王雪一，郝文清，李振垚，甘德強(qiáng)，毛 荀，倪靜怡

（1.浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027；2.國網(wǎng)安徽省電力有限公司電力科學(xué)研究院，安徽 合肥 230601）

0 引言

中國電網(wǎng)呈現(xiàn)大規(guī)模交直流混聯(lián)狀態(tài)，送端新能源發(fā)電機(jī)組大量并網(wǎng)，受端直流大規(guī)模饋入。送受端耦合緊密，直流故障將導(dǎo)致功率大幅波動，對電網(wǎng)的影響由局部轉(zhuǎn)為全局。隨著常規(guī)機(jī)組被大量替換，系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量降低，電網(wǎng)承受有功沖擊的能力下降，頻率穩(wěn)定問題日益突出［1］。同時(shí)，新能源機(jī)組由于耐頻、耐壓能力不足，在系統(tǒng)頻率、電壓大幅變化的情況下容易脫網(wǎng)，引發(fā)連鎖故障［2］。為保障電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行，在傳統(tǒng)穩(wěn)控方案的基礎(chǔ)上，需要研究緊急功率控制策略，使新能源參與一次調(diào)頻、調(diào)壓［3］。新能源逆變器具備毫秒級快速響應(yīng)指令的潛力［4］，若其能夠應(yīng)用于快速實(shí)現(xiàn)功率回降或提升（送端電網(wǎng)以功率回降為主），則將減少切機(jī)量和切負(fù)荷量。將系統(tǒng)頻率進(jìn)行反饋后，參與新能源輸出功率控制，可以有效緩減電網(wǎng)頻率調(diào)節(jié)壓力，文獻(xiàn)［5］指出光伏逆變器快速頻率響應(yīng)能力優(yōu)于常規(guī)火電機(jī)組一次調(diào)頻，具有良好的應(yīng)用前景。

目前，針對新能源附加頻率控制的研究大多聚焦于控制策略的制定，根據(jù)仿真結(jié)果評估方案的有效性［6］，量化評估方法較少。衡量系統(tǒng)頻率動態(tài)響應(yīng)的基本特征量主要包括慣量響應(yīng)階段的頻率變化率、最大頻率偏差和穩(wěn)態(tài)頻率偏差。隨著新能源大量并網(wǎng)，系統(tǒng)頻率特性發(fā)生改變，亟需開展適用于高比例新能源電力系統(tǒng)的頻率穩(wěn)定量化評估方法研究。文獻(xiàn)［7］利用單調(diào)控制理論，對低頻減載的作用規(guī)律進(jìn)行了論證。文獻(xiàn)［8］對系統(tǒng)頻率的共模分量進(jìn)行了刻畫。文獻(xiàn)［9］基于系統(tǒng)全狀態(tài)模型得到狀態(tài)變量時(shí)域響應(yīng)的解析解，進(jìn)而可分析得到系統(tǒng)參數(shù)和系統(tǒng)頻率動態(tài)響應(yīng)間的關(guān)系。

新能源機(jī)組缺乏電壓支撐能力已是業(yè)界共識，文獻(xiàn)［10］指出規(guī)模化光伏在電網(wǎng)故障后，其“低電壓大電流”特性會造成電網(wǎng)無功缺額，惡化電壓穩(wěn)定性。但上述文獻(xiàn)所采用方法均基于仿真計(jì)算，缺乏理論分析，難以揭示光伏接入對短期電壓穩(wěn)定的影響機(jī)理。多機(jī)電力系統(tǒng)本質(zhì)上可以用一組微分代數(shù)方程式來描述，電網(wǎng)穩(wěn)定機(jī)理得益于內(nèi)在的系統(tǒng)特性［11］，網(wǎng)絡(luò)方程的可解性為電壓穩(wěn)定分析提供了量化指標(biāo)。文獻(xiàn)［12］針對只存在一個(gè)非線性負(fù)載的系統(tǒng)，給出了網(wǎng)絡(luò)方程可解性的明確條件，但該方法無法應(yīng)用于含多非線性負(fù)載的場景。文獻(xiàn)［13］推廣了上述結(jié)果，進(jìn)一步將最小奇異值作為衡量短期電壓穩(wěn)定的指標(biāo)，可應(yīng)用于含多非線性負(fù)載的場景，但是所提指標(biāo)為復(fù)數(shù)形式，仍無法解釋實(shí)虛部的物理意義。文獻(xiàn)［14］解析推導(dǎo)了電壓-無功靈敏度雅可比矩陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以從網(wǎng)絡(luò)方程自身特點(diǎn)出發(fā)分析光伏接入對電壓的影響。

