貢保甲，劉世忠，毛亞娜，秦翱翱，蔡明昊

（蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，蘭州 730070）

鋼底板-波形鋼腹板-混凝土頂板箱梁是在波形鋼腹板箱梁的基礎(chǔ)上改進(jìn)后得到的，采用U 型鋼箱-混凝土翼板的組合截面形式，屬薄壁結(jié)構(gòu)類型。在國內(nèi)公路橋梁建設(shè)中已開始推廣應(yīng)用。

波形鋼腹板箱梁作為一類特殊的鋼-混凝土組合截面梁，相較于傳統(tǒng)混凝土箱梁而言，在材料模量和截面剛度特性等方面均存在較大差異。目前對(duì)組合截面的縱向位移解析方法主要包括：解析理論分析法［1-8］、有限元分析法［9-10］和模型試驗(yàn)［11-13］。其中，李宏江等［3］分析了波形鋼腹板的剪切變形對(duì)波形鋼腹板混凝土簡(jiǎn)支箱梁橋撓度的影響程度；冀偉等［5］針對(duì)混凝土底板-波形鋼腹板組合箱梁剪力滯效應(yīng)進(jìn)行分析，運(yùn)用能量變分原理推導(dǎo)了波形鋼腹板箱梁在集中荷載作用下翼板的正應(yīng)力和剪力滯系數(shù)計(jì)算公式；張?jiān)５龋?］應(yīng)用能量變分法建立關(guān)于附加撓度的控制微分方程和邊界條件，從分析翼緣板的面內(nèi)剪切變形入手，推導(dǎo)出剪力滯翹曲位移函數(shù)的合理模式，并提出一個(gè)8自由度的梁段單元，計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果吻合良好。李麗園［11］通過制作波形鋼腹板組合箱梁模型，對(duì)比試驗(yàn)及理論分析結(jié)果，驗(yàn)證了基于剪切附加撓度來計(jì)算波形鋼腹板組合箱梁撓度的有效性。相關(guān)文獻(xiàn)中，傳統(tǒng)的解析方法包含三個(gè)特征：1）利用一次、二次或高次的拋物線函數(shù)假設(shè)剪滯翹曲位移的分布函數(shù)進(jìn)行解析，具有一定的局限性；2）僅考慮兩個(gè)獨(dú)立廣義位移ω（x）和U（x）的因素，對(duì)于組合截面而言，剪滯及剪切變形效應(yīng)分析不夠精確；3）對(duì)鋼-混組合截面（如箱形、工字形、T 形梁等）梁的研究中，采用剛度等效原理換算截面后，全截面取統(tǒng)一的模量值（E，G）進(jìn)行計(jì)算，導(dǎo)致等效后的截面與實(shí)際截面在幾何和材料方面仍存在偏差。

通過考察余弦函數(shù)的Maclaurin展開式，可知其中包含了一次、二次及高次的拋物線函數(shù)，故本文采用余弦表達(dá)式的翹曲分布函數(shù)。將剪滯廣義位移細(xì)化為頂板Uc1（x），翼緣Uc2（x）和底板Us（x），考慮了剪滯效應(yīng)和剪切變形對(duì)截面附加翹曲位移的雙重影響，以及箱梁橫截面上翹曲應(yīng)力自相平衡的條件，并引入兩種模量參數(shù)（E砼，G砼，E鋼，G鋼），對(duì)組合截面縱向位移表達(dá)式進(jìn)行修正，以精確模擬主梁撓曲變形的特征。

1 以余弦函數(shù)求剪滯控制微分方程組

1.1 修正的余弦函數(shù)法建立剪滯微分方程組

假設(shè)梁為理想彈性體，波紋鋼腹板的變形完全符合初等梁理論。未考慮橫隔板和加勁肋對(duì)箱梁波形鋼腹板截面剛度和變形特性的影響。箱梁截面形心取OXYZ為整體坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1 整體坐標(biāo)系OXYZ及軸向任意荷載示意圖Fig.1 Schematic diagram of overall coordinate system OXYZ and axial arbitrary load

