鄭志璽，郭 強，姜 燕，奚園園，王文博，周文慧

（1. 河南理工大學機械與動力工程學院，焦作 454000；2. 河南理工大學計算機科學與技術學院，焦作 454000；3. 杭州汽輪動力集團股份有限公司，杭州 310015）

復雜曲面零件在航空航天、精密機械、模具制造等重要領域得到了廣泛的應用。在此類零件的成形過程中，銑削是材料去除的主要形式。銑削力作為表征銑削過程的重要物理量之一，其大小直接影響切削加工效率和精度；銑削力也是加工系統(tǒng)振動、變形和切削熱產生的根源，并可能進一步影響刀具磨損與刀具壽命；同時，銑削力同樣是機床與夾具設計的重要參考因素之一。可以看出，銑削力與刀具、工件和夾具密切相關，銑削力預測模型可以很大限度降低由于試驗而造成的人力與物力的浪費，獲得準確的切削力[1]已經成為當前機械加工至關重要的一個課題。

目前，經驗切削力預測模型主要有兩種：第1種為Sabberwal[2]和Koenigsberger[3]等開發(fā)的瞬時剛性模型，該模型假設切削力與瞬時切屑體積成正比，比例系數(shù)取決于切削條件和材料特性；第2種形式將銑削力表示為耕犁力與剪切力的總和[4–6]。在第1種類型和第2種類型的兩個表達式中，可以直觀地看出，未變形厚度和切削力系數(shù)是影響切削力預測結果的關鍵因素。當銑削形狀變化復雜的零件或切削刃與工件之間的接觸狀態(tài)不均勻時，刀齒與工件之間的接觸點不斷變化使得接觸區(qū)域異常復雜，如何獲取準確的切削刃與工件之間的干涉區(qū)域，是準確預測切削力的必要前提[7]。至此，經驗銑削力預測模型的3個關鍵因素是未變形切屑厚度、切削力系數(shù)、切觸區(qū)域識別。

在研究銑削力時，常把刀具沿著軸向離散成若干微元，每一切削微元可以看作是一個車刀，因此，總切削力可以由各微元的切削力求和獲取，而微元切削力被認為是隨時間變化的切屑厚度函數(shù)[8]。未變形切屑厚度與微元銑削力密切相關，其精度是合理建立切削力預測模型的基礎[9]。切削力系數(shù)可視為未變形厚度與切削力之間的比例關系，切削力系數(shù)直接影響微元銑削力模型的準確性。在微元模型中，切削力系數(shù)既能連接切削力，又能連接未變形切屑厚度。

切削力系數(shù)在微元模型中處于核心地位。切觸區(qū)域[10]的精確識別能夠保證未變形切屑厚度的精確性，從而獲得可靠的切削力系數(shù)，并最終建立精確的銑削力模型。刀具切觸區(qū)域的可靠性是保障整個預測銑削力模型的必要前提。

在加工的過程中，經常需要使用長徑比較大的細長銑刀，銑刀在銑削力作用下的變形不可忽略。銑刀的變形與偏轉可能導致預測銑削力與實際銑削力偏差較大。為了讓預測的銑削力接近真實銑削力，可以通過相應的方法進行補償[11]，從而在一定程度上可以減小變形與偏轉引起的誤差。另外，由于銑刀存在制造和安裝誤差，刀具跳動在銑削中無法避免，應盡量減小刀具跳動對工件的影響，以求獲得理想的銑削力結果。刀具跳動還影響著銑削加工復雜薄壁件形狀誤差和多齒刀具的銑削過程特性，特別會導致刀具不均勻磨損。隨著磨損加劇，刀刃與工件的接觸面積會逐漸增大，導致瞬時切屑厚度發(fā)生明顯變化，剪切力也隨之增大，導致工件表面質量差、加工精度低、所用成本增加?？傊?，由于環(huán)境、裝配或加工精度的影響，刀具無法達到理想狀態(tài)時會出現(xiàn)跳動[12–15]、變形[16]和磨損[17]等問題，導致瞬時切屑厚度、微元瞬時位置角、刀具與切屑接觸面積的變化，使得銑削力預測不準確。因此，許多學者對此進行了深入研究，以確保得到高精度的切削力預測模型。

因此，本文從經驗的角度研究總結了銑削力的預測；綜述了未變形切屑厚度、切削力系數(shù)、切觸區(qū)域識別刀具跳動與偏轉，以及刀具磨損的研究現(xiàn)狀；分析了切削力的影響因素；概括了銑削力的發(fā)展趨勢。

1 基于經驗的切削力學模型

在銑削加工中，為了提高加工效率，保證加工精度，必須對銑削力有透徹、細致的了解。切削刃的形狀是復雜的空間螺旋線，對工件進行材料去除時，任意瞬間刀刃上各點的切削條件往往也各不相同。在研究切削力時，通常進行微元離散。切削刃沿軸線分為若干切削刃微元，稱為微元切削刃。作用在切削微元上的力上稱為微元切削力。切削刃工作時，每個元件都處于斜切狀態(tài)，總銑削力是微元銑削力的矢量和。立銑刀在銑削過程中劃分的微元如圖1所示[18]。

圖1 切削力微元模型[18]Fig.1 Micro-element model of cutting force[18]

