劉宏亮,姚力銘,王培金
(1.沈陽航空航天大學(xué)遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,沈陽 110136;2.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,大連 116023)
隨著高新技術(shù)的發(fā)展,飛行器通常需要在惡劣極端的環(huán)境下長時(shí)間工作[1],對(duì)結(jié)構(gòu)和材料性能的要求越來越高。由于比剛度和比強(qiáng)度等方面的優(yōu)點(diǎn),復(fù)合材料板在航空航天工業(yè)的應(yīng)用愈發(fā)普遍。與傳統(tǒng)的復(fù)合材料板不同,功能梯度復(fù)合板具有材料相之間平滑過渡且連續(xù)分布的特點(diǎn),可以在很大程度上避免材料界面的出現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響,例如降低應(yīng)力集中和減少殘余應(yīng)力。這實(shí)際上也是功能梯度結(jié)構(gòu)相比傳統(tǒng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的一個(gè)優(yōu)勢(shì)[2-3]。
在航空航天產(chǎn)品設(shè)計(jì)過程中,利用優(yōu)化方法獲得輕質(zhì)高承載結(jié)構(gòu)是實(shí)現(xiàn)裝備輕量化和高性能化的一個(gè)重要且有效途徑。相比尺寸和形狀優(yōu)化,結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的設(shè)計(jì)潛力更大,對(duì)結(jié)構(gòu)的綜合性能提升也更加明顯,但同時(shí)其挑戰(zhàn)性也更大[4-5]。目前,各種拓?fù)鋬?yōu)化方法不斷發(fā)展,例如變密度方法[6]、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法[7]、水平集方法[8]、移動(dòng)變形組件/孔洞方法[9-10]等。而且,相較于單相材料拓?fù)鋬?yōu)化,考慮多相材料的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究近年來受到了更多的關(guān)注[11-13]。然而,多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化需要一個(gè)合適的優(yōu)化模型,可以有效描述迭代過程中設(shè)計(jì)域內(nèi)不同材料的分布,同時(shí)應(yīng)該方便于設(shè)計(jì)優(yōu)化過程的靈敏度分析計(jì)算[14-16]。
功能梯度結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化可以是單材料優(yōu)化,也可以是多材料優(yōu)化。當(dāng)功能梯度結(jié)構(gòu)的材料漸變方式確定時(shí),只優(yōu)化結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型屬于單材料優(yōu)化,例如,材料沿著厚度或者面內(nèi)方向漸變且其分布確定的功能梯度板結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化[17]。當(dāng)梯度材料漸變與結(jié)構(gòu)拓?fù)渫絻?yōu)化以實(shí)現(xiàn)功能梯度結(jié)構(gòu)性能最優(yōu)時(shí),其本質(zhì)上是一種多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化[18-19]。與傳統(tǒng)多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化不同的是,這樣的設(shè)計(jì)在材料相之間具有平滑且連續(xù)分布的特點(diǎn)。值得指出,現(xiàn)有的功能梯度結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究主要考慮平面問題,尚未考慮工程中普遍存在的板結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。事實(shí)上,板結(jié)構(gòu)的多材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究也是近年來才受到關(guān)注[20-21]。因此,本文研究的重點(diǎn)是一種沿著面內(nèi)方向材料漸變的功能梯度板結(jié)構(gòu)拓?fù)渑c材料分布協(xié)同設(shè)計(jì)優(yōu)化問題。