梁上作用任意豎向荷載，選取最大剪切轉(zhuǎn)角差作為剪力滯廣義位移，則箱梁任意截面處的縱向位移一般表達(dá)式如下：

式中：c1為混凝土頂板，c2為混凝土翼緣，s為鋼底板，w為鋼腹板，ω′（x）為梁截面繞Y軸撓曲時(shí)的豎向轉(zhuǎn)角，gi（y）為翹曲位移的橫向分布函數(shù)，Ui（x）為廣義位移。依據(jù)箱梁橫截面上翹曲應(yīng)力自相平衡的條件，為了滿足軸力自平衡條件∫f（y，z）d A＝0，沿著梁軸向附加一全截面（等截面）均勻位移常數(shù)d：

式中：A 為箱梁總的橫截面積，A＝Ac1＋Ac2＋As＋Aw，hi為頂板和底板到箱梁截面中性層的垂直距離，bi為各構(gòu)件的橫向尺寸，ti為每個(gè)組件的厚度。截面參數(shù)如圖2所示。

圖2 改進(jìn)型箱梁組合截面幾何參數(shù)示意圖Fig.2 Schematic diagram of geometric parameters of improved box girder composite section

考慮剪滯與剪切變形的雙重影響［13］，設(shè)φ（x）＝為截面的豎向剪切角，α＝A／Aw。引入鋼和砼兩種材料模量，取外力功ω（x）dx，將上、下翼板和波形鋼腹板的應(yīng)變能表達(dá)式分別代入Π，就得到總勢(shì)能表達(dá)式如下：

式中：K為常量，K1＝（2／π＋d），K2＝（1／4＋2d／π＋d2／2），I為慣性矩為構(gòu)件與截面的慣距之比，ai＝Ii／I，I＝∑Ii，E 為彈性模量，G 為剪切模量，E′為考慮波形鋼腹板褶皺效應(yīng)的縱向表觀彈性模量，偏安全考慮取E′＝E。

國外學(xué)者通過室內(nèi)試驗(yàn)及有限元分析得出結(jié)論，給出了波形鋼腹板的修正剪切模量表達(dá)式［14］，Ge＝（b＋d）（b＋dsecθ），波形尺寸參數(shù)示意如圖3所示。

圖3 波形鋼腹板波形尺寸參數(shù)示意圖Fig.3 Schematic diagram of waveform size parameters of corrugated steel web

令δΠ＝0，即由總勢(shì)能的一階變分為零，可得：

整理后，得到剪滯控制微分方程組：

式中：?j為方程組的特征值，vij為與?j對(duì)應(yīng)的方程組的特征向量，（Λj＋Λj＋1）j＝1，3，5為常系數(shù)項(xiàng)矩陣中的元素。將式（5）降階化成一階線性微分方程組［15］后求通解就得到式（6）。

1.2 未修正余弦函數(shù)法建立剪滯微分方程組

作為對(duì)比，對(duì)組合截面取等效模量Eeq＝E（E為混凝土彈性模量），則縱向翹曲位移函數(shù)如下：

未考慮剪滯效應(yīng)和剪切變形對(duì)上、下翼板附加翹曲位移的影響，以及箱梁橫截面上翹曲應(yīng)力自相平衡的條件。由θ（x）＝ω′（x），根據(jù)OXYZ坐標(biāo)系，可得總勢(shì)能表達(dá)式為：

同理，根據(jù)變分原理可得組合截面控制微分方程組，則微分方程組的通解表達(dá)式如下：

式中：ξj為方程組的特征值向量，Ψij為與ξj對(duì)應(yīng)的方程組的特征向量為常系數(shù)項(xiàng)矩陣中的元素。綜上，參數(shù)γ并未參與到附加位移的表達(dá)式中，可知箱梁組合截面上附加翹曲位移不受到鐵摩辛柯剪切變形效應(yīng)的影響。

