繆 睿 張永林

（江蘇科技大學(xué)自動化學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

數(shù)控加工中為避免頻繁啟停機(jī)床和速度突變帶來的過沖、振蕩導(dǎo)致的機(jī)床和刀具損傷，通常采用曲線擬合尖角輪廓，犧牲部分精度，以一段弧線近似代替尖銳拐角，這樣一來，瞬間突變的速率和方向被整條弧線分擔(dān)，有效解決了前述問題。

曲線擬合的本質(zhì)是分解為更多的離散點(diǎn)，以更密集的弦逼近計(jì)算得到近似弧線，比較流行的有等間距法和最小誤差法等。目前應(yīng)用較為廣泛的方法為B 樣條的曲線擬合，但一般的B 樣條擬合更適合全局?jǐn)M合，難以控制局部擬合精度。對此，封雨鑫等[1]提出了一種基于三次B 樣條曲線高精度擬合連續(xù)小線段的方法，通過轉(zhuǎn)角和雙邊弓高誤差分析確定型值點(diǎn)，但該方法仍然是通過多等分獲取弓高誤差，存在一定偏差。為了使參數(shù)曲線擬合保持精度，蓋榮麗等[2]提出了一種基于特征提取，最小二乘逼近法以及粒子群優(yōu)化算法求解的曲線擬合方法，建立粒子種群和衡量誤差的適應(yīng)度函數(shù)，但未對弓高誤差提出解決方法，且多次到達(dá)迭代最大次數(shù)，犧牲了更多的時間，實(shí)時性受到影響。高秋英等[3]對最小二乘法曲線擬合及優(yōu)化進(jìn)行了研究。梁小兵等[4]將誤差面上下移動，使單方向的誤差出現(xiàn)在擬合線條兩側(cè)，另一側(cè)誤差直接舍去，誤差被壓縮為原本的一半，但此行為直接犧牲了加工面的限制作用，這種加工方式隨時可能出現(xiàn)刀具超出距離的情況，不滿足單向限制。馮倩倩等[5]基于曲率連續(xù)的混合曲線進(jìn)行了插補(bǔ)相關(guān)研究，進(jìn)一步提高了加工輪廓的光順性。

為實(shí)現(xiàn)曲率連續(xù)，增加插補(bǔ)過程穩(wěn)定性，同時保持曲線計(jì)算的低復(fù)雜度，便于誤差等參數(shù)的計(jì)算，本文提出一種基于三角正弦曲線的空間光順擬合方式。首先對空間中折線降維，根據(jù)每個拐角的三個控制點(diǎn)間的信息，確定弧線的系數(shù)、周期，根據(jù)允許的最大弓高誤差，進(jìn)行二次切進(jìn)偏移，計(jì)算出弧線上的離散點(diǎn)，避免迭代的耗時，然后利用速度前瞻中的回溯法，完成空間中的軌跡規(guī)劃。

1 三角曲線擬合實(shí)現(xiàn)

1.1 拐角處理

采用局部光順擬合的方式，截取各局部拐角降維后分別處理。為避免拐角間各自處理時的相互干涉，取拐角兩邊較短者的一半作為生成三角曲線的最大過渡邊長。

三角曲線在[0,π/2]周期內(nèi)斜率從1 開始衰減至0，而直線斜率不變，所以改變后的正弦曲線仍和圓弧一樣，不會在側(cè)邊出現(xiàn)過處理從而引起誤差。

三角曲線的表達(dá)式為

式中：假設(shè)三角的高為h，底長為c，則斜率k=2h/c，頻率ω=π/c。

最大誤差E量化由計(jì)算得約為0.363h，通過k和ω確認(rèn)當(dāng)前取值最大誤差E是否符合要求，若不符，則以允許的最大誤差Er為基準(zhǔn)，縮短過渡邊長tr：

式中：Er為工藝要求允許的實(shí)際加工軌跡偏離預(yù)定軌跡的最大距離，tr為從實(shí)際軌跡開始偏離預(yù)定軌跡處到該段小線段結(jié)束的距離。

