陳修龍,江守源

(山東科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院,山東 青島 266590)

0 引言

時(shí)代發(fā)展使得多連桿機(jī)構(gòu)朝著輕質(zhì)、精密和高穩(wěn)定性的方向發(fā)展,而具有柔性構(gòu)件的機(jī)械系統(tǒng)逐漸受到專(zhuān)家學(xué)者的重視。柔性構(gòu)件主要通過(guò)自身的彈性變形來(lái)傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力,其彎曲變形產(chǎn)生的振動(dòng)和碰撞,對(duì)機(jī)械系統(tǒng)的使用壽命和穩(wěn)定性有著重要的影響[1-4]。另外,機(jī)械系統(tǒng)中存在的間隙會(huì)使機(jī)構(gòu)發(fā)生碰撞,從而影響系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性[5-7]。目前工程中越來(lái)越多的機(jī)械系統(tǒng)中加入了柔性構(gòu)件,因此研究含間隙剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)具有重要的意義。

近年來(lái),越來(lái)越多的學(xué)者投入到對(duì)剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)響應(yīng)的研究中,然而這些研究往往集中于含單個(gè)間隙的簡(jiǎn)單機(jī)構(gòu),對(duì)含雙間隙剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和非線(xiàn)性特性的研究較少。SALAHSHOOR等[8]對(duì)含柔性構(gòu)件和關(guān)節(jié)間隙的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了分析;ERKAYA等[9]以含轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙曲柄連桿機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,將連桿看作柔性連桿,研究了轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙和連桿柔性對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響;王見(jiàn)等[10]研究了一種3-CPaRR并聯(lián)機(jī)構(gòu),建立了機(jī)構(gòu)的彈性動(dòng)力學(xué)模型,分析了柔性支鏈對(duì)含間隙并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性的影響;ZHENG等[11]基于有限元法和絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法(Absolute Nodal Coordinate Formulation,ANCF)對(duì)一種含間隙和柔性件的多連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行建模,研究了間隙值和軸承接觸角對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響;MARTINI等[12]基于運(yùn)動(dòng)彈性動(dòng)力學(xué)分析法(Kineto-Elastodynamic analysis,KED)研究和討論了含柔性桿件的平面四桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能;CHEN等[13]研究了一種復(fù)雜的含間隙和柔性連桿的平面二自由度機(jī)構(gòu),對(duì)其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了分析,并通過(guò)Lyapunov指數(shù)和Poincare映射圖分析了機(jī)構(gòu)的非線(xiàn)性特性;鄭恩來(lái)等[14]建立了一種適用于超精密壓力機(jī)的多連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型,該模型考慮了間隙和柔性連桿的影響,分析了間隙對(duì)機(jī)構(gòu)響應(yīng)的影響。

綜上所述,為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)含多間隙剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和非線(xiàn)性特性,本文以適用于多連桿壓力機(jī)的平面六桿機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,首先建立了轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙的數(shù)學(xué)模型;其次基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法對(duì)柔性構(gòu)件進(jìn)行建模;再次將間隙模型與柔性構(gòu)件模型嵌入機(jī)構(gòu)剛體動(dòng)力學(xué)模型,并基于拉格朗日乘子法建立含間隙剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程;最后分析間隙值和摩擦系數(shù)等參數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和非線(xiàn)性特性的影響。

1 間隙模型的建立

1.1 轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙建模

由于各種因素的影響,多體系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)副處不可避免地存在間隙,間隙對(duì)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)會(huì)產(chǎn)生很大影響,因此建立合理的間隙模型至關(guān)重要。考慮到機(jī)構(gòu)中存在的間隙,將轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸和軸承視為獨(dú)立構(gòu)件,間隙矢量模型如圖1所示。其中,OXY為系統(tǒng)的全局坐標(biāo)系,o1x1y1和o2x2y2分別為軸承和軸的局部坐標(biāo)系,o1和o2為軸承和軸的質(zhì)心,P1和P2為軸承和軸的中心。

軸承和軸中心距的偏心矢量為

(1)

軸承和軸接觸點(diǎn)的單位法向量為

(2)

軸承和軸發(fā)生碰撞時(shí)的碰撞深度為

δ=e-c。

(3)

碰撞發(fā)生時(shí),軸承和軸的碰撞點(diǎn)相對(duì)于全局坐標(biāo)的位置矢量為:

