耿胡銳，許繼洋，汪自成，田夢(mèng)媛

（1.武漢工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，武漢 430205；2.武漢市光谷第六小學(xué)，武漢 430073）

離心泵是一種機(jī)械復(fù)雜度較高、噪音大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、使用壽命較長(zhǎng)，功率較大的裝置[1]，以旋轉(zhuǎn)形式產(chǎn)生壓力，被廣泛運(yùn)用于許多工業(yè)領(lǐng)域。其中，離心泵在船舶系統(tǒng)中主要運(yùn)用于船舶的諸如消防、壓載、排水等各種系統(tǒng)中[2]。在實(shí)際生產(chǎn)生活中，進(jìn)行產(chǎn)品設(shè)計(jì)前，運(yùn)用計(jì)算機(jī)仿真可極大地減少資源的消耗。利用這項(xiàng)技術(shù)，可以實(shí)現(xiàn)由計(jì)算機(jī)取代人類進(jìn)行工業(yè)制造生產(chǎn)[3]。若想利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)際系統(tǒng)的仿真工作，完成實(shí)際系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立這一步驟必不可少。

目前，國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)離心泵系統(tǒng)的研究主要采用三維建模加數(shù)值模擬或有限元分析的方式。文獻(xiàn)[4]利用Solidworks 軟件建立了泵體和葉輪的三維模型，在雷諾時(shí)均方程和RNG k-εt 湍流模型的基礎(chǔ)上，獲得了內(nèi)流場(chǎng)的靜壓和速度分布情況；文獻(xiàn)[5]通過(guò)對(duì)離心泵零件網(wǎng)格劃分的研究，得到了一種精確、高效、實(shí)用的有限元建模方法；文獻(xiàn)[6]完成了離心泵系統(tǒng)中基于內(nèi)特性和外特性的離心泵的動(dòng)態(tài)建模方法，并給出了其在水泵啟動(dòng)過(guò)渡過(guò)程中的應(yīng)用；文獻(xiàn)[7-8]完成了基于外特性的離心泵系統(tǒng)啟動(dòng)過(guò)程動(dòng)態(tài)建模的過(guò)程，并結(jié)合相似理論和泵機(jī)組動(dòng)力學(xué)特性建立了離心泵啟動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。

根據(jù)對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的理論建模的4 個(gè)步驟，在完成數(shù)學(xué)模型建立之后需對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析求解，然后進(jìn)行仿真使計(jì)算結(jié)果可視化[9]。Simulink 是美國(guó)Mathworks 公司推出的MATLAB 中的一種可視化仿真工具，用于多域仿真以及基于模型的設(shè)計(jì)。Simulink提供圖形編輯器、可自定義的模塊庫(kù)以及求解器，能夠進(jìn)行動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模和仿真，由于其模塊的豐富性，被廣泛應(yīng)用于各類工業(yè)設(shè)備和科學(xué)研究等方面[10]。

以上研究或完成了離心泵或離心泵系統(tǒng)的理論建模，或利用有限元分析軟件和三維建模軟件等工具針對(duì)離心泵進(jìn)行了流體分析等工作，未完成從實(shí)際模型到理論模型建立再到控制系統(tǒng)搭建的完整步驟。本文運(yùn)用MATLAB/Simulink 工具，完成了2種典型離心泵系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型的構(gòu)建，并針對(duì)其中一種典型系統(tǒng)完成了完整的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的工作，考慮了實(shí)際系統(tǒng)中液位變化的極端情況，添加了示警模塊，為離心泵控制系統(tǒng)的進(jìn)一步研究提供了理論支撐和研究思路。

1 離心泵抽水系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是根據(jù)物理和流體力學(xué)的基本定律，通過(guò)設(shè)備的動(dòng)態(tài)分析得到的[11]。本部分所研究的泵系統(tǒng)主要由高速直流電機(jī)、離心泵和恒定液位的水箱組成。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的確立包括離心泵數(shù)學(xué)模型的建立和水箱數(shù)學(xué)模型的建立。水箱內(nèi)不斷接收輸入流量為Qv1的液體，通過(guò)控制閥的輸出流量為Qv2。該泵系統(tǒng)的功能方案如圖1 所示。