除等腰三角范圍外，軌跡保持為原來的直線段。

1.2 過渡邊長對比

如今較為廣泛使用的插補(bǔ)方式為圓弧插補(bǔ)和B樣條插補(bǔ)[6]，其中B 樣條插補(bǔ)由貝塞爾樣條一般化而來，但更復(fù)雜：定義域被節(jié)點(diǎn)細(xì)分，且基函數(shù)Ni,k(u)是一個在u上的p次多項(xiàng)式，在整個區(qū)間非負(fù)。B 樣條曲線定義公式如下：

式中：Pi為控制點(diǎn)序列，計(jì)算結(jié)果C(u)則為B 樣條上的點(diǎn)。

B 樣條可以較好地?cái)M合曲線，但更適合全局?jǐn)M合，且由于其公式復(fù)雜性，其局部偏差和弓高誤差難以計(jì)算[7]。

局部偏差可利用B 樣條曲線的強(qiáng)凸包性解決-在特殊位置選取更多的控制點(diǎn)[8]，可成功控制最大偏差，或者利用clamped B 樣條曲線的性質(zhì)之一分段畫出B 樣條[9]：選取合適的控制點(diǎn)使兩條獨(dú)曲的B 樣條曲線光滑連接，如圖1 所示。

圖1 clamped B 樣條曲線分段插補(bǔ)

即使解決了偏差的控制，依舊存在產(chǎn)生的插補(bǔ)線形狀怪異或計(jì)算復(fù)雜度過高且無法保證精確度的問題。

而對于正圓弧線，已知角度θ（拐角的一半）和最大允許偏差Er后，可以計(jì)算出該情況下插補(bǔ)圓弧的半徑r，最后算出過渡邊長trcircle：

正弦弧線的求取則依據(jù)弧線的峰值和最大允許偏差Er的關(guān)系，得出所需的拐角高度h，求出過渡邊長trsine：

最大允許誤差E和角度θ都固定后，可以畫出具體圖像，如圖2 所示。可以看到，在相同拐角下保證最大偏差相等，正弦曲線的過渡邊長L比圓弧曲線的過渡邊長L'長。

由式（4）和式（5）可得，當(dāng)過渡邊長越短時，產(chǎn)生的偏差也越小，當(dāng)過渡邊長相等時，正弦弧線會產(chǎn)生更小的偏差，而偏差相等時，若拐角邊長足夠，正弦弧線也會使刀具在運(yùn)動時獲得更長的過渡時間，減小刀具的損傷。

1.3 插補(bǔ)設(shè)計(jì)

1.3.1 插值點(diǎn)計(jì)算

插補(bǔ)本質(zhì)仍為在更短的小線段上直線行進(jìn)，插值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)一般為兩點(diǎn)間線段與弧線的弓高誤差e。

而B 樣條曲線很難通過弓高誤差來判斷獲取插補(bǔ)點(diǎn)，需通過當(dāng)前位置、速度等信息二階泰勒展開計(jì)算下一個插補(bǔ)點(diǎn)，插補(bǔ)點(diǎn)間弦長和插補(bǔ)曲線的弓高誤差也無法精準(zhǔn)算出，只能取近似值[10]。

圓弧插補(bǔ)由于弧線曲率固定，e確定時弦長也固定，都可以精確計(jì)算，單個拐角僅需計(jì)算一次即可得出所有插補(bǔ)點(diǎn)，但正弦線曲率在變化，所以需要分別計(jì)算。

對弧線內(nèi)部的插補(bǔ)點(diǎn)進(jìn)行處理：由前述可知正弦最高處為k/ω，則可求得Xn。

從其下一個點(diǎn)Xn-1開始則難以計(jì)算，若需要較高的精度，則需迭代法求出，迭代標(biāo)準(zhǔn)為弓高誤差e，假設(shè)當(dāng)前點(diǎn)為Xi迭代步驟如下：