(4)

將式(4)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù),可得碰撞點(diǎn)的全局速度矢量為:

(5)

將碰撞點(diǎn)的速度矢量向碰撞面的法向和切向投影,得碰撞點(diǎn)的法向速度和切向速度為:

(6)

式中的法向矢量n逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到切向矢量t。

1.2 接觸力模型

本文采用Lankarani-Nikravesh模型建立法向接觸力模型,表達(dá)式為[15]

(7)

(8)

(9)

1.3 摩擦力模型

切向摩擦模型采用改進(jìn)的庫(kù)倫摩擦模型,表示為[16]

(10)

式中:cf為摩擦系數(shù);vt為相對(duì)滑動(dòng)速度,由式(6)得到;cd為動(dòng)態(tài)修正系數(shù),

(11)

式中:v0和v1為靜態(tài)和動(dòng)態(tài)摩擦速度的極限值。

2 梁?jiǎn)卧Ｐ偷慕?/h2>

2.1 基于A(yíng)NCF的柔性梁?jiǎn)卧Ｐ?/h3>

在機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)運(yùn)行過(guò)程中,構(gòu)件的彈性變形不可避免,彈性變形增加了系統(tǒng)振動(dòng)的頻率,降低了系統(tǒng)的可靠性和穩(wěn)定性,因此必須考慮構(gòu)件的彈性變形。本文采用絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法建立柔性梁?jiǎn)卧Ｐ?柔性梁?jiǎn)卧哪Ｐ腿鐖D2所示。

柔性梁?jiǎn)卧先我庖稽c(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的位置向量r表示為[17]

(12)

式中:x為軸線(xiàn)方向的單元局部坐標(biāo);S為全局形函數(shù);qf為柔性梁?jiǎn)卧膹V義坐標(biāo)。

2.2 梁?jiǎn)卧|(zhì)量矩陣和彈性力

(13)

式中Mf為柔性梁?jiǎn)卧某?shù)質(zhì)量矩陣,

(14)

式中:ρ為柔性梁?jiǎn)卧牧系拿芏?V為柔性梁?jiǎn)卧捏w積。

基于牛頓—?dú)W拉方程建立柔性梁?jiǎn)卧膭?dòng)力學(xué)方程

(15)

式中:F為柔性梁?jiǎn)卧膹椥粤?Qf為柔性梁?jiǎn)卧膹V義外力。

將應(yīng)變能對(duì)廣義坐標(biāo)求偏導(dǎo),得柔性梁?jiǎn)卧獜椥粤?/p>

(16)

式中:U為柔性梁?jiǎn)卧目倯?yīng)變能;Kt和Kl分別為彎曲剛度和軸向剛度。

2.3 梁?jiǎn)卧獜V義力

當(dāng)任意一個(gè)力Fb施加在單元的任意點(diǎn)上時(shí),力的虛功為

(17)

對(duì)于柔性梁?jiǎn)卧?可用單元形函數(shù)和虛功原理得到分布重力產(chǎn)生的虛功為

(18)

則柔性梁?jiǎn)卧膹V義分布重力為

(19)

式中:m為構(gòu)件的質(zhì)量;g為重力加速度。

3 含間隙多連桿機(jī)構(gòu)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模

本文以含間隙平面六桿剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,如圖3所示。本機(jī)構(gòu)由滑塊1、連桿2、三角板3、連桿4、滑塊5和機(jī)架6組成,滑塊1和滑塊5通過(guò)移動(dòng)副與機(jī)架6連接,滑塊1為驅(qū)動(dòng)構(gòu)件,通過(guò)連桿2、三角板3和連桿4將動(dòng)力傳遞至末端滑塊5。因?yàn)闃?gòu)件3為三角板結(jié)構(gòu),在機(jī)構(gòu)運(yùn)行過(guò)程中不易發(fā)生變形,所以將機(jī)構(gòu)中的連桿2和連桿4看作柔性構(gòu)件,其他構(gòu)件為剛性構(gòu)件。因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)副B和轉(zhuǎn)動(dòng)副C均為柔性連桿與剛性三角板連接的轉(zhuǎn)動(dòng)副,對(duì)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)有較大影響,所以在轉(zhuǎn)動(dòng)副B和轉(zhuǎn)動(dòng)副C處同時(shí)考慮間隙。

