閔富紅 胡 飛 許彥武 陳成杰
(南京師范大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院,南京 210023)
在電網(wǎng)絡(luò)理論中,混沌常被定義為確定性系統(tǒng)中的隨機(jī)運(yùn)動(dòng),它具有內(nèi)在隨機(jī)性、初值敏感性等特性,廣泛應(yīng)用于信息安全和神經(jīng)形態(tài)電路等工程領(lǐng)域[1-4]。混沌電路是產(chǎn)生非線性振蕩信號(hào)的最直接工具,1983年蔡少棠教授在目睹了實(shí)現(xiàn)Lorenz系統(tǒng)等效電路實(shí)驗(yàn)之后,與學(xué)生一起提出了著名的混沌電路——蔡氏電路。蔡氏電路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,僅由五個(gè)電路元件構(gòu)成,包含一個(gè)電阻器和四個(gè)非線性元件,通過(guò)調(diào)節(jié)任意一個(gè)元件都可以演示周期與混沌振蕩行為,目前已成為非線性電路實(shí)驗(yàn)教學(xué)的典型范例[5-7]。但是,電路中電感元件具有體積大、成本高且不易調(diào)節(jié)等特點(diǎn),眾多學(xué)者圍繞該問(wèn)題提出了許多解決方法,文獻(xiàn)[8-9]中提出了等效無(wú)感蔡氏電路,即利用基于RC結(jié)構(gòu)的運(yùn)算放大器構(gòu)成不同通道的積分運(yùn)算電路,可以重現(xiàn)蔡氏電路的動(dòng)力學(xué)行為,但其電路至少需要六個(gè)運(yùn)算放大器,電路結(jié)構(gòu)復(fù)雜。此外,一些學(xué)者對(duì)蔡氏電路電感模塊進(jìn)行了改進(jìn),即利用模擬電感電路替換蔡氏電路中的電感元件,構(gòu)建基于模擬電感的蔡氏電路并開展相關(guān)實(shí)驗(yàn),但針對(duì)電路設(shè)計(jì)與硬件實(shí)驗(yàn)的描述較少,且改進(jìn)后的電路無(wú)法驗(yàn)證原始蔡氏電路的豐富運(yùn)動(dòng)行為和復(fù)雜動(dòng)力學(xué)演化[10]。
本文對(duì)含里奧登電感的改進(jìn)型蔡氏電路,基于Altium Designer軟件繪制原理圖,開展了電路設(shè)計(jì)以及硬件實(shí)驗(yàn)。重點(diǎn)研究了實(shí)際硬件設(shè)計(jì)制作以及調(diào)試過(guò)程,通過(guò)簡(jiǎn)易調(diào)節(jié)里奧登模擬電感電路的可變電阻器實(shí)現(xiàn)對(duì)電感值的等效調(diào)節(jié),觀察不同周期運(yùn)動(dòng)和單、雙渦卷混沌吸引子等有趣的物理現(xiàn)象,證明了實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的可行性與有效性。這有助于激發(fā)學(xué)生對(duì)非線性電路的興趣和自主思考思維,引導(dǎo)他們樹立正確的實(shí)踐觀和價(jià)值觀。這種教學(xué)方法,有利于開拓學(xué)生視野,符合實(shí)驗(yàn)課程“兩性一度”建設(shè)與改革需求。
蔡氏電路是混沌電路的典型示例,可以被看作為一個(gè)混沌信號(hào)發(fā)生器,通過(guò)調(diào)節(jié)某個(gè)電路元件產(chǎn)生不可預(yù)測(cè)的單、雙渦卷混沌振蕩信號(hào)。蔡氏電路包含五個(gè)電路元件,其原理圖如圖1(a)所示。其中,電感L和電容C2構(gòu)成LC振蕩電路,非線性電阻RN和電容C1構(gòu)成有源RC濾波電路,這兩組電路再通過(guò)電阻R進(jìn)行線性耦合。非線性電阻RN也稱作蔡氏二極管,是蔡氏電路產(chǎn)生渦卷吸引子的必要元件,其實(shí)現(xiàn)電路如圖1(b)所示。
(a)蔡氏電路