對(duì)于板結(jié)構(gòu)的分析和設(shè)計(jì),目前主要采用基于有限元方法的Kirchhoff板單元和Mindlin板單元。其中,Kirchhoff板單元適合薄板模型,而Mindlin板單元適合中厚板模型。薄板模型的適用范圍有限,因此Mindlin板單元在工程中的應(yīng)用范圍更廣。然而,Mindlin板單元進(jìn)行有限元分析時(shí)可能會(huì)存在數(shù)值閉鎖問題,嚴(yán)重影響數(shù)值計(jì)算的精度。為了實(shí)現(xiàn)更具工程應(yīng)用性的板結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化,克服數(shù)值求解難題,本文基于等幾何分析[22]發(fā)展一種功能梯度Mindlin板結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。采用具有高階連續(xù)性的非均勻有理B樣條(non-uniform rational B-spline,NURBS)基函數(shù)作為功能梯度板結(jié)構(gòu)建模、分析和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ),獲得了梯度材料與結(jié)構(gòu)拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。
本文考慮的Mindlin板基于一階剪切變形理論,假設(shè)板中面的法向纖維在變形過程中保持平直,長度不變,但不一定保持垂直于中面。因此,橫向剪切變形不可忽略,Mindlin板的應(yīng)變能由下式給出
(1)
式中,σf和εf是彎曲應(yīng)力和應(yīng)變,σc和εc是橫向剪切應(yīng)力和應(yīng)變,α為剪切修正系數(shù)。線彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可定義為
σf=Dfεf
σc=Dcεc
(2)
其中,Df和Dc分別表示彎曲項(xiàng)與剪切項(xiàng)的彈性常數(shù)矩陣,即
(3)
式中,E是彈性模量,ν是泊松比,G則是剪切模量。將式(2)和式(3)帶入Mindlin板應(yīng)變能式中可得
(4)
基于等幾何分析,利用NURBS曲面表示結(jié)構(gòu)的幾何模型,即
(5)
(6)
式中,Ni,p和Mj,q分別表示定義在節(jié)點(diǎn)矢量{ξ0,ξ1,…,ξm1}和{η0,η1,…,ηm1}上的B樣條基函數(shù),wi,j是控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)。
在Mindlin板結(jié)構(gòu)等幾何分析中,NURBS基函數(shù)不僅用于結(jié)構(gòu)幾何模型的定義,同時(shí)也作為等參元的形函數(shù)。離散后的Mindlin板線彈性控制方程可表示為
KU=F
(7)
式中,U為位移矢量,K表示結(jié)構(gòu)的整體剛度陣,它由單元?jiǎng)偠汝嘖e組裝而成,表示如下
(8)
式中,Bf和Bc分別為彎曲項(xiàng)和剪切項(xiàng)的應(yīng)變位移矩陣,h表示板的厚度,ui,j為結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)。
本文利用等幾何分析的k細(xì)分方案可以實(shí)現(xiàn)NURBS基函數(shù)跨單元高階的Cp-1次連續(xù),在很大程度上可以緩解閉鎖作用的影響。對(duì)于較薄的板模型,將采用NURBS等幾何分析單元結(jié)合縮減積分的策略解決數(shù)值閉鎖問題。
為了構(gòu)建一個(gè)基于連續(xù)密度的梯度漸變結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題,式(8)中的彈性系數(shù)矩陣近似為不同材料相的彈性常數(shù),這將在下面討論的插值方案中實(shí)現(xiàn)。
在功能梯度結(jié)構(gòu)中,材料之間不存在明確的界面,材料性能平滑變化。借鑒基于SIMP的變密度方法插值方案,假設(shè)板由兩種材料構(gòu)成,彈性模量分別為E1和E2,通過設(shè)計(jì)域內(nèi)某一點(diǎn)上兩種材料所占的百分比,即體積分?jǐn)?shù)來表示這種連續(xù)變化材料的性質(zhì)。