滑塊1、三角板3和滑塊5為剛性構(gòu)件,對(duì)剛性構(gòu)件應(yīng)用參考點(diǎn)坐標(biāo)法,其廣義坐標(biāo)表示為:

(20)

連桿2和連桿4為柔性構(gòu)件,對(duì)柔性構(gòu)件應(yīng)用絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法,其廣義坐標(biāo)表示為:

(21)

因此,系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)表示為

q=(q1q2q3q4q5)T。

(22)

每個(gè)運(yùn)動(dòng)副引入兩個(gè)約束方程,在不考慮間隙的情況下,系統(tǒng)共有7個(gè)運(yùn)動(dòng)副,可以引入14個(gè)約束方程。在轉(zhuǎn)動(dòng)副B處和轉(zhuǎn)動(dòng)副C處同時(shí)考慮間隙,轉(zhuǎn)動(dòng)副B和C處的約束失效,此時(shí)系統(tǒng)的約束方程為

(23)

對(duì)式(23)關(guān)于時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù),得到速度的約束方程為

(24)

式中:Φq為約束方程的Jacobian矩陣;Φt為約束方程對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

對(duì)式(23)關(guān)于時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù),得到加速度的約束方程為

(25)

式中:Φqt為Jacobian矩陣關(guān)于時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù);Φtt為約束方程對(duì)時(shí)間的二階偏導(dǎo)數(shù)。

基于拉格朗日乘子法的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程為

(26)

式中Q為系統(tǒng)的廣義外力。

由式(25)和式(26),并根據(jù)Baumgarte提出的違約穩(wěn)定算法,將位移約束和速度約束引入系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程,得到同時(shí)考慮間隙和柔性構(gòu)件的含間隙剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程為

(27)

4 含間隙多連桿機(jī)構(gòu)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)響應(yīng)分析

4.1 系統(tǒng)仿真參數(shù)

平面六桿剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和仿真參數(shù)如表1和表2所示。

表1 平面六桿剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 平面六桿剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)的仿真參數(shù)

平面六桿機(jī)構(gòu)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程的求解流程如圖4所示,具體步驟如下:①輸入機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù),以及仿真參數(shù)和初值;②判斷軸承和軸的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài),判斷是否發(fā)生碰撞,并計(jì)算接觸力;③建立梁?jiǎn)卧Ｐ?計(jì)算彈性力和廣義力;④求解剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程,得到廣義坐標(biāo)和廣義速度;⑤循環(huán)上述步驟,得到最終求解時(shí)間。

4.2 間隙值對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響

在平面六桿剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)中,考慮轉(zhuǎn)動(dòng)副B處和轉(zhuǎn)動(dòng)副C處兩個(gè)間隙,分析了間隙值對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。圖5～圖7所示為末端滑塊5的位移、速度和加速度曲線(xiàn),圖8所示為驅(qū)動(dòng)滑塊1的驅(qū)動(dòng)力曲線(xiàn),圖9和圖10所示分別為轉(zhuǎn)動(dòng)副B處和轉(zhuǎn)動(dòng)副C處間隙的碰撞力曲線(xiàn)。選取轉(zhuǎn)動(dòng)副B處和轉(zhuǎn)動(dòng)副C處間隙的間隙值分別為0.1 mm,0.5 mm和理想情況(即間隙值為0)時(shí)的碰撞力曲線(xiàn)進(jìn)行對(duì)比分析。參考文獻(xiàn)[18]可見(jiàn),這些間隙值能較好地反映間隙值對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。