微元銑削力模型的具體表達形式可分兩類。第1類表達式假設銑削力是瞬時切屑體積的函數(shù)，其中比例系數(shù)取決于切削條件和材料特性：

其中，

式中，Kt、Kr和Ka為3個切削力系數(shù)；h為瞬時未變形切屑厚度；dz為刀具軸上的切削微元長度。

第2類表達式在表達銑削力時引入耕犁力分量：

式中，dFt、dFr和dFa為切向、徑向和軸向分量；Ktc、Krc和Kac為剪切力系數(shù)；Kte、Kre和Kae為邊緣力系數(shù)；dS為微元件切削刃長度；dz為每個元件的厚度。

微元切削模型是基于金屬切削理論建立的，由于切削熱、切削力和應變硬化的影響，建模過程非常復雜。在實際建模中，為了降低建模的難度，常常進行一些假設和簡化。

Jayaram等[19]在第1類模型的基礎上，提出了一種估算端面銑削過程切削力的方法，使用一定頻率切削力數(shù)據(jù)的傅里葉變換來估計特定的切削力，用于多個切削刃切削端面的情況。Wan等[20]基于第1類微元模型提出了統(tǒng)一的方法來確定一般立銑刀 （如圓柱銑刀、球頭銑刀、牛鼻銑刀等）切削力系數(shù)和跳動參數(shù)。該方法中的兩種分量獨立于跳動的標稱分量和由跳動引起的擾動分量，其中標稱分量能夠校準切削力系數(shù)，而跳動參數(shù)由擾動分量確定。Wan等[21]根據(jù)測得的切削力或傅里葉變換的諧波進行了公式推導，詳細分析了5種研究刀具跳動的方法和切削力系數(shù)，并在刀具跳動基礎上進行銑削建模，最后得出了第1類微元模型能實現(xiàn)高精度切削力預測的結論。

隨著加工中精度和質量要求的不斷提高，有學者認為應考慮銑削時產生的耕犁力以提高微元模型預測精度，建立了含有剪切力和耕犁力的第2類微元切削力模型。

Jun等[22]建立了一個具有剪切力與耕犁力的端面銑削模型，使用卷積法和傅里葉變換法，在角域和頻域內導出了含有剪切力分量與耕犁力分量的總銑削力。對該模型在頻域內進行了分析討論，得出切削力系數(shù)為定值與切削厚度無關的結論 （在考慮耕犁力的模型中）。Gradi?ek等[5]通過任意徑向位置的切削試驗，得到了一種關于通用螺旋立銑刀 （如圓柱形、錐形、球形、牛鼻形等）特定切削力系數(shù)和耕犁力系數(shù)的表達式，并且仿真驗證了表達式的有效性。Shirase等[23]研究了變螺距螺旋立銑刀的銑削力與表面誤差的關系，提出了一種銑削力預測模型，考慮了立銑刀靜態(tài)變形下的切屑再生機理，并進行了試驗驗證。Merdol等[24]研究了鋸齒形立銑刀在銑削過程中銑削力的產生機理。

上述模型主要是考慮未變形切屑厚度和刀具參數(shù)，隨后有學者在研究模型時加入了振動、跳動、切削參數(shù)。Wang等[25]考慮刀具幾何形狀、振動影響、切削速度變化及刀具與切屑之間的摩擦，采用瞬時剪切平面面積法，提出了一種切削力預測模型，該模型能夠預測銑削加工中切削力的主要變化，也驗證了模型的準確性。Desai等[26]研究了刀具直徑對加工幾何形狀、切削力和銑削表面誤差的影響，通過對彎曲工件幾何形狀的加工試驗，驗證了結果的正確性。Matsumura等[27]提出了一種在刀具跳動的坐標系中描述切屑流動的銑削力模型，通過與實測力相比較，驗證了力模型。Zaghbani等[28]提出一種高速銑削切削力預測模型，僅需要工件材料特性和切削參數(shù)就可以估計切削中的力和溫度，把試驗結果與模型預測結果進行了比較，驗證了該模型的正確性。Sai等[29]根據(jù)瞬時未變形厚度切削區(qū)域出入口角度來確定切削力，考慮傾角、提前角、返回角、每齒進給量、切削深度、步距、切削速度和刀具跳動切削力預測模型。

第1類微元切削力模型表示為瞬時切屑體積的函數(shù)，在加工復雜薄壁工件時或者在微銑削過程中，由于切削厚度很小，考慮耕犁力可以取得更好的預測效果；在第2類微元切削力模型中，切削力被看作耕犁力與剪切力的總和，假設了銑削力系數(shù)為常數(shù)。第1類模型和第2類模型都是通過分析未變形切屑厚度和銑削力系數(shù)建立的。

1.1 未變形切屑厚度

銑削加工過程中，刀具做旋轉與進給疊加的螺旋進給運動，沿著一條次擺線路徑進行切削加工。切削得到未變形切屑厚度可以用未變形切屑厚度方程來表征，未變形切屑厚度方程常用于分析銑刀加工工件的真實運動軌跡。如圖2所示[1]，銑刀切削時，切削刃上Q點的瞬時未切屑厚度定義為距離PQ，通過P點和Q點的直線垂直于當前刀具旋轉軸，P點是直線與前一切削刃軌跡面的交點（藍線代表不同時間的刀具軸矢量，灰色面代表切削刃移動留下的掃掠面，刀具沿著次擺線軌跡對工件進行加工時，計算瞬時切削厚度的難度很大）。因此，Martellotti[30]提出了一種切削過程看作理想情況的近似方法，忽略余擺線軌跡、刀具跳動和撓度變形的影響，把次擺線軌跡近似為圓弧，瞬時未變形切屑厚度h表示為