圖1 泵系統(tǒng)功能方案Fig.1 Pump system functional plan

1.1 離心泵數(shù)學(xué)模型的建立類比牛頓第二定律：

力矩M、角速度ω、加速度a、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量l 之間的關(guān)系如下：

類比以上公式可知角加速度與軸上力矩成正比，因此，電機(jī)上力矩平衡方程可表述為[12]

式中：J 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（具體為一比例常數(shù)）；MDC為直流電機(jī)主動(dòng)轉(zhuǎn)矩；MP為泵的被動(dòng)/電阻轉(zhuǎn)矩；Mζ為粘性力矩。

設(shè)直流電機(jī)的額定（輸出）功率為P（單位：kW），額定轉(zhuǎn)速為n（單位：r/min），直流電機(jī)轉(zhuǎn)矩可表述為

泵的被動(dòng)轉(zhuǎn)矩Mp和粘性力矩Mζ可分別表述為

離心泵基本參數(shù)為泵流量Qv、揚(yáng)程H、角速度ω，泵流量可用葉輪周邊截面和子午速度分量來(lái)表示，因此流量與角速度成正比，故在泵效率系數(shù)為常數(shù)時(shí)，對(duì)于不同的操作模式有以下規(guī)律：

式（9）適用于任意兩種操作模式，將式（7）、式（8）代入式（9）中可得：

由式（10）可知離心泵的被動(dòng)轉(zhuǎn)矩與流量Qv2和角速度ω 成正比。

離心泵特性曲線包括Qv-H 曲線（流量-揚(yáng)程曲線）和Qv-η 曲線（流量-效率曲線）2 種[13]。由于離心泵動(dòng)力學(xué)的復(fù)雜性，可以假設(shè)Qv-H 曲線具有足夠的精確度來(lái)描述泵在過(guò)渡狀態(tài)的工況，即使用泵的靜態(tài)特性。離心泵的特性曲線可用以下方程描述：

式中：A、B、C 為不同型號(hào)泵的特性常數(shù)。式（11）為一參數(shù)為ω 的拋物線族，即該表達(dá)式?jīng)Q定了離心泵的靜態(tài)特性族。根據(jù)式（11），通過(guò)其標(biāo)稱值表示Qv和ω，泵揚(yáng)程為

泵入口處的壓力可由泵和吸入管道的聯(lián)合操作確定，對(duì)于已定工況的管道泵，驅(qū)動(dòng)液體流過(guò)管道所需的能量等于泵向液體施加的能量（Hpotr＝H）[14]：

由于揚(yáng)程實(shí)際等于相同直徑泵入口和出口處的壓力差，參考式（13）可得出：

式中：Qv2為通過(guò)控制閥的流量，可表示為閥中的壓降：

式中：kv為閥常數(shù)；函數(shù)A（Y）表示閥的橫截面隨主軸位置變化而變化的情況，此變化情況通常為非線性變化。

故離心泵的阻力扭矩為

將獲得的各部分扭矩代入式（5）可得：

方程（18）定義了考慮設(shè)備的離心泵的非線性數(shù)學(xué)模型。

1.2 恒定液位水箱數(shù)學(xué)模型的建立

系統(tǒng)運(yùn)行期間水箱中液位的動(dòng)態(tài)變化由質(zhì)量守恒原理決定。水箱中的質(zhì)量變化等于水箱的輸入質(zhì)量減去水箱的輸出質(zhì)量，即：

式中：Qm為質(zhì)量流率（Qm=ρQv）。

她立即瞥了兩個(gè)黑斗篷一眼，還好，不像有人注意到。她賠出籌碼，拿起茶杯來(lái)喝了一口，忽道：“該死我這記性！約了三點(diǎn)鐘談生意，會(huì)忘得干干凈凈。怎么辦，易先生先替我打兩圈，馬上回來(lái)?！?/p>