本文首先介紹光伏發(fā)電系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，指出其典型響應(yīng)特性。其次，通過求解電力系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，分析系統(tǒng)頻率相關(guān)特征量與控制參數(shù)的單調(diào)關(guān)系，指出系統(tǒng)頻率響應(yīng)主要由主導(dǎo)模式?jīng)Q定，給出主導(dǎo)特征值的解析計(jì)算式。然后，聚焦網(wǎng)絡(luò)方程，基于雅可比矩陣奇異性，提出一種負(fù)定性指標(biāo)來量化電壓可解性，并將該指標(biāo)推廣到含光伏的電力系統(tǒng)中，借助圖論分析方法，論證光伏滲透率提高將會惡化電壓可解性。最后，在4 機(jī)11 節(jié)點(diǎn)經(jīng)典算例和實(shí)際華東電網(wǎng)中，仿真分析了光伏并網(wǎng)對電力系統(tǒng)頻率特性和網(wǎng)絡(luò)方程可解性的影響，驗(yàn)證了頻率、電壓分析方法的有效性。

1 光伏發(fā)電系統(tǒng)機(jī)電暫態(tài)模型

1.1 計(jì)及低電壓穿越控制

光伏機(jī)組通過逆變器并網(wǎng)，可以實(shí)現(xiàn)功率的快速回降或提升，具有和同步機(jī)不同的響應(yīng)特性。光伏發(fā)電系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)如圖1 所示，主要包括有功功率控制模塊、無功功率控制模塊、故障穿越狀態(tài)判斷模塊等［15］。圖中：|Imax|為光伏注入電網(wǎng)電流的最大幅值。

圖1 光伏發(fā)電系統(tǒng)一般結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 General structure schematic diagram of photovoltaic power generation system

光伏控制模塊一般采用雙環(huán)解耦控制，由于電流內(nèi)環(huán)響應(yīng)迅速，在機(jī)電暫態(tài)時(shí)間尺度下可以忽略內(nèi)環(huán)控制過程［16］，外環(huán)一般采用定有功功率控制和定無功功率控制。當(dāng)電網(wǎng)受到大擾動沖擊時(shí)（如三相短路），為避免低電壓下逆變器過流而導(dǎo)致脫網(wǎng)，光伏機(jī)組將進(jìn)入低電壓穿越（low voltage ride through，LVRT），LVRT 控制模型見文獻(xiàn)［17］。合理設(shè)置LVRT控制參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定有重要作用，附錄A圖A1 舉例說明了LVRT 恢復(fù)期間，增大有功電流恢復(fù)速度可以減少光伏注入交流電網(wǎng)有功功率缺額Aloss，降低故障對頻率的沖擊。本文暫不考慮光伏LVRT 控制過程，但本文所提方法可以進(jìn)行拓展，分析LVRT 控制策略對電力系統(tǒng)穩(wěn)定的影響，這是后續(xù)研究將展開的課題。

1.2 計(jì)及附加頻率控制

為改善頻率特性，本文進(jìn)一步考慮光伏的附加頻率控制功能，當(dāng)系統(tǒng)頻率偏離設(shè)定值時(shí)，光伏將快速調(diào)節(jié)輸出有功功率，參與調(diào)頻，控制框圖如圖2 所示。圖中：Pref為光伏機(jī)組輸出有功功率的初始參考值；ΔPref為光伏附加頻率控制所調(diào)節(jié)的有功功率；為計(jì)及Pref和ΔPref后更新的有功功率參考值；Ppv為光伏機(jī)組輸出有功功率的實(shí)際值；Id為光伏機(jī)組輸出有功電流的參考值／實(shí)際值；f為電網(wǎng)慣性中心（center of inertia，COI）頻率；Tf為時(shí)間常數(shù)；fref為頻率的參考值；kf為光伏附加頻率控制增益常數(shù)；PI表示比例積分控制器。

圖2 光伏附加頻率控制框圖Fig.2 Block diagram of photovoltaic supplementary frequency control

圖3 給出了光伏定無功功率的控制框圖。圖中：Qref為光伏機(jī)組輸出無功功率的參考值；Qpv為光伏機(jī)組輸出無功功率的實(shí)際值；Iq為光伏機(jī)組輸出無功電流的參考值／實(shí)際值。