功能梯度材料性質(zhì)的計(jì)算通常采用數(shù)值均勻化法和混合法。本文基于混合法,假設(shè)兩種材料均勻混合,沒有微觀結(jié)構(gòu),如圖1所示。目前,被廣泛采用的幾種混合模型包括Voigt模型、Halpin-Tsai復(fù)合模型、Voigt-Reuss界限和Hashin-Shtrikman界限[23]。本文研究重點(diǎn)是采用等幾何方法實(shí)現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì),因此選擇使用各向同性復(fù)合材料的Hashin-Shtrikman上界和下界的平均值作為材料模型。
圖1 結(jié)構(gòu)中某一點(diǎn)材料混合物
當(dāng)兩種材料的泊松比等于1/3時(shí),Hashin-Shtrikam的上限和下限可簡化為楊氏模量條件
(9)
當(dāng)y→1時(shí),Hashin-Shtrikam模型上下限均為E1,當(dāng)y→0時(shí),Hashin-Shtrikam模型上下限均為E2。假設(shè)E1>E2,當(dāng)y=1時(shí),此時(shí)結(jié)構(gòu)中某一處全為強(qiáng)材料,當(dāng)y=0時(shí)即為弱材料。當(dāng)結(jié)構(gòu)中一點(diǎn)是兩種材料均勻混合時(shí),采用Hashin-Shtrikam模型上下限均值近似表示為
(10)
借鑒SIMP方法,各向同性均質(zhì)材料的性質(zhì)被描述為E(x)=xpE0,設(shè)計(jì)變量為0時(shí)表示此處為優(yōu)化所產(chǎn)生的孔洞。為了實(shí)現(xiàn)材料屬性和結(jié)構(gòu)拓?fù)涞膮f(xié)同設(shè)計(jì),功能梯度材料的插值模型被定義為
(11)
式中,p為懲罰系數(shù)。值得指出,對(duì)于式(11)中的設(shè)計(jì)變量y并不需要懲罰,因?yàn)樵O(shè)計(jì)目標(biāo)是獲得光滑漸變的功能梯度結(jié)構(gòu)。為了避免數(shù)值奇異,插值格式中采用一個(gè)足夠小的量綱為1的數(shù)Emin,即
(12)
考慮體積約束下的功能梯度Mindlin板結(jié)構(gòu)最小柔順度優(yōu)化問題,當(dāng)功能梯度材料是由兩種材料(例如金屬與陶瓷)構(gòu)成時(shí),其對(duì)應(yīng)的拓?fù)鋬?yōu)化列式可以表示為
minimize:J(xi,yi)=FTU(xi,yi)
(13)
式中,J表示目標(biāo)函數(shù)即結(jié)構(gòu)的柔順度,xi和yi表示控制點(diǎn)處的設(shè)計(jì)變量,分別對(duì)應(yīng)總材料的體分比和強(qiáng)材料的體分比,Ve表示NURBS單元體積,V0表示結(jié)構(gòu)總體積,fvx和fvy分別為材料用量的限制分?jǐn)?shù),即體積分?jǐn)?shù)。fvx限制結(jié)構(gòu)的總材料用量,fvy則控制有材料處的強(qiáng)材料占比。ym和yM為給定設(shè)計(jì)變量yi的上下限,由式(9)可知,若ym和yM取0和1則對(duì)應(yīng)為Hashin-Shtrikam模型的上下限,為了保證實(shí)現(xiàn)強(qiáng)弱材料的光滑漸變,本文中ym和yM分別設(shè)置為0.1和0.9。
對(duì)于本文基于等幾何方法的功能梯度Mindlin板結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化,用于幾何建模和結(jié)構(gòu)分析的NURBS基函數(shù)也用于表示相對(duì)密度場(chǎng),即
(14)
其中,Θ表示設(shè)計(jì)變量x和y組成的集合。由于NURBS基函數(shù)的非負(fù)性和規(guī)范性,當(dāng)設(shè)計(jì)變量在給定的設(shè)計(jì)區(qū)間變化時(shí),所對(duì)應(yīng)的相對(duì)密度分布也會(huì)滿足規(guī)定的區(qū)間分布,從而建立起合理的控制點(diǎn)密度設(shè)計(jì)變量和材料相對(duì)密度分布之間的映射關(guān)系。此外,NURBS基函數(shù)的高階連續(xù)性可以避免棋盤格模式等數(shù)值問題[24]。