（1）獲取當(dāng)前點(diǎn)和上一點(diǎn)間的斜率。

（2）找到弧段上斜率相同的點(diǎn)。

（3）求得該弦弓高D。

（4）若D與e誤差在允許值內(nèi)，則停止迭代，否則，取上下限的中值為新的di，若當(dāng)前D>e，將當(dāng)前di設(shè)為上限；若D

（5）直至求出X1（X1與原點(diǎn)間弦的弓高小于等于e）。

迭代計(jì)算雖然能得到較好的插補(bǔ)精度，但存在迭代次數(shù)不固定、計(jì)算耗時等問題，難以滿足實(shí)時性要求。對此，提出另一種算法。

（1）如圖3 所示，在Xi處做出其切線L1，根據(jù)已知條件可得L1的表達(dá)式：

圖3 插補(bǔ)點(diǎn)近似算法

式中：ki和Ci1為點(diǎn)Xi處切線所需的斜率及截距值。

（2）向內(nèi)切進(jìn)弓高誤差的值e，得出另一條線L'1，表達(dá)式如下：

式中：Ci2為切線切進(jìn)變化后的截距值。

（3）計(jì)算L'1與正弦曲線的交點(diǎn)X'i：

這個式子沒有符號解，無法精確求出，所以需要將三角函數(shù)部分進(jìn)行泰勒展開。同時，為盡量提高計(jì)算準(zhǔn)確度和降低計(jì)算階次，需要進(jìn)行變化。

先改用兩點(diǎn)間的差分值表示X'i，轉(zhuǎn)換后的式子變?yōu)?/p>

式中：d為兩點(diǎn)間的差分值，即X'i=Xi-d。

最后，把包含未知項(xiàng)d的部分泰勒展開，正弦展開至一階，余弦展開至二階，求得d的根di1和di2，互為相反數(shù)，取正根di1，即可求出X'i。

（4）對X'i在進(jìn)行（1）～（3）步驟的操作，再得到一個正根di3，Xi減去di1和di3后即求得前一個插補(bǔ)點(diǎn)Xi－1。

（5）重復(fù)（1）～（4）步驟，可依次求出各插補(bǔ)點(diǎn)。

（6）當(dāng)出現(xiàn)當(dāng)前插補(bǔ)點(diǎn)減去所求差分后為負(fù)數(shù)的情況，就代表計(jì)算結(jié)束，當(dāng)前點(diǎn)作為第一個插補(bǔ)點(diǎn)。

在該算法中，為了保證算出的插補(bǔ)點(diǎn)間弓高誤差的精度，引入sigmoid 函數(shù)對二次切進(jìn)初次取得的點(diǎn)位進(jìn)行修正，修正規(guī)則如下。

第二次切進(jìn)計(jì)算得到前述中的前向距離正根di3后，將算式修改至如下，算出d的后向距離正根di5：

隨后判斷修正方向，若需前向修正，則修正值redress為

式中：dis為di1和di5的差值，若dis為負(fù)，則表示取得的點(diǎn)與上一個插值點(diǎn)間弦線和擬合線的弓高誤差小于e。

此時真正的Xi－1需要在二次切進(jìn)求出的點(diǎn)的基礎(chǔ)上減去redress。

若dis為正，則代表弓高誤差超限，需后向修正，后向修正的redress的值通過式（11）中根號下算式中的di3變?yōu)?di5得到。

此時真正的Xi－1需要在二次切進(jìn)求出的點(diǎn)的基礎(chǔ)上加上redress。

流程圖如圖4 所示。

圖4 求取插值點(diǎn)的流程圖

1.3.2 正弦弧線上插補(bǔ)間速度計(jì)算

計(jì)算時，為了更快地獲得速度信息，需要進(jìn)行速度前瞻相關(guān)計(jì)算[11]，提前計(jì)算出當(dāng)前時刻后一段時間的速度，用于平滑速度曲線[12]、保護(hù)機(jī)器和零件。

首先，計(jì)算未劃入拐角的直線部分速度，采用7 段式速度規(guī)劃：由用戶設(shè)定初速度vs、最大速度vm、最大加速度accm、最大減速度decm和加加速jerk。

式中：Ti（i=1,2,···,7）值和加加速函數(shù)j(t)、加速度函數(shù)a(t)以及路程函數(shù)s(t)在石川等[13-14]的數(shù)控系統(tǒng)S 曲線加減速規(guī)劃研究中給出了具體算法。

計(jì)算時，由于對稱性，只需計(jì)算前半段：其中第一段由于長度不可控，選擇以勻速進(jìn)給，速度為第二個插補(bǔ)點(diǎn)的允許速度，最后一段情況相同。