圖2 未變形切屑厚度模型[1]Fig.2 Uncut chip thickness model[1]

式中，fz為每齒進給量；θ為當前齒的瞬時角度位置。

式 （4）求解的未變形切屑厚度只能反映每齒進給量和刀具幾何形狀，不能滿足高精密加工時精確建模的要求。Li等[31]用泰勒級數(shù)逼近真實未變形切屑厚度，得到未變形切屑厚度的泰勒模型，即

式中，r為刀具半徑；ft為每轉每齒進給量；φi為第i個齒的角位置；Nt為銑刀的齒數(shù)。

Song等[32]分析和推導了不同切削寬度的未變形切屑輪廓幾何點的精確位置，用迭代算法逼近切屑橫截面輪廓，提出了一種高精度的未變形切屑厚度模型。Spiewak[7]通過變換技術與刀具幾何矩陣公式提出了齒尖軌跡的分析模型。此外，Spiewak[33]使用系統(tǒng)建模方法提出了未變形切屑厚度模型。Montgomery等[34]提出了一種考慮余擺線的未變形切屑厚度模型。Banerjee等[35]研究了每齒進給量下未變形切屑厚度模型的解析推導和數(shù)值解，也研究了刀具軌跡沿直線和曲線端面銑削時的公式差異。Akhavan Niaki等[36]研究了刀具軌跡曲線自交點和交叉點的幾何關系，構造了擺線銑削中未變形切屑厚度模型的數(shù)值算法。以上研究主要是集中在采用逼近和分析的方法先得到齒尖軌跡，再得到未變形切屑厚度模型。

下列研究考慮刀具跳動、偏移、振動對未變形切屑厚度的影響。Yun等[37]僅使用測量出的一次切削力數(shù)據(jù)，便可確定跳動相關參數(shù)及定位角度，建立未變形切屑厚度模型。Abele等[38]在數(shù)值優(yōu)化方法基礎上，提出只需要固定進給速度進行一次切削試驗，可以得到未變形切屑厚度與切削力系數(shù)的微元模型，模型在平均誤差方面也取得了較好的結果。Jing等[39]基于空間刀具位置來反映真實的夾緊情況，提出了一種考慮刀具跳動的未變形切屑厚度模型，該模型利用方向向量s代替位置角ψ和傾斜角τ來描述刀具在空間中的位置。Wang等[40]提出一種考慮刀具振動和跳動的未變形切屑厚度模型，與加工中的結果相比有很好的一致性。Desai等[41]提出了一個包括刀具與工件嚙合、刀具跳動的瞬時未變形切屑厚度模型。郝洪艷等[42]使用坐標變換法推導出包含刀具偏心跳動的未變形切屑厚度預測力模型，驗證了該模型的正確性。Feng等[43]運用垂直軸向離散球頭銑刀的方法，提出了一個球頭銑刀銑削力模型，闡述了刀具軸線偏移和傾斜對未變形切屑厚度的影響，球頭銑削未變形切屑厚度公式為

式中，R2（z）為距離銑削端z處的微元切削齒2的實際切削半徑；R1（z）為先前齒在相同位置的實際半徑。

Imani等[44]認為精確表示瞬時未變形切屑厚度在計算上是低效的，因此提出了能夠精確計算任何角度位置的瞬時未變形切屑厚度修正方程，即

國內外學者對瞬時未變形切屑厚度做了大量研究，為解決不同問題，建立了相應的瞬時未變形切屑厚度模型。針對上述建立的切屑厚度模型分析可得，當未變形切屑厚度逐漸減小時，切削力系數(shù)就會變大，這一現(xiàn)象也被稱為尺寸效應。尺寸效應可通過耕犁力來解釋，由于耕犁力不會隨未變形切屑厚度的變化而改變，未變形切屑厚度變小時，耕犁力所占的比例就會變大，當耕犁力的作用等效為剪切作用時，切削力系數(shù)就會變大。

1.2 切削力系數(shù)的識別

切削力系數(shù)直接關系到預測模型的精確性，其識別方法至關重要[45–47]。針對立銑刀切削力系數(shù)識別，第1類微元銑削力模型中，切削力系數(shù)可以表示為瞬時未變形切屑厚度的函數(shù)；在第2類微元銑削力模型中，切削力系數(shù)表示成與未變形切屑厚度無關的常數(shù)[48]。球頭銑刀在有效切削半徑、切削刃微元的螺旋角、瞬時未變形切屑厚度的軸向分布方面與立銑刀有所差異，通常把球頭銑削力模型的切削力系數(shù)表示成關于軸向微元切削刃的函數(shù)[49]。根據(jù)切削力系數(shù)的識別依據(jù)不同，大致可分為解析計算法識別切削力系數(shù)、實際測量銑削力識別切削力系數(shù)、根據(jù)工件表面誤差識別切削力系數(shù)。

1.2.1 解析計算法識別切削力系數(shù)

解析計算法是利用切削力學原理來識別切削力系數(shù)的一種方法[24，50]，以切屑面積和剪切帶為研究對象，運用剪切滑移理論，根據(jù)刀具幾何模型計算出銑削力系數(shù)，即

式中，φn為剪切角；βn為平均摩擦角；αn為刀具前角；τs為剪切屈服強度；i為刀具螺旋角；η為切屑流動角。

Lee等[51]介紹了螺旋球頭銑刀的切削機理。采用經典的斜變換方法對刀具銑削過程進行了研究，其中把切屑流動角假定等于局部螺旋角。Armarego等[52]研究了加工過程的中切削力機理。