由于傳統(tǒng)的電感元件性能不佳、體積過(guò)大、難以集成,因此無(wú)法開展蔡氏電路大規(guī)模實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。電感的等效電路有多種形式,包括里奧登電感等效電路、新型無(wú)損電感、通用阻抗變換器等。該文采用常用的里奧登電感等效電路,將其代替?zhèn)鹘y(tǒng)的電感元件,構(gòu)建了基于模擬電感的蔡氏電路。通過(guò)改變模擬電路的電阻值可以實(shí)現(xiàn)電感值的等效變化,用里奧登模擬電感電路替換蔡氏電路中的電感元件后,電路如圖2所示,其中RL部分為里奧登模擬電感電路。
圖2 含模擬電感的蔡氏電路
根據(jù)圖2所示里奧登模擬電感RL的電路結(jié)構(gòu),通過(guò)基爾霍夫定律、網(wǎng)孔分析法以及節(jié)點(diǎn)分析法,可以推導(dǎo)出下述方程:
(1)
(2)
(3)
將式(3)代入式(1),得:
(4)
則電路輸入阻抗為:
(5)
因此,該電路的模擬電感值與電路中各元件的數(shù)學(xué)關(guān)系為:
(6)
取R7=R8=R9=1 kΩ,C3=10 nF,則有:
L=10R10(μH)
(7)
根據(jù)圖2搭建Multisim模擬仿真電路,其電路參數(shù)見表1。
表1 基于模擬電感的蔡氏電路的電路參數(shù)
據(jù)此,通過(guò)調(diào)節(jié)電阻R或者模擬電感電路的電阻R10,即可在示波器上觀測(cè)到電路的各種動(dòng)力學(xué)行為及其演化過(guò)程。
(1)當(dāng)固定電阻R10=1500 Ω,即相當(dāng)于等效電感L=15 mH時(shí),調(diào)節(jié)電阻R,當(dāng)電阻R=1890 Ω時(shí),系統(tǒng)處于單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖3(a)所示。當(dāng)電阻R=1790 Ω時(shí),此時(shí)系統(tǒng)處于雙周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖3(b)所示;當(dāng)電阻R=1750 Ω時(shí),系統(tǒng)處于單渦卷運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖3(c)所示。當(dāng)電阻R=1670 Ω時(shí),系統(tǒng)處于雙渦卷運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖3(d)所示。
(a)R=1890 Ω
(2)當(dāng)固定電阻R=1700 Ω時(shí),調(diào)節(jié)電阻R10,當(dāng)電阻R10=1200 Ω時(shí),系統(tǒng)處于單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖3(e)所示。當(dāng)電阻R10=1350 Ω時(shí),此時(shí)系統(tǒng)處于雙周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖3(f)所示。當(dāng)電阻R10=1450 Ω時(shí),此時(shí)系統(tǒng)處于單渦卷運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖3(g)所示。當(dāng)電阻R10=1550 Ω時(shí),此時(shí)系統(tǒng)處于雙渦卷運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖3(h)所示。
以Multisim軟件的模擬電路仿真為基礎(chǔ),利用Altium Designer軟件對(duì)電路的原理圖以及印刷電路板(PCB板)進(jìn)行設(shè)計(jì)和繪制,最后再利用實(shí)際器件進(jìn)行硬件實(shí)驗(yàn)并完成調(diào)試。
Altium Designer軟件通過(guò)結(jié)合原理圖設(shè)計(jì)、PCB板設(shè)計(jì)與繪制,將電路設(shè)計(jì)知識(shí)以及技術(shù)手段聯(lián)系在一起,為設(shè)計(jì)制作印刷電路板提供了很大的便利。與傳統(tǒng)的面包板相比,PCB板具有更高的可靠性和美觀性,且可批量進(jìn)行生產(chǎn)。