本文采用基于梯度的移動(dòng)漸進(jìn)線法[25](MMA)來更新設(shè)計(jì)變量,進(jìn)而求解建立的優(yōu)化列式(13)。這里需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的靈敏度。功能梯度板的幾何建模、結(jié)構(gòu)分析和材料分布場(chǎng)采用統(tǒng)一的參數(shù)化,NURBS基函數(shù)的特性保證了解析靈敏度的有效計(jì)算。目標(biāo)函數(shù)對(duì)于設(shè)計(jì)變量xe的靈敏度可表示為
(15)
式中單元?jiǎng)偠汝噷?duì)設(shè)計(jì)變量xe的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式為
(16)
根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則可得到
(17)
式(17)中Mindlin板單元?jiǎng)偠汝囉蓛身?xiàng)組成,分別為彎曲項(xiàng)與剪切項(xiàng),則?E/?xe的計(jì)算表達(dá)式為
(18)
由式(15)和式(18)可得
(19)
目標(biāo)函數(shù)對(duì)于設(shè)計(jì)變量ye的靈敏度表達(dá)式為
(20)
式中,?Ke/?ye可以參考式(16)和式(17),而彈性模量對(duì)設(shè)計(jì)變量ye的一階導(dǎo)數(shù)為
(21)
式中,E′(y)表示Hashin-Shtrikam界限對(duì)設(shè)計(jì)變量ye求導(dǎo),可以表示為
(22)
根據(jù)式(21)和式(22)可得
(23)
另外,體積約束的靈敏度可以直接求導(dǎo)得出。
通過兩個(gè)數(shù)值算例證明本文方法可以有效獲得體積約束下的功能梯度Mindlin板結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化算例中采用二次NURBS基函數(shù),為避免數(shù)值閉鎖現(xiàn)象對(duì)Mindlin板結(jié)構(gòu)等幾何分析精度的影響,采用縮減的兩點(diǎn)積分策略。剪切修正系數(shù)設(shè)置為α=5/6,材料用量限制比值為0.5。當(dāng)連續(xù)兩次迭代的目標(biāo)值相對(duì)變化小于0.01或達(dá)到最大迭代次數(shù)50時(shí),優(yōu)化過程終止。算例中材料、幾何以及載荷參數(shù)選擇為量綱為1的參數(shù)。
第一個(gè)算例考慮一個(gè)四邊固定的矩形方板(a×a=1×1),在板中心處施加一個(gè)集中載荷(F=1),如圖2所示。板的厚度為0.1,參數(shù)設(shè)置參考了文獻(xiàn)[20],用紅色表示強(qiáng)材料E1=4,藍(lán)色表示弱材料E2=2,兩種材料泊松比為0.3??傮w積分?jǐn)?shù)設(shè)為0.5,強(qiáng)材料體積分?jǐn)?shù)占比V1從0.4下降到0.1,弱材料體積分?jǐn)?shù)占比V2從0.1上升到0.4,J表示目標(biāo)函數(shù)即柔順度。將設(shè)計(jì)域細(xì)分為100×100的單元時(shí),優(yōu)化結(jié)果如圖3所示。
(a)V1=0.4,V2=0.1,J=30.52
在相同厚度和邊界條件下,可以觀察到材料填充面積與體積分?jǐn)?shù)具有明顯的相關(guān)性,隨著硬質(zhì)材料(紅色)的體積分?jǐn)?shù)逐漸下降,結(jié)構(gòu)的柔順度逐漸增加??梢酝茢喑?,在對(duì)結(jié)構(gòu)剛度貢獻(xiàn)較小的地方,軟質(zhì)材料傾向于替代硬質(zhì)材料,而強(qiáng)材料總是分配在中心區(qū)域(集中載荷作用區(qū))和應(yīng)力集中區(qū)。4種不同強(qiáng)材料體積分?jǐn)?shù)所對(duì)應(yīng)的優(yōu)化迭代曲線如圖4所示。
圖4 4種不同強(qiáng)材料體積分?jǐn)?shù)下的迭代曲線
圖3中的4種優(yōu)化結(jié)果,拓?fù)湓O(shè)計(jì)構(gòu)型幾乎一致,不同點(diǎn)在于材料分布,即強(qiáng)弱材料之間的過渡區(qū)域。圖3右側(cè)顏色欄中的0.1和0.9對(duì)應(yīng)式(13)設(shè)定的Hashin-Shtrikam模型上下限。本文協(xié)同優(yōu)化體現(xiàn)在兩種設(shè)計(jì)變量分別控制結(jié)構(gòu)拓?fù)渑c材料配比,如圖5所示。右側(cè)“0”表示結(jié)構(gòu)中的孔洞,即圖5黑白設(shè)計(jì)中的白材料。由于圖3中可視化點(diǎn)的數(shù)量有限,功能梯度材料的漸變細(xì)節(jié)表示得并不是很清楚。由圖4可知,其收斂速度較快,在20多步就已經(jīng)收斂。在不改變?cè)O(shè)計(jì)優(yōu)化計(jì)算效率的情況下,為了更清楚地顯示梯度漸變細(xì)節(jié),在圖3優(yōu)化結(jié)果的基礎(chǔ)上,將用于描述最終優(yōu)化結(jié)果的可視化點(diǎn)擴(kuò)大100倍,如圖6所示,可見優(yōu)化結(jié)果具有清晰的拓?fù)湓O(shè)計(jì)和平滑的材料過渡區(qū)域。