從圖5的位移曲線(xiàn)可見(jiàn),理想情況、0.1 mm和0.5 mm間隙值的位移峰值分別為58.29 mm,57.71 mm,56.86 mm。圖6速度曲線(xiàn)表明,間隙的存在使得速度在運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)產(chǎn)生波動(dòng),而且3條曲線(xiàn)同時(shí)在0.34 s和0.66 s處出現(xiàn)速度的波峰和波谷。圖7的加速度曲線(xiàn)中,0.1 mm和0.5 mm間隙值的加速度峰值分別發(fā)生在0.000 7 s和0.105 2 s,大小為776.5 m/s2和945 m/s2;0.1 mm和0.5 mm間隙值的滑塊1的驅(qū)動(dòng)力峰值分別發(fā)生在0.006 s和0.041 4 s,大小分別為1 391 N和2 498 N。從圖9轉(zhuǎn)動(dòng)副B處的碰撞力曲線(xiàn)可見(jiàn),0.1 mm,0.5 mm,0.8 mm間隙值的峰值分別為9 284 N,18 290 N,21 010 N。從圖10轉(zhuǎn)動(dòng)副C處的碰撞力曲線(xiàn)可見(jiàn),0.1 mm,0.5 mm,0.8 mm間隙值的峰值分別為8 618 N,17 460 N,17 690 N。從上述圖中分析得出,隨著間隙值的增大,滑塊5的速度和加速度逐漸增大,滑塊1的驅(qū)動(dòng)力也隨之增大,同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)副B處和C處碰撞力的峰值增高,原因是間隙值變大,運(yùn)動(dòng)副之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)更加頻繁,從而產(chǎn)生了更高的響應(yīng)峰值。

4.3 摩擦系數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響

在平面六桿剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)中,考慮轉(zhuǎn)動(dòng)副B處和轉(zhuǎn)動(dòng)副C處兩個(gè)間隙,分析了摩擦系數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。圖11～圖13所示為末端滑塊5的位移、速度和加速度曲線(xiàn),圖14所示為驅(qū)動(dòng)滑塊1的驅(qū)動(dòng)力曲線(xiàn),圖15和圖16所示分別為轉(zhuǎn)動(dòng)副B處和轉(zhuǎn)動(dòng)副C處的碰撞力曲線(xiàn)。選取摩擦系數(shù)為0.01,0.1和理想情況進(jìn)行對(duì)比分析。參考文獻(xiàn)[19-20]發(fā)現(xiàn),這些摩擦系數(shù)能夠較好地反映其對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。

由圖11滑塊5的位移曲線(xiàn)得出摩擦系數(shù)的變化對(duì)位移的影響較小。分析圖12速度的曲線(xiàn)得,間隙的存在會(huì)使滑塊5的速度產(chǎn)生波動(dòng),摩擦系數(shù)為0.1和0.01時(shí)速度的峰值均發(fā)生在0.34 s,大小分別為0.237 m/s和0.256 m/s,發(fā)現(xiàn)摩擦系數(shù)越小速度的峰值越大。由圖13可見(jiàn),摩擦系數(shù)對(duì)加速度有較大影響,摩擦系數(shù)為0.1和0.01時(shí)滑塊5加速度的峰值發(fā)生在0.006 9 s和0.038 5 s,大小分別為788.7 m/s2和900.8 m/s2。在滑塊1驅(qū)動(dòng)力曲線(xiàn)(如圖14)中,摩擦系數(shù)為0.1和0.01時(shí)驅(qū)動(dòng)力的峰值發(fā)生在0.011 6 s和0.016 s,大小分別為1 411 N和2 360 N。由轉(zhuǎn)動(dòng)副B處的碰撞力曲線(xiàn)(如圖15)和轉(zhuǎn)動(dòng)副C處的碰撞力曲線(xiàn)(如圖16)可見(jiàn),摩擦系數(shù)越小,間隙處產(chǎn)生的碰撞力越大。由上述圖中分析可得,隨著摩擦系數(shù)的增大,圖12～圖16的響應(yīng)峰值呈減小的趨勢(shì),原因是摩擦系數(shù)越大,摩擦力越大,從而運(yùn)動(dòng)副之間的相互運(yùn)動(dòng)減少,響應(yīng)的峰值降低。

4.4 Adams虛擬仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證含間隙平面六桿機(jī)構(gòu)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型的正確性,將平面六桿機(jī)構(gòu)模型導(dǎo)入Adams軟件進(jìn)行虛擬樣機(jī)仿真,仿真界面如圖17所示,并將得到的結(jié)果與MATLAB的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。設(shè)定MATLAB和Adams的仿真參數(shù)相同,轉(zhuǎn)動(dòng)副B處和轉(zhuǎn)動(dòng)副C處的間隙值均為0.1 mm,摩擦系數(shù)為0.01。圖18和圖19所示分別為末端滑塊5的位移和速度曲線(xiàn),圖20和圖21所示分別為轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙B處和轉(zhuǎn)動(dòng)副C處的碰撞力曲線(xiàn)。