首先,利用Altium Designer軟件對(duì)含模擬電感的蔡氏電路進(jìn)行原理圖的繪制,如圖4所示??梢钥闯?從左到右,從上到下依次是等效電感模塊、電容2模塊、電阻模塊、信號(hào)輸出模塊、電容1模塊、負(fù)阻模塊、電源模塊。值得注意的是,原理圖中設(shè)計(jì)的待連接點(diǎn)并非系統(tǒng)自帶的排插器件預(yù)留孔,而是采用自主尋找的可迭插頭線所配套的插孔器件,其經(jīng)過(guò)測(cè)量以及實(shí)際的檢驗(yàn),最后采用內(nèi)徑為3.85 mm,外徑為6.07 mm的孔位,進(jìn)行PCB板的繪制。另外,關(guān)于信號(hào)輸出模塊的設(shè)計(jì),采用實(shí)際器件型號(hào)為BNC-KY的器件,和上述的迭插頭線預(yù)留空位的設(shè)計(jì)方法一致,采用內(nèi)徑為9.38 mm,外徑為12.49 mm的孔位。
圖4 基于模擬電感的蔡氏電路原理圖
對(duì)PCB板設(shè)計(jì)與繪制。如圖5所示為基于模擬電感的蔡氏電路PCB板設(shè)計(jì)圖與實(shí)物接線圖。在設(shè)計(jì)過(guò)程中,首先遵循原理圖設(shè)計(jì)的原則,將各個(gè)模塊進(jìn)行區(qū)域的劃分,并將對(duì)應(yīng)的器件置于該區(qū)域內(nèi),對(duì)其進(jìn)行標(biāo)注。一般而言,器件的擺放可采取與原理圖擺放位置對(duì)應(yīng)的相同擺放位置的方式或者是采取同類器件有序整合排列的方式。這里采取第二種方式,這是由于等效電感模塊以及負(fù)阻模塊中,均含有兩個(gè)運(yùn)算放大器,在之前的仿真以及實(shí)際實(shí)驗(yàn)中所采用的是內(nèi)置兩個(gè)運(yùn)算放大器的TL082芯片,而非只具有一個(gè)運(yùn)算放大器的AD711芯片,從而減少芯片的使用數(shù)量以及電路整體的功耗。這也導(dǎo)致器件擺放再根據(jù)原理圖的形式去擺放,并不具備明顯的特征,因此采用同類器件有序擺放的方式會(huì)更加美觀。另外,關(guān)于信號(hào)輸出模塊的連接,在設(shè)計(jì)過(guò)程中,需連接地線以及對(duì)應(yīng)的信號(hào)至其預(yù)留孔位的附近,并預(yù)留焊盤,方便后續(xù)焊接過(guò)程中,信號(hào)的有效輸出。
(a)PCB設(shè)計(jì)圖
開展基于模擬電感的蔡氏電路實(shí)驗(yàn),根據(jù)圖2所示原理圖,電容器選取性能較好、精度較高的陶瓷電容,其值分別為C1=10 nF,C2=100 nF,C3=10 nF。選取誤差范圍為±1%的精密電阻元件,其值分別為R1=R2=22 kΩ,R3=3.3 kΩ,R4=R5=220 Ω,R6=2.2 kΩ,R7=R8=R9=1 kΩ。選取型號(hào)為3296W的5 kΩ精密可調(diào)電位器,UTP3702S的直流電源為運(yùn)算放大器TL082CP芯片提供電源。電路中的耦合電阻R以及里奧登電感電路的電阻R10均作為可調(diào)參數(shù)并由電位器調(diào)節(jié),通過(guò)改變電位器R以及R10的阻值,可以在MSO-X 3104T數(shù)字示波器上觀測(cè)到蔡氏電路的豐富動(dòng)力學(xué)行為及復(fù)雜演化過(guò)程。蔡氏電路的實(shí)物如圖5(b)所示,為方便器件更換與測(cè)量,實(shí)驗(yàn)PCB板上的元件位置均放置排母,通過(guò)將元件插入排母中進(jìn)而有效接入電路。
里奧登電感模擬電路中電位器固定為R10=1500 Ω,即相當(dāng)于設(shè)置電感值L=15 mH,調(diào)節(jié)電位器R并觀測(cè)示波器的相圖。當(dāng)耦合電阻R=1890 Ω時(shí),電路表現(xiàn)為單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖6(a)所示。當(dāng)耦合電阻R=1790 Ω時(shí),電路表現(xiàn)為雙周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖6(b)所示。當(dāng)耦合電阻R=1750 Ω時(shí),電路表現(xiàn)為單渦卷混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖6(c)所示。當(dāng)耦合電阻R=1670 Ω時(shí),電路表現(xiàn)為雙渦卷混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖6(d)所示。
