張桂騰

福建省莆田第十中學(xué) (351146)

離心率是解析幾何中的重要知識(shí),近年高考及質(zhì)檢試題頻頻出現(xiàn)求解離心率的值或取值范圍問題.這類問題常考常新,學(xué)生解決該問題有一定難度.一般求解策略為利用圓錐曲線的定義或幾何特征尋找基本量間的關(guān)系,進(jìn)而解決離心率問題.[1]本文從多個(gè)角度對(duì)2023年3月莆田市質(zhì)檢一道離心率問題剖析,探析求解離心率問題的一般策略.

一、試題呈現(xiàn)

二、解法探究

圖1

圖2

評(píng)注：此解法根據(jù)直觀想象得到過點(diǎn)A,B′,F的圓關(guān)于直線AF的對(duì)稱圓的圓心恰為橢圓的左焦點(diǎn),這是突破本題難點(diǎn)的關(guān)鍵.

圖3

三、變式訓(xùn)練

評(píng)注：一般地,與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||=2a,得到a,c的關(guān)系．

解：如圖4,設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為N,連接AF,AN,BF,BN,所以四邊形AFBN為長方形,根據(jù)橢圓的定義|AF|+|AN|=2a,且∠ABF=α,則∠ANF=α,

圖4

圖5

四、教學(xué)啟示

求離心率的值(取值范圍)需要構(gòu)造一個(gè)含有F1,F2或數(shù)字的等式(不等式),往往綜合性較強(qiáng),是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).由以上例子中,教師可引導(dǎo)學(xué)生歸納以下方法:

1.從定義出發(fā),特別注意第一定義中的焦點(diǎn)三角形問題,以橢圓為例,在焦點(diǎn)三角形中三條邊中蘊(yùn)含了F2的關(guān)系,因此如果能找出三條邊的關(guān)系也就可以求出離心率的值;

2.分析已知條件中的幾何特征,如題目中給出的等腰,中垂線,垂直等條件都可能是破解題目的入手點(diǎn),由幾何特征得基本量關(guān)系往往會(huì)簡化運(yùn)算;

3.求取值范圍需建立一個(gè)含有|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a的不等關(guān)系,可有以下入手方向:從圓錐曲線本身所具有的不等關(guān)系入手;從直線和圓錐曲線的位置關(guān)系或點(diǎn)和圓錐曲線的位置關(guān)系入手;通過分析題目中的幾何條件得出不等關(guān)系,例如出現(xiàn)的鈍角銳角或者出現(xiàn)的三角形的形狀,中垂線等.