正常運(yùn)行狀態(tài)下，光伏數(shù)學(xué)模型如下：

式中：kpp、kpi為有功功率控制環(huán)節(jié)的PI 控制器參數(shù)；kqp、kqi為無功功率控制環(huán)節(jié)的PI 控制器參數(shù)；xp、xq、xf分別為光伏機(jī)組有功狀態(tài)變量、無功狀態(tài)變量和頻率狀態(tài)變量；Vpv為光伏機(jī)組機(jī)端電壓，|Vpv|為其幅值。

2 電網(wǎng)頻率特性量化分析

2.1 狀態(tài)空間模型時(shí)域解

下面將分析光伏緊急功率控制對系統(tǒng)頻率特性的影響。同步機(jī)采用經(jīng)典模型，考慮光伏附加頻率控制后的系統(tǒng)可以近似用如下在平衡點(diǎn)處線性化后的五階模型表示：

式中：ωN為同步機(jī)角頻率的基準(zhǔn)值；“Δ”表示對應(yīng)物理量與其平衡點(diǎn)數(shù)值的偏差；xp、xq、xf、Pref、Vpv分別為由xp、xq、xf、Pref、Vpv構(gòu)成的向量；δ、ω分別為同步機(jī)轉(zhuǎn)子角和角頻率向量；M、Mraw分別為由同步機(jī)慣性時(shí)間常數(shù)形成的對角矩陣和行向量；D為由同步機(jī)阻尼系數(shù)形成的對角矩陣；Pm為注入同步機(jī)機(jī)械功率向量；Pe為同步機(jī)輸出電磁功率向量；In×1為元素均為1 的n維向量，n為光伏節(jié)點(diǎn)數(shù)目；Ml為第l臺同步機(jī)的慣性時(shí)間常數(shù)；C1—C5、M′為系數(shù)矩陣，具體表達(dá)式見附錄B式（B1）。

為消去代數(shù)變量ΔPe和Δ|Vpv|，對網(wǎng)絡(luò)方程做如下線性化處理：

式中：Yee、Yepv、Ypve、Ypvpv為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Y（已將無源節(jié)點(diǎn)并入節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣）中元素，下標(biāo)e、pv 分別表示同步機(jī)、光伏，Yee為同步機(jī)節(jié)點(diǎn)和同步機(jī)節(jié)點(diǎn)之間的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納子矩陣，其他類似；S為視在功率向量；上橫線表示取共軛；Ppv、Qpv分別為由Ppv、Qpv構(gòu)成的向量；E=E′q.*ejδ，E′q為同步機(jī)q軸暫態(tài)電勢向量，.*表示按元素相乘；θpv為光伏電壓相角向量；./表示按元素相除；H1—H4、N1、N2、J1、J2、L1為對應(yīng)的偏導(dǎo)矩陣。規(guī)定電流注入為正方向，將光伏輸出功率表達(dá)式式（2）代入式（4），可以得到Δ|Vpv|、Δθpv的表達(dá)式如下：

式中：α1—α4、β1—β4為對應(yīng)的偏導(dǎo)矩陣。在暫態(tài)過程中，光伏輸出無功功率幾乎不變，可令Δxq=0，又因?yàn)镹1、N2、J1、J2的數(shù)值很小，故α1、α2、α4數(shù)值很小，式（3）可以進(jìn)行化簡，最終得到系統(tǒng)的線性化雅可比矩陣J為：

式（6）中各子矩陣塊的表達(dá)式見附錄B式（B2）。下面令：

令一臺同步機(jī)為參考機(jī)可消去零特征值，此時(shí)雅可比矩陣為J′。研究系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性等同于求解線性系統(tǒng)Δx˙=J′Δx+BΔu的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)域解，當(dāng)輸入變量為階躍函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)解滿足如下表達(dá)形式：

式中：λi和vi、qi分別為矩陣J′第i個(gè)特征值及其對應(yīng)的右特征向量、左特征向量。

2.2 光伏并網(wǎng)對頻率特征量的影響

2.2.1 最大頻率變化率

COI 頻率ωcoi( )t在平衡點(diǎn)處線性化后的表達(dá)式為：

式中：ωl為第l臺同步機(jī)的角頻率。

結(jié)合式（8），將式（9）對時(shí)間求導(dǎo)，得到COI頻率變化率為：

式中：Pω為由右特征值向量構(gòu)成的矩陣P中與角頻率相關(guān)的部分；Eλ為由eλit形成的對角矩陣；Q為由左特征向量構(gòu)成的矩陣。令t=0，得到慣量響應(yīng)環(huán)節(jié)的頻率變化率為：