圖5 體積約束下的功能梯度板協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)
(a)強(qiáng)材料體積分?jǐn)?shù)為0.4
第2個(gè)算例考慮一個(gè)四邊簡支的矩形板,厚度為0.01,設(shè)計(jì)域參考圖2,板的中心仍然施加一個(gè)集中載荷。強(qiáng)材料(紅色相)的彈性模量E1=2,弱材料的彈性模量E2=1,兩種材料泊松比為0.3,總體積分?jǐn)?shù)為0.5,其中強(qiáng)材料占比為0.3。該算例的設(shè)計(jì)參考了文獻(xiàn)[20]在多材料薄板拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中的算例。將設(shè)計(jì)域離散為50×50的單元,最終的優(yōu)化結(jié)果如圖7所示,目標(biāo)函數(shù)的迭代曲線如圖8所示。
(a)結(jié)構(gòu)拓?fù)?/p>
圖8 四邊簡支功能梯度板的迭代曲線
功能梯度結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)也可以視作一種多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),但是傳統(tǒng)多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)的不同材料相之間存在明顯的界面。圖7(a)中的優(yōu)化設(shè)計(jì)構(gòu)型與參考文獻(xiàn)[20]中單材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)類似,但通過功能梯度材料結(jié)構(gòu)協(xié)同設(shè)計(jì)優(yōu)化,最終結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)值為137 319.91,在材料參數(shù)設(shè)置一致的情況下,結(jié)構(gòu)性能優(yōu)于參考文獻(xiàn)中的雙材料板拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),目標(biāo)函數(shù)下降了11.28%,證明了本文設(shè)計(jì)方案的有效性和優(yōu)越性。另外,可視化點(diǎn)的數(shù)量不依賴建模、分析和設(shè)計(jì)變量的數(shù)量,可以在保證功能梯度材料相之間連續(xù)且平滑漸變的同時(shí)兼顧設(shè)計(jì)優(yōu)化的效率。
本文研究了一種在等幾何分析框架下的功能梯度Mindlin板結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法實(shí)現(xiàn)材料漸變分布與結(jié)構(gòu)拓?fù)鋮f(xié)同設(shè)計(jì)。采用基于NURBS的建模、分析和設(shè)計(jì)參數(shù)化方法來實(shí)現(xiàn)梯度材料結(jié)構(gòu)的一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)。等幾何方法中NURBS基函數(shù)用于梯度材料分布拓?fù)鋬?yōu)化使得設(shè)計(jì)結(jié)果可以自然避免拓?fù)鋬?yōu)化的常見數(shù)值不穩(wěn)定問題,高階連續(xù)性可以促進(jìn)材料分布的光滑性以及設(shè)計(jì)優(yōu)化的靈敏度分析,因此建立了合理的設(shè)計(jì)變量與材料分布的關(guān)系。數(shù)值算例表明,本文方法具有較好的收斂性,在不需要顯著增加計(jì)算單元和設(shè)計(jì)參數(shù)的情況下能夠有效獲得具有清晰細(xì)節(jié)特征的結(jié)構(gòu)拓?fù)渑c材料漸變的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)。通過與已有研究結(jié)果對(duì)比,本文優(yōu)化設(shè)計(jì)方法展現(xiàn)了有效性和優(yōu)越性。