1.3 求廣義撓度解

為了驗(yàn)證本文理論，分別計(jì)算在簡(jiǎn)支狀態(tài)下主梁承受集中和均布兩種荷載工況時(shí)的撓曲程度。主梁軸向布載方式如圖4所示。

圖4 簡(jiǎn)支梁荷載分布方式示意圖Fig.4 Schematic diagram of load distribution of simply supported beam

修正后：

未修正：

1）集中荷載作用下：

2）均布荷載作用下：

1.3.1 受集中力時(shí)廣義撓度解

根據(jù)圖4（a），求廣義撓度的函數(shù)表達(dá)式如下：

修正后：

未修正：

式中：ω＋（x）為正剪力區(qū)段上的撓曲分布函數(shù)，ω－（x）為負(fù)剪力區(qū)段上的撓曲分布函數(shù)，Q 為截面上剪力值，Q＋＝bP／1，Q－＝－aP／1。

由邊界條件ω|x＝0，1＝0，連續(xù)條件ω′|x＝1／2＝0，可推得Λ7～Λ10（或）的值。根據(jù)文獻(xiàn)［14］中對(duì)腹板的有限元分析和試驗(yàn)研究結(jié)論，可假設(shè)組合截面上抗剪強(qiáng)度主要由波形鋼腹板承擔(dān)，故偏安全計(jì)算，取GeAw計(jì)算截面剪切轉(zhuǎn)角。

1.3.2 受滿跨均布力時(shí)廣義撓度解

根據(jù)圖4（b），求廣義撓度的函數(shù)表達(dá)式。

修正后：

未修正：

式中：Λ 為常系數(shù)，Λ7～Λ8（或）可以由邊界條件ω|x＝0，1＝0，以及連續(xù)條件ω′|x＝1／2＝0 求出。由撓度解推導(dǎo)過程中包含參數(shù)γ項(xiàng)，可知剪切效應(yīng)與組合截面的豎向撓曲存在相關(guān)性。

2 算例分析

2.1 試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭谱骷敖?shù)

如圖5所示，本文參考某機(jī)場(chǎng)高速跨線橋設(shè)計(jì)資料，參考文獻(xiàn)［11-13］及規(guī)范［16］，設(shè)計(jì)制作一縮尺比例試驗(yàn)梁。簡(jiǎn)支梁計(jì)算跨徑為L＝6 m，采用鋼底板-波形鋼腹板單箱雙室組合截面，底板厚為6 mm，鋼腹板厚為3 mm；設(shè)置了5道主梁橫隔板，4道底板縱向加勁肋；波形鋼腹板通過鋼翼緣上栓釘與頂板鋼筋網(wǎng)架嵌套后澆筑連接，與鋼底板為連續(xù)施焊；波型參考BCSW1200 型（beam with corrugated steel web，BCSW）。

圖5 組合截面設(shè)計(jì)參數(shù)（單位：mm）Fig.5 Design parameters of composite section（unit：mm）

模型梁加載試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)，如圖6所示。

圖6 試驗(yàn)梁撓度測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)Fig.6 Test beam deflection measurement on-site

如圖7所示，利用ANSYS 17.0進(jìn)行建模分析。材料參數(shù)［17］：C50混凝土（Ec＝3.45×104MPa，Gc＝0.425Ec），泊松比為0.167，Q345 鋼（Es＝2.06×105MPa，Gs＝7.94×104MPa），泊松比為0.3。單元類型：采用solid45 單元模擬混凝土頂板，采用shell63單元模擬波紋鋼腹板、縱肋和橫隔板。