式（11）結(jié)果表明，零時(shí)刻頻率變化率只和系統(tǒng)同步機(jī)總慣量相關(guān)（成反比），光伏附加頻率控制不改變零時(shí)刻頻率變化率。

2.2.2 穩(wěn)態(tài)頻率偏差

系統(tǒng)狀態(tài)變量穩(wěn)態(tài)值Δx(∞)計(jì)算公式如下：

式中：Λ為由矩陣J′的特征值λi構(gòu)成的對角矩陣。式（12）表明狀態(tài)變量穩(wěn)態(tài)值可以用雅可比矩陣的逆來表示：

根據(jù)分塊矩陣求逆公式，令：

式中：Kf為由kf構(gòu)成的對角矩陣；D～ 為考慮光伏附加頻率控制后，系統(tǒng)的等效阻尼矩陣。經(jīng)過整理，得到各臺機(jī)組穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速偏差Δω(∞)表達(dá)式為：

式中：I為單位矩陣；Kpp為由kpp構(gòu)成的對角矩陣；-D～-1+D～-1L～′(I′D～-1L～′)-1I′D～-1為一個(gè)行相等矩陣，故所有發(fā)電機(jī)組最后收斂至同一轉(zhuǎn)速。

在系統(tǒng)等效阻尼系數(shù)表達(dá)式中，H2近似為一個(gè)元素全負(fù)的實(shí)數(shù)矩陣，H4近似為一個(gè)M 矩陣，其逆為非負(fù)矩陣，所以H2H-14元素符號為負(fù)，Kf的作用相當(dāng)于增加了系統(tǒng)阻尼，即D～ ≥D，從而減小了受擾動后系統(tǒng)頻率的穩(wěn)態(tài)誤差。

定義參與因子pji，其表達(dá)式為pji=vjiqiBΔu，vji為右特征向量vi的第j個(gè)元素，參與因子量化了特征值λi對狀態(tài)變量Δxj的貢獻(xiàn)。對于實(shí)特征值σ和復(fù)特征值σ±jω，設(shè)其參與因子分別為pr和pr±jpi，則時(shí)域解分量fji(t)如下：

不同的特征值代表了不同的頻率模式，可以認(rèn)為系統(tǒng)頻率響應(yīng)只和主導(dǎo)模式相關(guān)，將主導(dǎo)模式定義為由靠近原點(diǎn)的一對共軛特征值決定的頻率響應(yīng)軌跡，計(jì)算結(jié)果表明，該對共軛特征值的參與因子較大，附錄B 圖B1 給出了IEEE 10 機(jī)39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的特征值分布示意圖。

下面對系統(tǒng)主導(dǎo)特征值進(jìn)行求解，令JΔx=λΔx，λ為所求的特征值，展開后得到：

對式（19）進(jìn)行整理后，得到：

當(dāng)全網(wǎng)光伏控制參數(shù)一致時(shí)，有J25=-kfkppJ23，且由于Δω≠0，式（20）成立的條件如下：

式中：det 表示求矩陣的行列式。經(jīng)過推導(dǎo)，得到主導(dǎo)特征值的計(jì)算公式如式（22）所示，推導(dǎo)過程和參數(shù)含義見附錄C。

式中：下標(biāo)d 表示主導(dǎo)模式。由一元三次方程求解式（22）知其有解析表達(dá)式，存在一對共軛主導(dǎo)特征值。進(jìn)一步，根據(jù)式（17），可以得到頻率穩(wěn)態(tài)偏差理論計(jì)算值，即-Fd。

2.2.3 最大頻率偏差

非主導(dǎo)模式對系統(tǒng)頻率的貢獻(xiàn)很?。ň唧w可參見下文算例），在分析時(shí)不妨將其忽略，將主導(dǎo)模式頻率fd對時(shí)間求導(dǎo)，可得：