1.2.2 實際測量銑削力識別切削力系數(shù)

實際測量銑削力識別切削力系數(shù)法通過測量銑削加工中的銑削力來識別切削力系數(shù)。在加工過程中使用切削力系數(shù)作為恒定或者平均切削厚度的函數(shù)，稱為平均切削力系數(shù)[3，38，53–54]；每個切削微元都具有不同的切削力系數(shù)，稱為瞬時切削力系數(shù)[55–56]。

通過分析，把影響平均切削力系數(shù)的因素分為銑削參數(shù)和刀具幾何參數(shù)。銑削參數(shù)[57–61]可細分為主軸轉速、切削深度、每齒進給量等。尹力等[62]利用偏最小二乘回歸方法對銑削力系數(shù)進行了研究，在試驗中主軸速度和主軸速度的平方對切削力系數(shù)的影響較為突出，切削力系數(shù)隨著主軸速度的增加有減小的趨勢。Grossi等[63]采用Kalman濾波估計器研究了不同主軸轉速下的平均切削力系數(shù)。Paliwal等[64]考慮了主軸轉速變化對切削力系數(shù)的影響，估算了特定切削力系數(shù)。

上述研究在主軸速度對平均切削力系數(shù)的影響方面做了大量工作，然而在平均切削力系數(shù)的研究中也應充分考慮切削深度與每齒進給量的作用。Yu等[65]把切削力系數(shù)表示為軸向切削深度的函數(shù)，隨著軸向切削深度的增加，法向和切向切削力系數(shù)都呈現(xiàn)出明顯上升的趨勢。Campatelli等[66]研究了排除磨損的情況下，分析每齒進給量對切削力系數(shù)的影響，試驗表明，當每齒進給量變化較大時，剪切力系數(shù)有很大變化，耕犁力系數(shù)幾乎不變。Wojciechowski等[67]提出了一種考慮刀具跳動的切削力預測模型，分析了每齒進給量、切削速度和表面傾角對切削力系數(shù)的影響，研究了切削速度與進給量跟切削力系數(shù)的關系，如圖3和4所示。圖4（d）給出了標準化的Pareto效應圖，研究表明，該模型能夠在較寬的切削參數(shù)范圍內估算切削力，確保相對誤差低于16%。

圖3 切削參數(shù)函數(shù)中的比力系數(shù)[67]Fig.3 Specific force coefficients in function of cutting parameters[67]

圖4 切削參數(shù)函數(shù)中的比力系數(shù)和標準化的Pareto效應圖[67]Fig.4 Specific force coefficients in function of cutting parameters and standardized Pareto effects char[67]

切削參數(shù)通過切削力來影響切削力系數(shù)，軸向切削深度增加時，變形系數(shù)不變，摩擦力和彈塑性變形力總量增加，但單位切削力不變，切削力成正比增加；當切削面積按正比增加時，切削力增大；每齒進給量增加，變形系數(shù)減小，切削力不成正比關系增加。在切削加工中，進給量、軸向切深、切削速度對切削力大小的影響力依次減小。

刀具幾何參數(shù)[68–69]分為刀具直徑、刀具齒數(shù)、刀具螺旋角、刀具前角等。Yao等[70]提出了含有刀具跳動的切削力模型，考慮了最大螺旋角與齒數(shù)相互作用的關系。Tsai等[71]運用Alintas法和遞歸最小二乘法，研究刀具直徑 （12 mm、16 mm、20 mm）對切削力和切削力系數(shù)的影響，試驗表明，改變刀具直徑并沒有極大地改變切削力的大小，對切削力系數(shù)的影響不是很明顯。Kao等[72]研究了刀具螺旋角對切削力系數(shù)的影響，切削力系數(shù)模型由平均切削力和刀具幾何形狀（如刀具直徑、槽數(shù)、刀具螺旋角）的函數(shù)表示。Ozturk等[73]研究了刀具螺旋角 （–30°、0°、15°、30°、45°）對切削力系數(shù)的影響。Adem等[74]研究了短刀具螺旋角 （30°和90°）和長刀具螺旋角 （30°和45°）對切削力系數(shù)的影響。

刀具幾何參數(shù)通過對切削力的作用來影響切削力系數(shù)。（1）前角對加工塑性材料時影響較大，前角增大時，變形系數(shù)減小，切屑流出阻力減小，前角對切削力的影響程度隨切削速度增大而減小，前角對加工脆性材料時影響不明顯。（2）切削力隨著螺旋角的增加，呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢。（3）徑向切削力隨著刀具齒數(shù)的增多而增大，但是切向與軸向切削力變化不大。

部分研究人員把平均切削力系數(shù)認為是一個固定值，忽略了某些位置未變形切屑厚度的變化。有學者通過減少試驗量來提高瞬時切削力的預測精度，提出了瞬時切削力系數(shù)的概念，并對其識別方法進行了深入的研究[75–77]。

Shin等[77]提出了一種確定瞬時切削力系數(shù)的方法，可以減少校準試驗的次數(shù)。Cheng等[46]研究端面銑削瞬時切削力系數(shù)的特性時，推導了瞬時切削力系數(shù)與切削力之間的關系。結果表明，法向力系數(shù)主要受未變形切屑厚度和切削速度的影響；切向力系數(shù)主要受未變形切屑厚度、切削刃長度和切削速度的影響；徑向力系數(shù)不僅受未變形切屑厚度、切削速度和切削長度的影響，還受切屑厚度變化率的影響。上述的學者在研究瞬時切削力系數(shù)與切削厚度的關系時，主要考慮了尺寸效應，忽略了刀具跳動與刀具偏轉引起的誤差。

