

根據(jù)Euler-Bernoulli 梁理論,梁的剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很小,在分析中忽略不計(jì).梁上任一點(diǎn)的變形可以用向量r表示為[24]

式中,v和w分別是y和z方向上的橫向位移,i和j分別是y和z方向上的單位向量,梁上任一點(diǎn)的速度可以表示為

壓電俘能器的勢(shì)能為

式中,σxx(εxx)是法向應(yīng)力(法向應(yīng)變).根據(jù)PZT-5A 的本構(gòu)關(guān)系可以得到

本文中,“s”表示結(jié)構(gòu)層參數(shù),“p”表示壓電層參數(shù);d31表示壓電常數(shù);Eh=-v(t)/hp,Eh表示厚度方向上的電場(chǎng)強(qiáng)度,v(t)表示電路中的電壓.基于Euler-Bernoulli 梁應(yīng)變與位移的幾何關(guān)系,壓電俘能器的勢(shì)能為

式中,“′”表示對(duì)空間坐標(biāo)x的導(dǎo)數(shù),Es和Ep分別是結(jié)構(gòu)層和壓電層的楊氏模量,(EI)eff表示等效彎曲剛度,Cp1,Cp2,Cp3,Cp4表示耦合系數(shù),分別表示為

非保守力p所做的虛功為

根據(jù)Hamilton 原理

式中,δ表示變分運(yùn)算,將式(3)、式(6)、式(8)帶入式(9)并化簡(jiǎn)可得壓電俘能器模型動(dòng)力學(xué)方程為

由圖1 可知,壓電俘能器模型采用簡(jiǎn)支梁形式,則邊界條件為

2 力電耦合的電路控制方程

本節(jié)基于參考文獻(xiàn)[25]中的方法建立了電路方程,電路為歐姆電路.根據(jù)參考文獻(xiàn)[26],對(duì)于自旋Euler-Bernoulli 梁壓電俘能器,考慮以下壓電本構(gòu)關(guān)系

式中,hpc表示質(zhì)量中心線到壓電層中性軸的距離.將式(14)代入式(13)得

根據(jù)參考文獻(xiàn)[25],電荷q(t)可以通過(guò)對(duì)電極區(qū)域上的電位移進(jìn)行積分來(lái)獲得

式中,D是電位移矢量,n是單位外法向矢量,由壓電俘能器產(chǎn)生的電流i(t)表示為

基于v(t)=Rli(t),電路方程可以推導(dǎo)為

3 穩(wěn)態(tài)的力電耦合壓電俘能器模型

假設(shè)梁上作用的簡(jiǎn)諧載荷p(x,t)=P(x)eiΩt,其中Ω為載荷的激勵(lì)頻率,則相應(yīng)的p在y,z方向上的分力以及位移,電壓可以分別假設(shè)為如下形式

其中,V(x),W(x)和(x)分別是穩(wěn)態(tài)的平面內(nèi)位移、平面外位移和電壓.為了簡(jiǎn)化系統(tǒng),進(jìn)行分離變量,消除時(shí)間變量t,將式(19)代入式(10),式(11)中可得分離變量后的控制方程為

簡(jiǎn)化后的壓電俘能器穩(wěn)態(tài)控制方程為

穩(wěn)態(tài)電路方程

4 壓電俘能器穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的格林函數(shù)

從式(22)和式(23)可知,壓電俘能器的穩(wěn)態(tài)位移由外部載荷P和電耦合效應(yīng)[δ(x)-δ(x-L)]2,[δ(x)-δ(x-L)]引起.根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理,穩(wěn)態(tài)位移V和W可以分為V1(W1),V2(W2)和V3(W3)三部分,即V(W)=V1(W1)+V2(W2)+V3(W3),每部分分別由P,[δ(x)-δ(x-L)]2和[δ(x)-δ(x-L)] 引起,V1(W1),V2(W2)和V3(W3)分別為Case1,Case2 和Case3 的解,每部分又需分為兩種情況進(jìn)行計(jì)算,即