令式（23）為0，解得：

式中：下標(biāo)max 表示頻率偏差最大時(shí)的值。將式（24）代入式（17），則得到最大頻率偏差的解析解表達(dá)式為：

3 電網(wǎng)電壓特性量化分析

3.1 網(wǎng)絡(luò)方程電壓可解性

電力系統(tǒng)機(jī)電暫態(tài)模型可以統(tǒng)一描述為一組微分-代數(shù)方程（differential-algebraic equation，DAE），一般情況下，代數(shù)方程的奇異面在DAE 模型的穩(wěn)定邊界上，這表明代數(shù)方程的可解性對電壓穩(wěn)定具有重要影響。下面研究網(wǎng)絡(luò)方程的奇異性條件，推導(dǎo)反映電壓可解性的指標(biāo)。當(dāng)同步機(jī)忽略凸極效應(yīng)和阻尼繞組，負(fù)荷采用恒功率類型，光伏采用定有功功率和定無功功率控制方式時(shí)，將網(wǎng)絡(luò)方程重寫為：

式中：下標(biāo)E、L分別表示同步機(jī)內(nèi)電勢節(jié)點(diǎn)、恒功率節(jié)點(diǎn)（含光伏和恒功率負(fù)荷），YEE為同步機(jī)內(nèi)電勢節(jié)點(diǎn)和同步機(jī)內(nèi)電勢節(jié)點(diǎn)之間的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納子矩陣，YEL、YLE、YLL含義類似。

由于E′q與δ為狀態(tài)變量，求解網(wǎng)絡(luò)方程就是在已知E和SL的基礎(chǔ)求VL，則存在如下非線性方程：

采用牛頓法求解上述非線性方程，式（27）等號兩側(cè)同乘以恒功率節(jié)點(diǎn)電壓對角矩陣的共軛diagVˉL，則有：

忽略線路電阻，即YLL≈jBLL，BLL為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納子矩陣YLL的虛部，即節(jié)點(diǎn)電納子矩陣，并且令I(lǐng)E=YLEE，得到網(wǎng)絡(luò)方程的近似結(jié)果為：

為表述簡潔，下文將省略下標(biāo)L、LL。將式（29）在直角坐標(biāo)系下展開，并求得從元件端口看進(jìn)去電力網(wǎng)絡(luò)側(cè)的雅可比矩陣為：

式中：Pg、Qg分別為有功功率向量、無功功率向量；下標(biāo)x、y分別表示對應(yīng)變量的實(shí)部、虛部；偏導(dǎo)矩陣Jpx、Jpy、Jqx、Jqy的表達(dá)式見附錄D式（D1）。

若計(jì)及光伏、負(fù)荷等元件的動態(tài)模型，則從電力網(wǎng)絡(luò)側(cè)看進(jìn)去，元件的端口特性能夠用類似的矩陣表示，即：

采用定功率控制模式的光伏逆變器在準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)時(shí)間尺度下，外特性接近理想恒功率源。下文在分析網(wǎng)絡(luò)方程可解性時(shí)，可不計(jì)光伏的出力波動，忽略雅可比矩陣J的第2 部分。由于矩陣J非對稱，一般情況其特征值為復(fù)數(shù)，需要求解最小奇異值，為得到形式更簡便的指標(biāo)，下文對矩陣J做進(jìn)一步的化簡。

當(dāng)系統(tǒng)電壓可解時(shí)，其網(wǎng)絡(luò)方程雅可比矩陣非奇異，等價(jià)于雅可比矩陣的行列式不為0，即detJ≠0。又因?yàn)檠趴杀染仃嚨男辛惺降扔谄涮卣髦档某朔e，即detJ=λ1λ2×…×λJ（J為特征值數(shù)量），所以最小特征值λ1( )J≠0 是一個(gè)等價(jià)的可解性條件。此處的λ1( )J指雅可比矩陣中模值最小的特征值，它可以視作一種量化電壓可解性的指標(biāo)。

雅可比矩陣J的表達(dá)式可以重新整理成如下形式：

式中：IBV、Vxy、BB的表達(dá)式見附錄D式（D2）。

由式（33）可以得到雅可比矩陣J的行列式表達(dá)式為：

式中：Γ=V-1xy IBV+BB。值得指出的是，detVxy和Γ均具有特殊性質(zhì)，有助于開展理論推導(dǎo)，具體論證過程見附錄D定理D1和定理D2。

考慮到電網(wǎng)安全穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，不會出現(xiàn)恒功率節(jié)點(diǎn)電壓降至0 的情況，因此detVxy≠0，雅可比矩陣的奇異性取決于矩陣Γ的性質(zhì)。首先將矩陣Γ寫成分塊矩陣的形式：