Li等[78]提出了一種考慮刀具跳動的銑削力預測模型，基于組合切削刃的解析模型，推導出了各切削刃進行一般空間運動時回轉面的形成，相比一般模型提高了計算效率。Ko等[55]得到了一種與切削條件無關的系數(shù)計算方法，瞬時未變形厚度和切削力系數(shù)之間的關系是通過跟蹤刀具中心位置的運動來計算，該運動隨進給、刀具偏轉與跳動的變化而變化，驗證了模型的正確性。Liu等[79]提出了一種包括刀具跳動每齒瞬時銑削力模型，根據(jù)幾何關系和每個齒的軸向銑削范圍，模擬了考慮刀具跳動的未變形切屑厚度。Ko等[56]提出了一種估算球頭銑刀瞬時切削力系數(shù)的模型，瞬時切削力系數(shù)由瞬時未變形切屑厚度和瞬時切削力之間的關系導出，瞬時未變形厚度考慮了偏轉和跳動。Wan等[76]提出了3種標定瞬時切削力系數(shù)和刀具跳動參數(shù)的方法，對3種方法標定的切削力系數(shù)和刀具參數(shù)值進行了分析和比較。Hao等[80]提出了一種考慮跳動的銑削力預測模型，基于線性插值的概念，得到了計算瞬時刀具位置、角位置、進給方向與相應加工時間的方法，通過坐標變換，導出了考慮刀具跳動的瞬時未變形切屑厚度模型。Ning等[81]提出了一種刀具側銑切削力模型，切削力系數(shù)表達為瞬時未變形厚度的冪函數(shù)，試驗結果表明，預測切削力與實際測量切削力吻合較好，平均精度接近6%。

在加工過程中，由于磨損、跳動、偏轉的存在，測量時會引起切削力的變化，無論銑削力預測模型精度是否達到理想結果，都為后來的學者在研究時提供了理論與數(shù)據(jù)的支持。

1.2.3 根據(jù)工件表面誤差識別切削力系數(shù)

表面誤差識別切削力系數(shù)法指：刀具與工件相接觸時在銑削力的作用下會把刀具的工作狀態(tài)映射在工件的表面，通過工件表面誤差反求得切削力，然后得出切削力系數(shù)。

Kim等[82]通過估算三軸銑削刀具撓度與工件的表面形狀誤差求解切削力系數(shù)。切削力系數(shù)求解模型由切削力模型、撓度模型與形狀誤差估計模型3部分組成。Xu等[83]提出一種考慮刀具柔性的新型端面銑削力預測模型，包括刀具的動態(tài)撓度和靜態(tài)撓度，假設全部誤差由刀具變形引起的前提下，用工件表面誤差校準切削力系數(shù)。上述研究都是假設工件表面誤差由刀具撓度變形引起，部分學者在此基礎上考慮了刀具偏轉與跳動。Franco等[84]提出一個通過表面輪廓和表面粗糙度求切削力系數(shù)的模型，該模型為切削條件 （進給量、切削深度）、刀具幾何形狀 （齒數(shù)、刀具直徑）和刀具誤差（徑向和軸向跳動）的函數(shù)。Wang等[85]提出一種在考慮刀具跳動時，借助刀具變形識別瞬時切削力系數(shù)的方法。Dotcheva等[86]提出了一種從表面誤差獲得刀具變量的方法，并標定了瞬時切削力系數(shù)，但忽略了跳動量對表面誤差的影響。

上述研究都是假設工件表面誤差由刀具跳動與偏轉或變形引起的。在復雜薄壁曲面在加工過程中，工件和刀具的變形引起的表面誤差較大，當忽略其他因素引起的誤差時，也可以準確識別切削力系數(shù)。加工非薄壁工件時，忽視機床精度而造成的表面誤差會極大地影響到識別精度，限制了該方法的發(fā)展。

在3種識別銑削力系數(shù)的測量方法中，銑削力測量是識別銑削力系數(shù)的常用方法，引起了許多學者的關注。雖然銑削力系數(shù)的表達形式略有不同，但得到公式的方法都大同小異，且一般需要進行多次銑削試驗。銑削力系數(shù)中的平均銑削力系數(shù)與瞬時銑削力系數(shù)是由兩種定義不同的切屑厚度來區(qū)別，平均切屑厚度和瞬時切屑厚度之間存在巨大差異。平均切削力模型很難準確預測切削力在波峰或波谷位置。當瞬時切削力系數(shù)表示為瞬時切屑厚度的指數(shù)函數(shù)時，可以提高瞬時銑削力的預測精度，減少切削系數(shù)識別的試驗量。

1.3 刀具切觸區(qū)域

刀具切觸區(qū)域指切削過程中刀具與工件相接觸的范圍。刀具切觸區(qū)域的判斷精度和效率直接影響銑削力預測模型的準確度。球頭刀銑削切觸區(qū)域如圖5所示[87]。對于切觸區(qū)域識別一般有3種常用的方法：實體模型法、Z–MAP法和解析法。

圖5 刀具與工件接觸示意圖[87]Fig.5 Schematic diagram of contact between tool and workpiece[87]

（1）實體模型法是在三維實體的基礎上，對刀具和工件運用布爾運算得到刀具切觸區(qū)域。該方法的優(yōu)點是仿真精度高，缺點是涉及大量布爾運算，計算速度慢，使得該方法的發(fā)展受到了限制。