假設(shè)流體密度ρ 隨時(shí)間變化恒定（不可壓縮流體），水箱為一橫截面積為A 且橫截面面積不隨時(shí)間變化的棱柱形。以此假設(shè)情形，水箱中一定質(zhì)量的液體m（t）對(duì)應(yīng)水箱中特定流體高度hr（t）有：

式中：Qv2為經(jīng)由式（16）確定的耦合變量；流體高度hr為經(jīng)由式（20）確定的耦合變量。將此裝置作為被控對(duì)象，地形吸力高度hgv是輸出變量之一。由于hgv和hr之和為一定值h，hr的變化也能同時(shí)反應(yīng)hgv在相反方向的變化，即：

消除式（20）中的耦合變量，可得裝置內(nèi)水箱的非線性數(shù)學(xué)模型：

2 離心泵輸水系統(tǒng)的研究

MATLAB/Simulink 是機(jī)電一體化系統(tǒng)基于模型設(shè)計(jì)的領(lǐng)先的軟件工具之一，也是控制系統(tǒng)開發(fā)和仿真工作的重要輔助工具。對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的理論建?？梢酝ㄟ^(guò)以下步驟完成：首先對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化，從而得到系統(tǒng)的物理模型；再根據(jù)系統(tǒng)的物理模型編寫相關(guān)數(shù)學(xué)方程式，根據(jù)數(shù)學(xué)方程式可以形成實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型可以用計(jì)算模型進(jìn)行求解；最后通過(guò)仿真將計(jì)算結(jié)果可視化。

2.1 離心泵輸水系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

如圖2 所示，該離心泵輸水系統(tǒng)是一個(gè)帶有流出閥的液體罐。模擬系統(tǒng)將計(jì)算并實(shí)時(shí)顯示液體罐內(nèi)的液面高度h。在實(shí)際情況時(shí)，液體罐液體流出速率較慢，在模擬系統(tǒng)中會(huì)對(duì)進(jìn)程進(jìn)行加速，以使模擬時(shí)間比實(shí)時(shí)運(yùn)行得更快來(lái)避免不必要的時(shí)間浪費(fèi)。由于模擬是實(shí)時(shí)的，會(huì)給人一種真實(shí)的感覺(jué)，用戶可以通過(guò)調(diào)節(jié)泵控制信號(hào)u 來(lái)調(diào)節(jié)輸入。每個(gè)模擬系統(tǒng)都基于需要模擬的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，因此應(yīng)建立儲(chǔ)液罐的數(shù)學(xué)模型。

圖2 儲(chǔ)液罐的物理模型Fig.2 Physical model of liquid storage tank

首先對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化。通過(guò)引入相關(guān)假設(shè)，可以簡(jiǎn)化實(shí)際系統(tǒng)，然后可以藉此構(gòu)建相應(yīng)的物理模型。現(xiàn)引入以下假設(shè)（以下表達(dá)式中使用的參數(shù)如圖2 所示）：

（1）假設(shè)液體不可壓縮，即液體的密度ρ 為常數(shù)；

（2）假設(shè)儲(chǔ)液罐內(nèi)壁垂直，即橫截面積A 為常數(shù)；

（3）假設(shè)儲(chǔ)液罐中液體質(zhì)量和罐內(nèi)液體高度的關(guān)系為

（4）假設(shè)泵進(jìn)口體積流量與泵的控制信號(hào)成正比例關(guān)系，即：

（5）假設(shè)通過(guò)閥門出口的液體體積流量與閥門壓降的平方根成正比，假設(shè)該壓降等于儲(chǔ)液罐底部的靜水壓力：

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，儲(chǔ)液罐中液體的連續(xù)性方程可寫為

代入以上假設(shè)中關(guān)系式得：

基于上述方程，可以繪制出該模型的數(shù)學(xué)框圖，該框圖可以在模擬框圖中實(shí)現(xiàn)，作為繪制數(shù)學(xué)框圖的起點(diǎn)，微分方程（27）可被寫為以下形式：