(a)R=1890 Ω
值得注意的是,示波器捕捉到的運(yùn)動(dòng)軌跡隨機(jī)地出現(xiàn)在原點(diǎn)兩側(cè),即左側(cè)吸引子和右側(cè)吸引子,這是由電路初始觸發(fā)狀態(tài)決定的,相同參數(shù)值時(shí)觀測(cè)到的左側(cè)和右側(cè)吸引子為共存吸引子。
由于電路的電感值可通過(guò)電阻R10調(diào)節(jié),因此在實(shí)驗(yàn)中討論電阻R10對(duì)電路的影響。固定耦合電阻R=1700 Ω,調(diào)節(jié)里奧登電感模擬電路中的電位器R10,則當(dāng)R10=1200 Ω時(shí),即相當(dāng)于設(shè)置電感值L=12 mH,電路表現(xiàn)為單周期運(yùn)動(dòng),如圖7(a)所示。當(dāng)R10=1350 Ω時(shí),即相當(dāng)于設(shè)置電感值L=13.5 mH,電路表現(xiàn)為雙周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖7(b)所示。當(dāng)阻值R10=1450 Ω時(shí),即相當(dāng)于設(shè)置電感值L=14.5 mH,電路表現(xiàn)為單渦卷運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖7(c)所示。當(dāng)阻值R10=1550 Ω時(shí),即相當(dāng)于設(shè)置電感值L=15.5 mH,電路表現(xiàn)為雙渦卷運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖7(d)所示。
(a)R10=1200 Ω
由圖7可以看出,當(dāng)電阻R10逐漸增加時(shí),即電路的電感值逐漸增加,基于模擬電感的蔡氏電路同樣出現(xiàn)由周期一至雙渦卷混沌吸引子的演變,證明了基于模擬電感蔡氏電路的可行性。
綜上所述,基于模擬電感的蔡氏電路可以重塑經(jīng)典蔡氏電路的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和動(dòng)力學(xué)演化,并通過(guò)PCB硬件電路驗(yàn)證,相較于經(jīng)典蔡氏電路,電感值更易于調(diào)節(jié),更有利于觀測(cè)電路呈現(xiàn)的李莎育圖形。
蔡氏電路是非線性電路的典型范例,結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,電路方程易推導(dǎo),但是在電路的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中電感元件的制作較為困難。里奧登模擬電感電路僅通過(guò)改變單一的電阻即可實(shí)現(xiàn)對(duì)整體電感值的等效調(diào)節(jié)。因此,利用里奧登模擬電感電路替換蔡氏電路的電感元件,構(gòu)建了基于模擬電感的蔡氏電路,給出了較為詳細(xì)的硬件電路實(shí)驗(yàn)過(guò)程,這有助于實(shí)驗(yàn)教學(xué)課程的開展。一方面,通過(guò)硬件電路的綜合設(shè)計(jì),可以加深學(xué)生對(duì)蔡氏電路的理解以及掌握對(duì)應(yīng)的實(shí)際技能,激發(fā)學(xué)生的探究學(xué)習(xí)熱情,提高學(xué)生的工程實(shí)踐能力;另一方面,開展基于模擬電感的蔡氏電路的硬件電路實(shí)驗(yàn),方便學(xué)生形象化地理解非線性電路現(xiàn)象,拓寬學(xué)生對(duì)傳統(tǒng)非線性電路的認(rèn)識(shí),同時(shí),培養(yǎng)學(xué)生的開拓思維和創(chuàng)新能力。