4.1 Case1-1 的格林函數(shù)

根據(jù)格林函數(shù)的物理意義,Case1-1 的格林函數(shù)G11(x;x0)為式(38)和式(39)的解

式中,δ(·)是Dirac 函數(shù),x0表示單位力作用的位置,對(duì)式(38),式(39)進(jìn)行關(guān)于x的Laplace 變換

其中

參數(shù)s是復(fù)變量,W(0),W′(0),W′′(0),W′′′(0),V(0),V′(0),V′′(0)和V′′′(0)是可由梁的邊界條件確定的待定系數(shù),再將式(40)和式(41)進(jìn)行Laplace 逆變換,即可以得到Case1-1 情況下的格林函數(shù)

式中,H(x-x0)是Heaviside 函數(shù),?1和 ?10表示自旋梁系統(tǒng)的受迫振動(dòng)項(xiàng),其余的 ?i為自旋梁系統(tǒng)的自由振動(dòng)項(xiàng),即自由振動(dòng)模態(tài),它們的表達(dá)式分別為

其中,si是代數(shù)方程F(s)=0 即式(42)等于0 的根.Ai的表達(dá)式分別為

4.2 Case1-2～Case3-2 的格林函數(shù)

根據(jù)格林函數(shù)理論,Case1-2～Case3-2 的求解過(guò)程與Case1-1 的過(guò)程類似.其格林函數(shù)表示為

其中,i=2,3;j=1,2;m=17,19,21,23;n=m+1.

5 確定格林函數(shù)的待定系數(shù)

基于式(12)中的邊界條件V(0)=0,V′′(0)=0,W(0)=0,W′′(0)=0,Case1-1 和Case1-2 的格林函數(shù)可以簡(jiǎn)化為

其中,當(dāng)j=1 時(shí),m=1,n=10;j=2 時(shí),m=15,n=16.

Case2-1～Case3-2 的格林函數(shù)可以簡(jiǎn)化為

其中,i=2,3;j=1,2;m=17,19,21,23;n=m+1.常數(shù)W′(0),W′′′(0),V′(0),V′′′(0)可以由以下矩陣方程確定,該方程是從其余4 個(gè)邊界條件導(dǎo)出的

其中

當(dāng)為Case1-1 時(shí),m=1,n=10;當(dāng)為Case1-2 時(shí),m=15,n=16;當(dāng)為Case2-1～Case3-2,m=17,19,21,23,n=m+1 且T=T·.

6 力電耦合系統(tǒng)的解耦

根據(jù)第5 節(jié),基于線性系統(tǒng)的疊加原理和格林函數(shù)的可疊加性對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行解耦,梁的位移V(x)和W(x)可表示為

7 數(shù)值結(jié)果與討論

7.1 簡(jiǎn)諧激勵(lì)

將簡(jiǎn)諧激勵(lì)視為外載荷作用在自旋梁壓電俘能器上.若基礎(chǔ)位移不等于零,梁的絕對(duì)位移w(x,t)為基礎(chǔ)位移wb(x,t)與絕對(duì)位移wrel(x,t)的疊加[27],對(duì)于簡(jiǎn)諧激勵(lì)有

即穩(wěn)態(tài)的基礎(chǔ)位移Wb=A1,Vb=A2,進(jìn)一步可得基礎(chǔ)加速度Ab1=-?2A1,Ab2=-?2A2;外力p(x,t)=P(x)ei?t可以寫作

其中,A1,A2分別表示平面內(nèi)位移和平面外位移的振幅.將式(62)代入電壓表達(dá)式(60)中,可得簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)電壓為

在本節(jié)中,為了簡(jiǎn)便起見,引入無(wú)量綱化參數(shù)