式中：b=diag(S./V2)y，g=diag(S./V2)x，(·)x、(·)y分別為取相應(yīng)矩陣的實(shí)部和虛部。

一般情況下Γ為負(fù)定矩陣，其特征值全負(fù)。為方便分析，對矩陣Γ做如下變換［18］：

相合，矩陣Γ 的負(fù)定條件是B -b 和(B +b)-g (B -b)-1g均負(fù)定，這意味著λ1(?！?可以用來衡量電壓穩(wěn)定裕度，即：

通常電納矩陣B的數(shù)量級遠(yuǎn)大于b與g，所以λ1(B-b)將比λ1[(B+b)-g(B-b)-1g]更靠近原點(diǎn)，只有當(dāng)g足夠大時(shí)，舒爾補(bǔ)的最小特征值λ1[(B+b)-g(B-b)-1g]才會快速增大。

矩陣B為經(jīng)Kron 降階方法消去無源節(jié)點(diǎn)后的電納子矩陣，它的負(fù)矩陣是帶自環(huán)的Laplacian 矩陣，滿足正定性［19］，即意味著Kron 降階電納矩陣B滿足負(fù)定性。由于b數(shù)量級遠(yuǎn)小于B，所以B-b特征值符號主要由B決定，一般為負(fù)號。

根據(jù)以上論述B-b滿足負(fù)定性，其特征值符號明確，易反映出參數(shù)變化對特征值的影響，因此λ1(B-b)是一種合適的負(fù)定性指標(biāo)，具有清晰的理論表達(dá)式，參數(shù)更加直觀，可以用來量化機(jī)電暫態(tài)網(wǎng)絡(luò)方程的電壓可解性。

3.2 光伏滲透率對電壓可解性的影響

假設(shè)提高電網(wǎng)光伏滲透率的方式是保持系統(tǒng)潮流不變，逐步將電網(wǎng)中同步機(jī)替換為光伏機(jī)組。本節(jié)將借助圖論等數(shù)學(xué)工具，分析光伏滲透率變化對電網(wǎng)電壓可解性的影響。

定義同步機(jī)節(jié)點(diǎn)集為α，則光伏與負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的集合為同步機(jī)節(jié)點(diǎn)的補(bǔ)集β。隨著光伏滲透率的增加，同步機(jī)逐臺被替換為光伏機(jī)組，同步機(jī)節(jié)點(diǎn)數(shù)減少，而光伏節(jié)點(diǎn)數(shù)增加。不妨假設(shè)k個(gè)非空節(jié)點(diǎn)集有如下關(guān)系：

柯西交錯定理［18］表明對實(shí)對稱矩陣做加邊處理后，特征值單調(diào)不減，所以B-b的最小模值特征值隨光伏滲透率的增加單調(diào)不減：

式中：Bβ1為對應(yīng)光伏節(jié)點(diǎn)β1和光伏節(jié)點(diǎn)之間的節(jié)點(diǎn)電納子矩陣，其他類似。

根據(jù)上述分析可知，光伏滲透率的增加將惡化網(wǎng)絡(luò)方程電壓可解性，影響電壓穩(wěn)定性，這一結(jié)果將在算例分析中進(jìn)行計(jì)算說明。

4 算例分析

4.1 光伏并網(wǎng)對電網(wǎng)頻率特性的影響

考慮4 機(jī)11 節(jié)點(diǎn)經(jīng)典算例，系統(tǒng)接線圖見附錄E 圖E1，將3 號同步機(jī)替換為光伏機(jī)組后，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)潮流數(shù)據(jù)和發(fā)電機(jī)數(shù)據(jù)見附錄E 表E1 — E3。取光伏附加頻率控制的增益常數(shù)kf= 50，系統(tǒng)特征值如表1 所示，其中第1 個(gè)特征值為零特征值（可以令一臺同步機(jī)為轉(zhuǎn)子角參考機(jī)而去除），第2 個(gè)和第3 個(gè)特征值為一對共軛主導(dǎo)特征值，代表頻率主導(dǎo)模式。

表1 系統(tǒng)特征值Table 1 System eigenvalues

設(shè)置4 號同步機(jī)損失10 % 的有功出力，系統(tǒng)頻率將跌落。觀察COI 時(shí)域仿真實(shí)際頻率、線性化模型解析頻率和主導(dǎo)模式頻率，繪制響應(yīng)曲線如圖4所示。由圖可知，線性模型解析解和實(shí)際頻率響應(yīng)結(jié)果較為接近，而主導(dǎo)模式曲線幾乎和線性模型頻率曲線完全重合。故可以單獨(dú)研究頻率主導(dǎo)模式，對系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線做近似刻畫。