Spence等[88]將實體建模與銑削仿真相結合，進行了兩種應用：第1個應用結合在線監(jiān)測闡述了整體銑削過程；第2個應用說明了柔性零件的多軸側銑功能。倪其民等[89]在UG技術實體造型的基礎上，針對球頭銑刀三軸加工中的三維加工系統(tǒng)仿真問題開發(fā)了包含幾何仿真和物理仿真的系統(tǒng)。劉胤等[90]以B-rep和CSG為基礎，在UG二次開發(fā)平臺實體仿真系統(tǒng)上，提出一種幾何邊界參數(shù)提取方法。Spence等[91]基于構造實體幾何 （CSG）進行了銑削過程仿真。上述研究大多以一些實體構造軟件，通過刀具掃描體與工件的求交運算來得到刀具切觸區(qū)域的情況，求交的特點導致這種方法計算效率低，且在微觀尺度下仿真需要大量儲存空間，也限制其計算效率。

（2）Z–MAP法是把工件與刀具實體在選定平面進行投影，記錄投影離散點在投影平面中的各個位置坐標，由位置坐標向工件與刀具實體方向引射線，記錄射線與實體的交點值，通過比較同一條射線上兩實體交點值的差來計算刀具切觸區(qū)域[49]，如圖6所示[10]。梁鑫光等[92]針對球頭刀五軸銑削中刀具與工件的復雜關系，提出了一種雙存離散機制 （工件表面等距離間隔緩存殘留高度以及刀具端等時間間隔緩存振動響應）。Kim等[93]提出了一種預測球頭銑刀平均切削力的方法，刀具接觸面積根據(jù)刀具半球形部分的Z–MAP模型獲得。Kim等[94]在三維切削中分析未變形切屑幾何形狀和進給傾角關系，使用Z–MAP法來尋找刀具接觸區(qū)域。Fussell等[95]基于擴展的Z–MAP離散法，判斷實際切削刃的接觸面積。Wei等[96]利用一種改進的Z–MAP法，得到了確定的刀–工切觸面和切邊的詳細算法。Li等[97]提出了一種改進的Z–MAP算法，模擬球頭銑刀銑削后的零件表面形貌，該算法無須離散刀齒，也可以實現(xiàn)較高的精度與效率，模擬表面形貌和試驗表面形貌的比較，如圖7所示。

圖6 工件的Z–MAP模型[10]Fig.6 Z–MAP model of workpiece[10]

在考慮刀具跳動與偏心的基礎上使用Z–MAP法時，推導出準確瞬時未變形切屑厚度的表達式的關鍵，就變成了確定參與切削單元的分布和數(shù)目。因此，在非理想環(huán)境狀態(tài)下，識別并得到準確的切削單元是Z–MAP法中一個關鍵的研究內容。Z–MAP法相對于實體建模法的計算效率有顯著的提高，該方法在現(xiàn)代化的銑削力預測與自由曲面數(shù)控加工中的地位越來越重要。

（3）解析建模法是把刀具切觸區(qū)域范圍用解析表達式來表示。Taner等[98]使用射影幾何法快速的計算刀具包絡和工件之間的嚙合，提出了一種適用于多軸銑削的廣義切削力模型。Ozturk等[99]提出了一種改進的接觸域分析模型，該模型在計算速度和精度上有優(yōu)勢，適用于復雜曲面切削力預測中的切觸區(qū)域識別，發(fā)展前景較好。

在銑削力預測模型中，一般根據(jù)上述3種方法先求解出接觸區(qū)域，然后根據(jù)可靠的切觸區(qū)域，得到精度較高的瞬時切削厚度模型，進而求解出瞬時切削力。

2 銑削力影響因素對經驗模型的修正

2.1 刀具跳動與偏轉

在銑削過程中刀具跳動普遍存在且不可避免，對銑削力預測會有很大影響[100]。刀具跳動產生的原因主要有：機床主軸與夾具存在系統(tǒng)誤差、刀具制造誤差、刀具安裝誤差、加工中刀具的磨損。假設在沒有刀具跳動的理想狀態(tài)下，所有切削點與刀具旋轉軸等距，所有切削刃平等參與切削。跳動可視化為切割點圍繞不同幾何旋轉軸的旋轉狀態(tài)。當?shù)毒咻S線相對于機床夾具與主軸系統(tǒng)軸線存在夾角時，稱軸向跳動；若在平行的基礎上，刀具軸線相對于機床夾具與主軸系統(tǒng)的徑向偏移，稱之為刀具徑向跳動。軸向跳動一般很小，可以通過安裝基準面[101]將其影響降低。但是徑向跳動是導致切屑負荷在切削點之間不均勻的關鍵。由于切屑載荷分布不均勻，會導致刀具與主軸壽命縮短以及表面質量差，刀具跳動與偏轉原理圖，如圖8所示[102]。

圖8 刀具跳動與偏轉[102]Fig.8 Tool run-out and deflection[102]