由圖18可知,Adams得到的位移曲線(xiàn)和MATLAB基本一致。由圖19可見(jiàn),運(yùn)動(dòng)初期速度曲線(xiàn)出現(xiàn)波動(dòng),MATLAB得到的速度曲線(xiàn)波動(dòng)略大,波動(dòng)過(guò)后兩條曲線(xiàn)重合。MATLAB和Adams得到的轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙B處的碰撞力曲線(xiàn)(如圖20)和轉(zhuǎn)動(dòng)副C處的碰撞力曲線(xiàn)(如圖21)在趨勢(shì)上保持一致,在曲線(xiàn)波動(dòng)和峰值上略有差異。轉(zhuǎn)動(dòng)副B處的碰撞力曲線(xiàn),MATLAB和Adams得到的碰撞力峰值分別為9284 N和8 968 N;轉(zhuǎn)動(dòng)副C處的碰撞力曲線(xiàn),MATLAB和Adams得到的碰撞力峰值分別為8 618 N和6 674 N。綜上所述,MATLAB和Adams的結(jié)果在趨勢(shì)上均保持一致,在峰值上略有差異,分析可能為二者求解方法不同和仿真不確定導(dǎo)致,通過(guò)對(duì)比分析驗(yàn)證了含間隙平面六桿機(jī)構(gòu)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型的正確性。

5 含間隙多連桿剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)的非線(xiàn)性特性分析

非線(xiàn)性現(xiàn)象反映機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的本質(zhì),而且普遍存在于非理想的機(jī)械系統(tǒng)中,因此研究非線(xiàn)性特性對(duì)于分析間隙和柔性對(duì)機(jī)構(gòu)的影響具有重要的意義。相圖可以定性地得到軌跡線(xiàn)的形態(tài)類(lèi)型及其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),從而了解動(dòng)力系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的全局圖像,而Poincare映射圖是由相空間軌跡線(xiàn)運(yùn)動(dòng)定義的一種映射,因此相圖和Poincare映射圖是分析非線(xiàn)性特性的重要途徑。間隙值和摩擦系數(shù)是影響非線(xiàn)性特性的重要因素,通過(guò)分岔圖分析兩種影響因素在某一區(qū)間的非線(xiàn)性特性,并分析穩(wěn)定性的變化規(guī)律。

5.1 間隙值對(duì)機(jī)構(gòu)非線(xiàn)性特性的影響

分析間隙值對(duì)含間隙多連桿剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)非線(xiàn)性特性的影響,同時(shí)考慮轉(zhuǎn)動(dòng)副B和轉(zhuǎn)動(dòng)副C的兩個(gè)間隙。本文選擇間隙處X方向的相對(duì)位移和相對(duì)速度,選擇間隙值為0.1 mm,0.5 mm,0.8 mm,繪制間隙處的相圖和Poincare映射圖。圖22和圖23所示為轉(zhuǎn)動(dòng)副B處和間隙C處的相圖和Poincare映射圖,圖24所示為轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙B處和轉(zhuǎn)動(dòng)副C處隨間隙值變化的分岔圖。

由圖22分析得,隨著間隙值的增加,相圖和Poincare映射圖的范圍逐漸變大,表明轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙B處的非線(xiàn)性特性隨著間隙值的增加而增強(qiáng)。由圖23分析得,當(dāng)間隙值為0.1 mm時(shí),Poincare映射圖分布相對(duì)集中,為擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài);當(dāng)間隙值為0.5 mm時(shí),Poincare映射圖呈現(xiàn)出不規(guī)則狀態(tài),為混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài);當(dāng)間隙值為0.8 mm時(shí),同樣為混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),而且隨著間隙值的增加,相圖和Poincare映射圖的分布范圍變大。綜合圖22和圖23可得,間隙值越大,間隙處的混沌現(xiàn)象越明顯,機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性越低。

分岔圖能夠較好地分析不同參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響,本文選取間隙處的X方向,研究間隙值從0.01 mm～1 mm過(guò)程中軸的相對(duì)位移的變化。分析表明,隨著間隙值的增大,間隙處的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由周期性運(yùn)動(dòng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng),而且混沌現(xiàn)象隨著間隙值的增加而增強(qiáng)。原因是隨著間隙值的增大,間隙處的碰撞力增大,增加了間隙處的混沌運(yùn)動(dòng)。