圖4 線性模型解析解和時(shí)域仿真實(shí)際頻率響應(yīng)曲線Fig.4 Analytical solution of linear model and actual frequency response curve of time-domain simulation

為驗(yàn)證光伏附加頻率控制增益常數(shù)kf對系統(tǒng)頻率響應(yīng)的影響，分別取kf為0（相當(dāng)于無附加頻率控制）、5、50、500 這4 種情況，得到COI 頻率及光伏輸出有功功率變化曲線如圖5 所示。圖中，光伏輸出有功功率為標(biāo)幺值。

圖5 不同kf取值下系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig.5 System response curves under different values of kf

圖5 上圖表明光伏附加頻率控制能夠有效抑制頻率持續(xù)下降，根據(jù)2.2 節(jié)的分析，系統(tǒng)慣量保持不變，頻率在零時(shí)刻以相同的斜率下降，而最大頻率偏差和穩(wěn)態(tài)頻率偏差受增益常數(shù)kf的影響，一般情況下kf越大，系統(tǒng)等效阻尼越大，頻率偏差越小。在損失電源出力場景下，光伏為了保持系統(tǒng)頻率穩(wěn)定，將提高有功出力。

圖5下圖表明增益常數(shù)kf越大，光伏有功出力的調(diào)整速度越快，調(diào)整量越大，故頻率控制效果越好。值得注意的是，增益常數(shù)kf取值有上限，文獻(xiàn)［20］指出kf取值過大，可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。表2 列出了不同增益常數(shù)取值下COI穩(wěn)態(tài)頻率和最低頻率的計(jì)算值，可以為頻率穩(wěn)定控制措施的制定提供依據(jù)。

表2 不同kf 取值下線性化系統(tǒng)頻率計(jì)算值Table 2 Frequency calculation values of linearized system under different values of kf

4.2 光伏并網(wǎng)對電網(wǎng)電壓特性的影響

4.2.1 功角差平面電壓可解性

仍采用4.1節(jié)中的4機(jī)11節(jié)點(diǎn)算例，若忽略光伏輸出功率變化，將其視為恒功率電源處理，則由于電力網(wǎng)絡(luò)只有1 臺光伏機(jī)組，求解網(wǎng)絡(luò)方程相當(dāng)于求解一個(gè)一元二次方程，電壓具有解析表達(dá)式，根據(jù)方程判別式和0 的大小關(guān)系可以分析其可解性，具體求解過程見文獻(xiàn)［12］。將1 號同步機(jī)作為轉(zhuǎn)子角參考機(jī)，繪制得到網(wǎng)絡(luò)方程雅可比矩陣最小奇異值在功角差平面的三維變化圖，如圖6 所示，同網(wǎng)絡(luò)方程判別式進(jìn)行比較。圖中：δ21為2 號同步機(jī)和1 號同步機(jī)的功角差；δ41為4 號同步機(jī)和1 號同步機(jī)的功角差。

圖6 雅可比矩陣最小奇異值和網(wǎng)絡(luò)方程判別式在功角差平面的三維圖Fig.6 Three-dimensional plot of minimum singular value of Jacobian matrix and network equation discriminant in power angle difference plane

觀察圖6 可知，雅可比矩陣最小奇異值和網(wǎng)絡(luò)方程判別式在功角差平面具有一致的變化趨勢，這表明根據(jù)雅可比矩陣奇異性等值條件推導(dǎo)得到的負(fù)定性指標(biāo)可以反映網(wǎng)絡(luò)方程的實(shí)際可解性。

4.2.2 光伏滲透率對電壓可解性的影響

考慮華東電網(wǎng)某年的運(yùn)行方式，算例系統(tǒng)共有8 117 個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為575，負(fù)荷節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為3 243。按照“小電站優(yōu)先替換”以及“電源替換前后潮流維持不變”的原則，對華東電網(wǎng)電源結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，測試不同光伏滲透率對電壓可解性的影響。算例中同步機(jī)采用暫態(tài)電勢恒定模型，光伏外環(huán)采用定有功功率和定無功功率控制，負(fù)荷為恒功率類型，忽略線路電阻。負(fù)定性指標(biāo)λ1(B-b)與光伏滲透率之間的變化關(guān)系如圖7所示。

圖7 電壓可解性隨光伏滲透率的變化關(guān)系（華東電網(wǎng)）Fig.7 Relationship between voltage solvability and photovoltaic penetration（East China Power Grid）