Jing等[39]在第1類模型的基礎上，結合空間刀具跳動模型，在不同的軸向位置可以計算出未變形切屑厚度。Jing等[103]在第1類微元力模型的基礎上，通過考慮最小切屑厚度、刀具跳動、材料彈性恢復，建立了未變形切屑厚度的改進模型。Zhou等[104]在第1類微元模型的基礎上，考慮了刀尖的擺線軌跡、跳動、最小切屑厚度、彈性恢復及出入口角度變化的未變形切屑厚度模型。Feng[43]提出一種含有刀具跳動的球頭銑削力預測模型，研究了刀具軸線偏移和傾斜對未變形切屑幾何形狀的影響。如圖9所示[79]，顯示了刀具跳動、跳動角度與力和能量之間的關系。Wan等[105]提出了一種基于切削力測量來校準切削力系數(shù)和刀具跳動參數(shù)的方法。其中，切削力系數(shù)用瞬時未變形切屑厚度的指數(shù)函數(shù)來表示，在表示瞬時未變形厚度時，總結了3種刀具跳動模型，具體如下。

圖9 傳統(tǒng)刀具跳動與力、能量的關系[79]Fig.9 Relationship of traditional tool run-out, force and energy[79]

第1種跳動模型。在該模型中，考慮實際刀具跳動狀態(tài)，由軸線偏移與軸線傾斜構成，使用了ρ、λ、τ、φ等4個參數(shù)表示刀具實際半徑Ri，j（z），即

第2種跳動模型。在該模型中，假設刀具的軸線平行于機床主軸中心，該模型為模型1的簡化模型，其中，τ= 0，φ= 0。

式（10）為徑向跳動模型。

第3種跳動模型。該模型是第1種模型的另一個簡化，其中φ= 0。

式中，ρ為刀具軸線偏移；λ為偏置的定位角度，即偏置方向與最近的齒 （齒1）之間的角度；τ為刀具傾斜角，即刀具軸線方向與機床主軸中心線之間的角度；φ是銑刀傾斜的定位角度，即刀具傾斜方向和偏移方向之間的角度；R（z）為z處第i處凹槽的第j軸向圓盤元件的理想切削半徑；L為安裝后刀具伸出的長度；z、zi，j分別為第i處凹槽的第j軸向圓盤元件的軸坐標和長度；N為刀具齒數(shù)；ψ（z）為z軸徑向滯后角。

上述內容研究了刀具跳動對第1類微元模型的影響，有學者認為在研究刀具跳動與剪切力的關系時，應該考慮刀具跳動對耕犁力的影響，以求獲得更準確的銑削力預測模型。Li等[106]在第2類微元銑削力模型的基礎上，研究了刀具跳動、未變形切屑厚度、刀具傾角、剪切角、摩擦角、等效前角與耕犁力的相互關系。Gao等[107]針對刀具徑向跳動影響銑削力預測不準確的問題，在第2類微元模型的基礎上建立了考慮刀具跳動的瞬時切削厚度模型，得到了刀具徑向跳動在x、y、z方向上引起切削力的最大差值分別為16%、18.42%、18.18%。Artetxe等[108]在第2類微元模型的基礎上，運用實體建模法獲得了良好的精度，解決因刀具跳動誤差和刀具–工件柔性而產生的表面誤差。Sahoo等[109]在第2類微元力模型的基礎上，通過考慮刀具中心擺線軌跡、刀具跳動、最小未變形切屑厚度與彈性恢復，建立了一種未變形切屑厚度的改進方法。Zhang等[110]在第2類微元模型基礎上，建立了考慮軸向偏移、傾斜偏移與齒軌跡的未變形切屑厚度模型。Wang等[111]通過卷積積分法分析了立銑刀跳動對切削力的影響，其中切削力系數(shù)和跳動參數(shù)都是由傅里葉級數(shù)確定。Armarego等[112]提出了一個數(shù)值模型，并通過最佳擬合程序估算了端面銑刀跳動量。Rodríguez等[113]建立了一種考慮刀具跳動與刀具偏轉雙槽銑刀銑削力預測模型。Wan等[114]在其他學者的研究基礎上，提出了柔性銑削過程的改進模型。Sahoo等[115]提出了一種考慮刀具跳動、刀具中心擺線軌跡、齒的重疊、刃半徑和最小未變形切屑厚度的微銑削力預測模型，還提出了一種改進的未變形切屑厚度算法，該算法考慮了通過齒的軌跡，不是只考慮當前齒的軌跡。Zhang等[102]為了預測一般的三維切削力分量，在所提出的分析預測模型中，給出了相關的切削刃半徑尺寸效應、刀具跳動、刀具偏轉和刀具槽的余擺線軌跡。Yoon等[116]研究了微銑削中刀具偏轉和徑向切削深度對未變形切屑厚度的影響，研究表明，當切削的軸向深度限制在幾微米時，切削力的軸向分量可以忽略不計。聶強等[117]在第2類微元模型的基礎上，考慮了刀具余擺線軌跡的影響，建立了一種瞬時未變形切屑厚度模型。

從上述研究中分析得出，軸偏移與傾斜偏移都會使刀具產生跳動，刀具跳動通過影響刀尖軌跡，進而對瞬時未變形切屑厚度產生影響，然后導致銑削力預測不準確。在未變形切屑厚度改變的情況下，剪切力的大小會發(fā)生改變，但是耕犁力一般不會發(fā)生變化。