從第二段開始，單段弦本身長度較短，不進(jìn)行七段式處理，只看作兩段處理。

計(jì)算方式：假設(shè)只有減加速和減減速兩部分，以正常速度計(jì)算該情況下會進(jìn)給的距離Sper：

如Sper大于等于弦長S，代表可用該速度在此弦長上進(jìn)給運(yùn)動，多余的弦長部分則以初速度在弦開始的部分進(jìn)給。

此時：

式中：t1、t2、t3分別為加工過程中的減加速、勻減速、減減速的時間。

如Sper小于S，表明兩個插補(bǔ)點(diǎn)間的弦長長度不足以在外部給定的加加速下完成速度變化，方法之一是通過S強(qiáng)制調(diào)整增大jerk（此時，已進(jìn)入強(qiáng)制規(guī)劃）。

以上處理方式保證了單個拐角內(nèi)速度連續(xù)，但拐角間未做處理，此時速度圖像如圖5 所示（圖中為四葉草前5 個拐角點(diǎn)間的速度，設(shè)置的參數(shù)為加速度上限為1 000 mm/s2，減速度上限為1 200 mm/s2，加加速上限50 000 mm/s3）。

圖5 弧段間速度曲線出現(xiàn)斷層

圖5 中，當(dāng)拐角間不存在緩沖段時，會直接出現(xiàn)斷層現(xiàn)象。具體表現(xiàn)為速度曲線突變，仿真軟件內(nèi)部可看到加速度的內(nèi)部存儲值為NAN，加加速內(nèi)部存儲值為-Inf。

1.3.3 解決速度斷層問題

為解決這一問題，同時保證實(shí)時性，速度前瞻時選用回溯法。

回溯法的基本思想為先取用一定數(shù)量的線段作為前瞻段，從末尾向前回溯處理，計(jì)算出各拐角的允許速度，調(diào)整每個拐角的速度，調(diào)整結(jié)束后，加入一段新線段作為新的前瞻段，重復(fù)上述步驟，直到處理完最后一段前瞻段。

加入速度前瞻回溯法解決速度連續(xù)問題后，還存在較為明顯的缺陷，即每次插補(bǔ)時的弧線曲率是突變的。而正弦弧線的曲率則是從零開始，連續(xù)變化，保證了穩(wěn)定性。

2 實(shí)驗(yàn)仿真

為評估本文提出的正弦曲線插補(bǔ)和速度規(guī)劃算法的有效性，利用Matlab 仿真軟件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

在空間中利用點(diǎn)位信息構(gòu)造一個立體的四葉草形狀，直接用折線相連的結(jié)果如圖6 所示。

圖6 四葉草折線圖

按照工程中一般的要求，插補(bǔ)最大誤差值設(shè)為0.25 mm，弦長弓高誤差為0.01 mm，其他參數(shù)設(shè)置見表1。

表1 各插補(bǔ)參數(shù)

用正弦曲線插補(bǔ)算法插補(bǔ)后結(jié)果如圖7 所示。

圖7 光順后的四葉草圖

將兩張圖疊加在一起，并進(jìn)行局部放大，結(jié)果如圖8 所示。

圖8 插補(bǔ)前后局部對比

其中各插值點(diǎn)經(jīng)過計(jì)算并修正后部分弓高誤差如圖9 所示。

圖9 修正后的弓高誤差（部分）

可知，除邊界外，拐角內(nèi)部點(diǎn)的弓高誤差精度都控制在10%以下，進(jìn)一步計(jì)算可得，誤差控制在8%以內(nèi)。

當(dāng)固定最大允許誤差E為0.25 mm 時，改變角度θ，正圓弧線和正弦弧線所需的過渡邊長如圖10 所示。隨著角度θ的增大，正弦弧線的過渡邊長始終長于圓弧線。

圖10 正弦弧線和圓弧線過渡邊長對比

將正弦弧線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)的圖疊加對比如圖11所示。

圖11 正弦和圓弧插補(bǔ)的對比

通過圖11b 可看出，當(dāng)拐角邊長同時小于圓弧插補(bǔ)和正弦弧線插補(bǔ)所需的過渡邊長，即相同拐角下兩者過渡邊長相等時，正弦弧線插補(bǔ)有著更高的精確度。