由圖7 可知，在華東電網(wǎng)算例中，負(fù)定性指標(biāo)λ1(B-b)隨著光伏滲透率的增加呈單調(diào)遞增趨勢。這說明在大電網(wǎng)中同樣存在隨著光伏滲透率增加，電壓可解性惡化的問題。電力系統(tǒng)實(shí)際可接納的光伏極限滲透率和新能源并網(wǎng)位置、網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?、電源及?fù)荷動態(tài)特性等多種因素有關(guān)，本文所構(gòu)造的負(fù)定性指標(biāo)可以對光伏模型進(jìn)行拓展，開展多場景下的電壓穩(wěn)定性分析。

為了觀察光伏滲透率對電網(wǎng)電壓特性的影響，對于原4機(jī)11節(jié)點(diǎn)算例，增大負(fù)荷水平，并進(jìn)一步將系統(tǒng)中1號同步機(jī)替換為光伏機(jī)組，設(shè)置4號同步機(jī)發(fā)生損失有功出力故障，對比暫態(tài)過程系統(tǒng)中不同光伏機(jī)組數(shù)目下母線3 所連光伏節(jié)點(diǎn)電壓幅值（標(biāo)幺值）與負(fù)定性指標(biāo)λ1(B-b)的變化曲線，結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同光伏滲透率下的系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig.8 System response curves under different photovoltaic penetration rates

由圖8 可知：與系統(tǒng)中僅有1 臺光伏機(jī)組相比，當(dāng)母線1、3 所連均為光伏機(jī)組時(shí)，故障期間電壓水平更低，負(fù)定性指標(biāo)λ1(B-b)數(shù)值抬升更加明顯；全過程中，1臺光伏機(jī)組的負(fù)定性指標(biāo)λ1(B-b)始終比2臺光伏機(jī)組離原點(diǎn)更遠(yuǎn)，電壓可解性更好，這與3.2節(jié)的分析結(jié)果相符。

附錄F 圖F1 — F3 分別給出了COI 頻率、同步機(jī)功角差、光伏出力的變化曲線，由于光伏具有附加頻率控制，2 臺光伏機(jī)組的共同調(diào)節(jié)有助于系統(tǒng)頻率穩(wěn)定。

5 結(jié)論

隨著新能源滲透率的不斷上升，電力系統(tǒng)頻率特性和電壓特性將發(fā)生量變到質(zhì)變。為量化分析光伏并網(wǎng)下電力系統(tǒng)的頻率特性和網(wǎng)絡(luò)方程可解性，本文建立了含光伏動態(tài)數(shù)學(xué)模型的電力系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，并根據(jù)網(wǎng)絡(luò)方程推導(dǎo)了電壓可解性量化條件，得到如下結(jié)論。

1）基于電力系統(tǒng)近似全狀態(tài)模型的時(shí)域解分析，論證了慣量響應(yīng)階段頻率變化率只和系統(tǒng)同步機(jī)總慣量相關(guān)（成反比），光伏附加頻率控制不改變系統(tǒng)慣量，從而不改變零時(shí)刻頻率變化率；系統(tǒng)頻率穩(wěn)態(tài)偏差和系統(tǒng)等效阻尼系數(shù)相關(guān)（成反比），光伏附加頻率控制增益常數(shù)kf的作用相當(dāng)于增大了系統(tǒng)阻尼。

2）頻率響應(yīng)具有主導(dǎo)模式，定義為靠近原點(diǎn)的一對共軛特征值決定的頻率響應(yīng)軌跡，計(jì)算結(jié)果表明，該對共軛特征值的參與因子較大。頻率主導(dǎo)模式下的頻率穩(wěn)態(tài)偏差、最大偏差具有解析計(jì)算式，可以為頻率穩(wěn)定控制措施的制定提供依據(jù)。

3）基于網(wǎng)絡(luò)方程雅可比矩陣奇異性所提的負(fù)定性指標(biāo)物理意義明確，即為等值電納矩陣的最小特征值，該負(fù)定性指標(biāo)符號明確，可以反映電網(wǎng)受擾后電壓可解性的變化趨勢。借助圖論分析方法，論證了隨著光伏滲透率的增加，負(fù)定性指標(biāo)更靠近原點(diǎn)，電壓可解性會惡化。

下一步研究將計(jì)及光伏的無功補(bǔ)償、LVRT 保護(hù)等功能，在異地替換場景下，綜合分析光伏并網(wǎng)對電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

附錄見本刊網(wǎng)絡(luò)版（http：//www.epae.cn）。