以上方程（28）為儲(chǔ)水罐內(nèi)液面高度隨時(shí)間變化的微分方程，即上述儲(chǔ)水罐的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)方程（28）對(duì)相對(duì)于從0 到t 時(shí)刻進(jìn)行積分時(shí)，可通過(guò)模擬系統(tǒng)得到t 時(shí)刻儲(chǔ)水罐內(nèi)液面的高度。設(shè)儲(chǔ)水罐內(nèi)液面的初始高度為hinit，根據(jù)式（26）～（28）可得系統(tǒng)的最終框圖如圖3 所示。

圖3 儲(chǔ)液罐的數(shù)學(xué)框圖Fig.3 Mathematical block diagram of liquid storage tank

2.2 系統(tǒng)仿真

Simulink 提供了許多不同的基本運(yùn)算模塊，可以在Simulink 庫(kù)瀏覽器中找到所需要的模塊，點(diǎn)擊加入到Simulink 窗口的位置，然后通過(guò)模塊之間的接口進(jìn)行連接，通過(guò)點(diǎn)擊相應(yīng)模塊并輸入相應(yīng)的數(shù)字來(lái)對(duì)模塊進(jìn)行配置。在模擬的儲(chǔ)液罐液位時(shí)，液位的初始值為0.5 m。離心泵的控制信號(hào)u 在20 s之前輸入為0，在20 s 時(shí)電壓變化為0～0.01 V。模擬從0 s 開始到50 s 內(nèi)儲(chǔ)液罐內(nèi)液面的變化，其余各參數(shù)的數(shù)值如表1 所示。

表1 輸水系統(tǒng)參數(shù)表Tab.1 Parameter of water transmission system

根據(jù)建立的Simulink 仿真模型，輸入電機(jī)的控制信號(hào)如圖4 所示。

圖4 離心泵控制信號(hào)圖Fig.4 Control signal diagram of centrifugal pump

假設(shè)實(shí)際系統(tǒng)中存在一個(gè)液位傳感器，在儲(chǔ)水罐中液面過(guò)高或者過(guò)低時(shí)，會(huì)發(fā)出警報(bào)信號(hào)。設(shè)高點(diǎn)警報(bào)水位高度為hAH=0.9 m，低點(diǎn)警報(bào)水位高度為hAL=0.1 m，此兩條警戒水位線應(yīng)與儲(chǔ)水罐內(nèi)水位變化同時(shí)表示。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，得到Simulink 仿真結(jié)果如圖5 所示。由圖可見，儲(chǔ)水罐初始液面高度為0.5 m，在打開閥門20 s 后液面達(dá)到警戒水位以下，控制系統(tǒng)開始工作，儲(chǔ)液罐中液面開始緩慢增加。控制結(jié)果證明了本文設(shè)計(jì)的離心泵輸水系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的有效性。

圖5 儲(chǔ)液罐內(nèi)液位變化示意圖Fig.5 Schematic diagram of liquid level changes in the storage tank

3 結(jié)語(yǔ)

離心泵系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型不僅從底層反應(yīng)了實(shí)際系統(tǒng)的物理規(guī)則和運(yùn)行模式，還為進(jìn)一步研究離心泵系統(tǒng)如仿真和控制系統(tǒng)的建立提供了支撐。目前國(guó)內(nèi)對(duì)離心泵系統(tǒng)的研究大多只限于運(yùn)用有限元分析等軟件工具對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行模擬，針對(duì)底層數(shù)學(xué)原理的研究較少，本文通過(guò)對(duì)離心泵系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)建模，分析并建立了典型離心泵系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型，對(duì)后續(xù)離心泵控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化等工作具有相當(dāng)重要的意義。此外，本文所設(shè)計(jì)的離心泵控制系統(tǒng)簡(jiǎn)單可靠、可適用性強(qiáng)，可廣泛推廣于其他領(lǐng)域的運(yùn)用。