而圖11c 中的拐角邊長足夠，正弦弧線比圓弧更早進(jìn)入插補(bǔ)過程，從而獲得更長的過渡，減小對刀具的損耗。

計(jì)算拐角在[π/6,2π/3]范圍內(nèi)過渡邊長的比值，結(jié)果如圖12 所示。

圖12 過渡邊長比較結(jié)果

可以看出，同個拐角下，正弦弧線插補(bǔ)的過渡邊長可比圓弧插補(bǔ)長47.5%～118%。

計(jì)算可得，在最大偏差E同為0.25 mm 時，滿足圓弧插補(bǔ)120°角度的過渡邊長用于正弦弧線插補(bǔ)最小可滿足85°，滿足102°角度的圓弧插補(bǔ)過渡邊長即可滿足最小30°的正弦弧線插補(bǔ)過渡，即相同過渡邊長限制下，正弦弧線插補(bǔ)范圍比圓弧插補(bǔ)可擴(kuò)大29%～70%。

B 樣條曲線由于自身的特性，可通過對控制點(diǎn)的處理或分段來對最大誤差進(jìn)行修正[15]，為保證對比效果，將B 樣條擬合的偏差修改為與正弦一樣的大小，對比圖如圖13 所示。

圖13 正弦和B 樣條插補(bǔ)的對比

相比之下B 樣條插補(bǔ)對過渡邊長并無特殊要求，表現(xiàn)在代表B 樣條的大插補(bǔ)點(diǎn)完全覆蓋了過渡邊長的部分，并沒有更多的實(shí)線出現(xiàn)，靈活方面優(yōu)于圓弧和正弦插補(bǔ)[16]。

但因?yàn)橛?jì)算的復(fù)雜度和不規(guī)則性，需要更長的運(yùn)算時間，難以確定插補(bǔ)點(diǎn)產(chǎn)生的弓高誤差最大值位置，將這個方面列入考慮，誤差的精確度上是圓弧和正弦插補(bǔ)更高。

同時，添加回溯法對其各個拐角速度進(jìn)行限制處理前后，速度得以連續(xù)、加速度、加加速曲線也不再有超限問題，速度以及正弦弧線和圓弧插補(bǔ)過程中曲率變化分別如圖14 和圖15 所示。

圖14 加入回溯法前后的速度曲線

圖15 正弦弧線和圓弧插補(bǔ)過程中曲率變化圖（部分）

由于回溯法的限制，當(dāng)提高最大速度超過一定范圍后，速度曲線將保持不變，保證了加工過程的連續(xù)性和可靠性。

同時，正弦插補(bǔ)的方式也改進(jìn)了圓弧插補(bǔ)的曲率突變問題，使得插補(bǔ)過程更加穩(wěn)定。

3 結(jié)語

本文提出一種基于圓弧插補(bǔ)方式的正弦弧線插補(bǔ)方法，將圓弧插補(bǔ)中的正圓弧替換為正弦曲線，克服了正圓弧插補(bǔ)中曲率不連續(xù)的問題，同等最大偏差和過渡邊長限制下，正弦弧線插補(bǔ)的適用范圍比傳統(tǒng)圓弧插補(bǔ)多約29%～70%，更具靈活性。

由于正弦曲線的曲率處處不相等，無法快速精確地求出插補(bǔ)點(diǎn)，采用迭代計(jì)算又會有耗時、實(shí)時性降低等問題，轉(zhuǎn)而提出一種兩次切進(jìn)向前延伸尋點(diǎn)的方法，并同時加入泰勒展開和sigmoid 函數(shù)近似求出插補(bǔ)點(diǎn)并修正，保證了實(shí)時性，避免迭代的同時實(shí)際取點(diǎn)值與期望點(diǎn)值相差均值也在8%以下。

在拐角內(nèi)部，通過簡化的S 型速度算法，加入盛金公式解速度方程，保證內(nèi)部速度連續(xù)，外部則通過速度前瞻中的回溯法解決斷層問題，保證內(nèi)外速度都連續(xù)，提高穩(wěn)定性，保護(hù)刀具，延長機(jī)床壽命。