圖7 ANSYS模型豎向撓度云圖Fig.7 Vertical deflection nephogram of ANSYS model

2.2 數(shù)據(jù)分析對(duì)比

在兩種基本荷載工況下對(duì)試驗(yàn)梁逐級(jí)加載，并測(cè)量撓度值。通過對(duì)比未修正解、有限元解、試驗(yàn)值以及初等梁理論值，驗(yàn)證本文理論的可靠性。試驗(yàn)梁支撐條件及荷載布置如表1所列。

表1 縱向荷載工況及橫向加載模式Tab.1 Longitudinal load condition and transverse load mode

撓度及偏差率計(jì)算結(jié)果如表2～3所列：

表2 跨中集中荷載-跨中撓度及偏差率Tab.2 Concentrated load in midspan-deflection in midspanand deviation rate

表3 滿跨均布荷載-跨中撓度及偏差率Tab.3 Full-span uniformly distributed load-deflection in midspanand deviation rate

兩種荷載工況下，撓度計(jì)算結(jié)果沿梁軸向的分布情況如圖8所示。

圖8 撓度計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of deflection calculation results

由以上圖表分析可知：修正解≥有限元解≥試驗(yàn)值≥未修正解≥初等梁理論解。分步加載過程中，跨中截面撓度值變化在主梁線彈性范圍內(nèi)。對(duì)比計(jì)算結(jié)果可知，有限元解與試驗(yàn)值接近，保證了ANSYS模型分析程序與試驗(yàn)梁在力學(xué)規(guī)律上的一致性。本文修正解與有限元解的吻合程度最好，最大偏差值為2.0%，未修正解的偏差率為（-4.3～-9.3）%之間，值偏小。初等梁理論解的偏差率為（-7.4～-14.5）%之間，偏差較大。以上結(jié)果表明該組合箱梁撓度除了受剪切變形影響外，組合截面的有效面積變小，及材料模量差異對(duì)主梁力學(xué)性能的影響不容忽視。

通過對(duì)比表中撓度計(jì)算結(jié)果可知，本文理論與有限元值和試驗(yàn)值吻合程度更好。在考慮了幾何特性、材料模量差異、波形腹板褶皺效應(yīng)等因素對(duì)翹曲位移進(jìn)行修正后，本文修正解的解析結(jié)果準(zhǔn)確度明顯提高。

3 結(jié)論

1）以余弦函數(shù)作為翹曲位移基本函數(shù)，考慮了鋼底板替換混凝土板后組合截面幾何特征的變化，以及鋼-混截面材料模量差異性，推導(dǎo)出了鋼底板-波形鋼腹板組合箱梁的撓度計(jì)算公式，并通過對(duì)比ANSYS有限元模擬、縮尺比例模型試驗(yàn)、未修正余弦函數(shù)法以及初等梁理論值，驗(yàn)證了本文理論的精確度和可靠性。為同類型結(jié)構(gòu)剪力滯效應(yīng)分析提供了參考。

2）根據(jù)本文理論通過推導(dǎo)出的最大轉(zhuǎn)角差函數(shù)公式對(duì)比各理論的撓度解，由此得出：修正解≥有限元解≥試驗(yàn)值≥未修正解≥初等梁理論解。本文修正解與實(shí)測(cè)值、有限元解在各工況下沿主梁的豎向撓度變化趨勢(shì)一致。與有限元解對(duì)比，本文修正解的偏差率在（1.2～1.5）%，比較吻合。未修正解偏差率為（-4.3～-9.3）%，初等梁理論解偏差率為（-7.4～-14.5）%。計(jì)算結(jié)果表明，以薄鋼板替換混凝土底板后，除了剪滯及剪切效應(yīng)外，有效面積減小以及鋼、混材料模量差異對(duì)主梁撓度均有影響。

3）本文推導(dǎo)過程假定波紋鋼腹板的變形完全符合基本梁理論，腹板在中性層不發(fā)生變形，對(duì)主梁縱向變形的影響可以忽略，未考慮橫隔板及加勁肋等箱梁內(nèi)部構(gòu)造對(duì)主梁部分截面的強(qiáng)化作用。