7.2 解的有效性驗(yàn)證

7.2.1 數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證

本小節(jié)通過(guò)俘能器模型的退化解與已發(fā)表文獻(xiàn)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證本文解析解的有效性.通過(guò)去除壓電層,并將軸力設(shè)為0,設(shè)定與文獻(xiàn)[28]中相同的材料參數(shù)

分別計(jì)算得出了不同轉(zhuǎn)速下的前6 階固有頻率,將其與文獻(xiàn)[28]中固有頻率進(jìn)行對(duì)照,結(jié)果如圖3 所示.從圖中可以看出,去除壓電層和軸向載荷后的前六階固有頻率與文獻(xiàn)中的數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本吻合,驗(yàn)證了本文解的有效性.

圖3 前6 階固有頻率對(duì)比Fig.3 Lowest six dimensionless natural frequencies of the spinning beam

7.2.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本小節(jié)通過(guò)與文獻(xiàn)[29]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證本文解的有效性.文獻(xiàn)[29] 所采用的實(shí)驗(yàn)設(shè)備如圖4 所示,通過(guò)設(shè)定與文獻(xiàn)中相同的材料參數(shù),分別計(jì)算得出轉(zhuǎn)速為300 r/min 時(shí)前3 階固有頻率,與文獻(xiàn)中實(shí)驗(yàn)的對(duì)照結(jié)果如表1 所示.從表中可以看出,數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合,進(jìn)一步驗(yàn)證了本文解的有效性.

表1 =300 r/min 時(shí)前3 階固有頻率對(duì)比Table 1 Comparison of first three natural frequencies between the present and Ref.[29] (=300 r/min)

表1 =300 r/min 時(shí)前3 階固有頻率對(duì)比Table 1 Comparison of first three natural frequencies between the present and Ref.[29] (=300 r/min)

圖4 實(shí)驗(yàn)設(shè)備Fig.4 Experimental equipment

表2 壓電自旋梁的幾何參數(shù)、壓電參數(shù)取值Table 2 Geometrical and electromechanical parameters of the spinning beam

7.3 各物理參數(shù)對(duì)頻率-壓電響應(yīng)的影響

本部分分別探究了轉(zhuǎn)速、電阻、壓電常數(shù)和軸力對(duì)壓電響應(yīng)和諧振頻率的影響,為自旋梁壓電俘能器更好的設(shè)計(jì)應(yīng)用提供理論依據(jù).

作為自旋結(jié)構(gòu),轉(zhuǎn)速是影響自旋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)的關(guān)鍵因素之一.圖5 分別選取了=1.5,2.0,2.5,3 分析轉(zhuǎn)速對(duì)頻率-壓電響應(yīng)的影響情況.從圖5 中可以看出轉(zhuǎn)速對(duì)諧振頻率的影響較大,并且轉(zhuǎn)速越高,俘能器的基頻越高,最大輸出電壓也越高,在高頻激勵(lì)時(shí)的頻率跨度越小.從力學(xué)的角度出發(fā),自旋梁在兩個(gè)方向上的1 階頻率隨轉(zhuǎn)速的提高是由離心硬化效應(yīng)引起的,即離心力使梁的剛度提高.此外,自旋梁俘能器的工作效率遠(yuǎn)高于非旋轉(zhuǎn)梁俘能器,這主要是由于高速旋轉(zhuǎn)加劇了梁的振動(dòng).