5.2 摩擦系數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)非線(xiàn)性特性的影響

分析摩擦系數(shù)對(duì)含間隙多連桿剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)非線(xiàn)性特性的影響,同時(shí)考慮轉(zhuǎn)動(dòng)副B和轉(zhuǎn)動(dòng)副C的兩個(gè)間隙。本文選擇間隙處X方向的相對(duì)位移和相對(duì)速度,選擇摩擦系數(shù)為0.01,0.1,0.2,繪制間隙處的相圖和Poincare映射圖。圖25和圖26所示為轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙B處和轉(zhuǎn)動(dòng)副C處的相圖與Poincare映射圖,圖27所示為轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙B處和轉(zhuǎn)動(dòng)副C處隨摩擦系數(shù)變化的分岔圖。

由圖25分析得,隨著摩擦系數(shù)的增加,相圖和Poincare映射圖的分布范圍逐漸變小,表明轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙B處的非線(xiàn)性特性隨著摩擦系數(shù)的增加而減弱。由圖26分析得,摩擦系數(shù)為0.01時(shí),Poincare映射圖隨機(jī)分布且不規(guī)則,表明此時(shí)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài);摩擦系數(shù)為0.1時(shí),間隙處為混沌運(yùn)動(dòng);摩擦系數(shù)為0.2時(shí),間隙處仍為混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),且隨摩擦系數(shù)的增加,相圖和Poincare映射圖的分布范圍逐漸減小,混沌現(xiàn)象減弱。由圖25和圖26得,隨著摩擦系數(shù)的增加,間隙處的混沌現(xiàn)象減弱,系統(tǒng)穩(wěn)定性提高。

圖27所示為隨摩擦系數(shù)變化的分岔圖,圖中選取間隙處的X方向,研究摩擦系數(shù)從0.01～0.3變化過(guò)程中軸的相對(duì)位移的變化趨勢(shì)。從圖中分析得,隨著摩擦系數(shù)的增大,分岔圖趨于收斂,混沌現(xiàn)象減弱。原因是隨著摩擦系數(shù)的增大,間隙處的摩擦力增加,系統(tǒng)消耗的能量增加,導(dǎo)致間隙處的碰撞力減小,系統(tǒng)的穩(wěn)定性提高。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文考慮運(yùn)動(dòng)副間隙和構(gòu)件彈性變形對(duì)多連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響,開(kāi)展了含間隙多連桿機(jī)構(gòu)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模與分析研究,首先建立了轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙模型,基于Lankarani-Nikravesh法向接觸力模型和改進(jìn)的庫(kù)倫摩擦模型建立了間隙處的碰撞力模型;然后建立了柔性梁?jiǎn)卧哪Ｐ秃秃g隙剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型;最后對(duì)含間隙平面六桿機(jī)構(gòu)的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)響應(yīng)和非線(xiàn)性特性進(jìn)行分析。本文的主要工作與結(jié)論如下:

(1)基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法建立了柔性梁?jiǎn)卧Ｐ?推導(dǎo)出柔性梁?jiǎn)卧|(zhì)量矩陣、彈性力和廣義力的計(jì)算表達(dá)式,并利用拉格朗日乘子法建立了含間隙平面六桿機(jī)構(gòu)的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型。

(2)分析了間隙值和摩擦系數(shù)等對(duì)含間隙剛?cè)狁詈掀矫媪鶙U機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響,可知間隙值越大,產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)峰值越高,對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響越大;摩擦系數(shù)越大,產(chǎn)生的摩擦力越大,系統(tǒng)消耗的能量越多,從而得到的響應(yīng)峰值越小。

(3)分析了間隙值和摩擦系數(shù)等對(duì)含間隙平面六桿剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)非線(xiàn)性特性的影響,利用相圖和Poincare映射圖分析了轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙處的混沌現(xiàn)象,繪制了隨間隙值和摩擦系數(shù)變化的分岔圖。研究表明,轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙處的混沌現(xiàn)象隨著間隙值的增大而增強(qiáng),隨著摩擦系數(shù)的增大而減弱。

下一步將開(kāi)展對(duì)運(yùn)動(dòng)副磨損間隙的平面六桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模和磨損特性的分析研究。