圖5 轉(zhuǎn)速對(duì)響應(yīng)的影響Fig.5 The frequency response of voltage with different spinning speed

圖6 分析了負(fù)載電阻對(duì)頻率-壓電響應(yīng)的影響.如圖所示,壓電響應(yīng)隨著負(fù)載電阻的增大逐步增強(qiáng),電阻Rl=1.0×103Ω 和Rl=1.0×104Ω 時(shí)電壓響應(yīng)函數(shù)曲線除在低頻激勵(lì)下有少許差別外,在中高頻激勵(lì)下響應(yīng)曲線基本重疊無(wú)明顯差別,而當(dāng)負(fù)載電阻高于1.0×104Ω 即Rl=2.0×104Ω 時(shí),其產(chǎn)生的電壓響應(yīng)曲線與Rl=1.0×104Ω 時(shí)的曲線幾乎無(wú)差別,同時(shí)無(wú)論是低頻激勵(lì)還是高頻激勵(lì),產(chǎn)生壓電響應(yīng)的諧振頻率不隨負(fù)載電阻的變化而變化.因此該俘能器的最優(yōu)負(fù)載電阻為10 kΩ.

圖6 電阻對(duì)響應(yīng)的影響Fig.6 The frequency response of voltage with different resistive loads

在壓電材料制備領(lǐng)域,通過(guò)低溫?zé)Y(jié)的方法與多種化學(xué)元素混合,如錳和鉛,材料的壓電常數(shù)很容易發(fā)生改變.因此,基于壓電響應(yīng)來(lái)選取最優(yōu)壓電常數(shù).本文數(shù)值算例中所用的壓電材料為一種特殊類型的軟壓電材料: PZT-5A/5H,材料型號(hào)為3195D,這種軟壓電材料在最近的壓電俘能器研究中得到了廣泛的應(yīng)用[30].如圖7 所示,與電阻趨勢(shì)一致,壓電響應(yīng)隨著壓電常數(shù)的增大而增大,而諧振頻率不隨壓電常數(shù)發(fā)生變化.

圖7 壓電常數(shù)對(duì)響應(yīng)的影響Fig.7 The frequency response of voltage with different piezoelectric constants

圖8 選取了T0/Tcr=0.1,0.2,0.3,0.4 分別分析軸向壓縮載荷和軸向拉伸載荷對(duì)頻率-壓電響應(yīng)的影響情況.從圖中可以看出無(wú)論是軸向壓縮載荷還是軸向拉伸載荷對(duì)電壓響應(yīng)的諧振頻率都會(huì)產(chǎn)生影響,但其相對(duì)于轉(zhuǎn)速對(duì)諧振頻率的影響較小.在中低頻激勵(lì)時(shí),軸向載荷越大,壓電響應(yīng)越大,而在高頻激勵(lì)時(shí)壓電響應(yīng)隨著軸向載荷的增大而逐漸減小.兩者不同的是,中低頻激勵(lì)時(shí)諧振頻率的跨度隨著軸向壓縮載荷的增大而逐漸減小,而隨著軸向拉伸載荷的增大逐漸增大.

圖8 軸向載荷對(duì)響應(yīng)的影響Fig.8 The response of voltage with different axial load

8 結(jié)論

本文首先運(yùn)用能量法建立了受軸向載荷和梁上外激勵(lì)共同作用下的自旋梁壓電俘能器力電耦合模型,其次利用格林函數(shù)法推導(dǎo)出該模型的電壓解析解,最后在數(shù)值計(jì)算中,通過(guò)與現(xiàn)有文獻(xiàn)解以及實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了本文解的有效性,并探究了自旋梁俘能器在負(fù)載電阻,轉(zhuǎn)速等物理參數(shù)影響下電壓響應(yīng)的變化情況,以期為自旋梁俘能器在不同諧振頻率下的能量采集以及動(dòng)力學(xué)分析提供理論參考,結(jié)論如下:

(1)自旋梁俘能器的壓電響應(yīng)隨電阻阻值的增大而增大,直至阻值達(dá)到最優(yōu)負(fù)載電阻;

(2)自旋梁的轉(zhuǎn)速越高,壓電響應(yīng)越高,但基頻也越高,應(yīng)根據(jù)實(shí)際工程情況選擇合適的轉(zhuǎn)速;

(3)自旋梁俘能器的工作效率遠(yuǎn)高于非旋轉(zhuǎn)梁俘能器.