2.2 刀具磨損

通常認為刀具磨損是一種摩擦學特性，隨著加工過程而加劇，進一步增加表面粗糙度[118]。刀具磨損影響加工過程的表面質量、刀具壽命、尺寸精度和經濟性。

Liu等[79]以第1類微元模型為基礎，根據(jù)可變銑削參數(shù)和刀具磨損之間的關系可以得出：切削力系數(shù)對刀具磨損條件敏感，刀具切削參數(shù)和刀具磨損無關，通過不同切削參數(shù)和相互作用的切削力系數(shù)，可以有效表明刀具的磨損條件。Hou等[118]在第1類微元模型的基礎上，提出了一種考慮刀具磨損的銑削力模型，并提出了刀具磨損識別方法，研究了銑削力特征向量與刀具磨損之間的關系，對力模型進行了試驗與驗證。Zhu等[119]在第1類微元模型的基礎上，提出了一個具有可調系數(shù)的通用磨損模型，研究了銑削力與刀具后刀面磨損之間的關系。Sun等[120]研究了加工Ti6Al4V時切削力與刀具磨損的關系，考慮了切削條件、刀具幾何形狀和工件材料的影響，并將試驗結果、預測模型和仿真模型三者進行了比較。Zhu等[12]為了研究刀具磨損與切削力的影響關系，提出一種瞬時銑削力模型，該模型不以傳統(tǒng)的平均側翼磨損為研究對象，而是研究每齒磨損，結果表明，模型誤差與試驗數(shù)據(jù)的誤差小于1%，軸向瞬時銑削力與刀具磨損的相關性在0.9以上，該模型以第1類微元模型表示瞬時切削力，論文中的未變形切屑厚度由式 （12）與 （13）聯(lián)合表示。式 （12）表示當不考慮跳動與磨損時的未變形切屑厚度，式 （13）表示刀具跳動引起的額外未變形切屑厚度。

式中，fz為工件進給速率；φj（t，z）為軸向角度；k為刀工接觸區(qū)域的軸向角度；r0為刀具跳動長度；α0為刀具跳動角度；φp為旋轉角；ψ（z）為滯后角。

表1為每個銑削區(qū)域z軸邊界。其中，φj為刀工接觸區(qū)域第j銑削槽的軸角；R為刀槽刃口半徑；βc為刀具圓柱部分的螺旋角；g為單位階躍函數(shù)；ap為銑削深度。模型每齒銑削力與每齒磨損關系如圖10所示。

表1 刀工接觸邊界[12]Table 1 Contact boundary between tool and workpiece[12]

圖10 每齒銑削力與每齒磨損量和瞬時銑削力與每齒刀具磨損相關性[12]Fig.10 Correlation between milling force and wear per tooth and correlation between instantaneous milling force and tool wear per tooth[12]

上述研究人員在建立含有刀具磨損的微元力模型時，忽略了耕犁力對刀具磨損的影響。Oliaei等[121]基于第2類微元模型，研究了刀具磨損對表面粗糙度和銑削力的影響。Lu等[122]在第2類切削力模型的基礎上，建立了刀具后刀面磨損影響下的切削力預測模型，在微銑削過程中，得到了刀具后刀面對切削力有明顯影響的結論。Zhou等[123]提出了一種微型立銑刀切削力預測模型，包括刀刃半徑、材料強化、滑動摩擦系數(shù)變化與刀具跳動，模型中提出了一種新的迭代算法來計算有效前角、剪切角、摩擦角，在算法中考慮了邊緣半徑與滑動摩擦系數(shù)，試驗表明，滑動摩擦系數(shù)變化可以提高切削力對切削速度的影響，切削力隨著刀刃半徑的增加而增大。Said等[124]提出了一個分析球頭銑刀切削力與刀具側翼磨損、未變形切屑厚度、刀具幾何形狀關系的模型。Zhou等[125]在式 （14）的基礎上提出了一種估算微球頭銑刀銑削力的分析模型，揭示了微球頭銑刀的磨損形式和磨損機理，研究了每齒進給量、切削速度與傾角對后刀面磨損的影響，在第2類微元模型基礎上，考慮摩擦力，微元銑削力預測模型則為

其中，

式中，hc為包括刀具跳動在內的切削刃單元瞬時未變形切屑厚度；db為切削刃單元沿切削速度的投影長度。

式 （15）中的剪切力系數(shù)可以用式 （8）得出，耕犁力系數(shù)由式 （16）求得。

在側翼磨損地帶的摩擦力可以由式 （17）分為兩種情況得到。

第1種類型：VB

第2種類型：VB >VB*

式中，Ktw，Krw，Kaw為摩擦比系數(shù)；τ為剪切屈服應力；φn為剪切角；i為斜角；R0、η0、γ0、α0、ρ0為滑移線場參數(shù)；τw、σw為作用在側翼磨損地帶的剪切應力與正應力；VB、VB*為側翼磨損寬度和臨界側翼磨損寬度。

刀具切削過程中不可避免地會發(fā)生刀具磨損，隨著磨損的加劇，切削力、切削熱和刀具振動會不斷增大。刀具磨損導致加工表面質量變差、刀具壽命縮減，尺寸精度變低。刀具磨損影響切削力預測的準確性，進一步影響切削過程中機床功耗和夾具的設計。建立系統(tǒng)的銑削力預測模型以優(yōu)化工藝參數(shù)、減少刀具磨損、優(yōu)化刀具壽命、提高能量利用效率和表面加工質量為研究重點。在剪切力與摩擦力基礎上考慮耕犁力對刀具磨損的影響有待進一步探索，刀具磨損非線性難預測的特點，對于發(fā)掘快速準確的銑削力預測模型有較大的挑戰(zhàn)。

3 結論及展望

本研究綜述了銑削復雜曲面的經驗銑削力模型研究現(xiàn)狀，結合經驗切削模型中的切削力與耕犁力，將經驗切削力模型分為兩類，并簡要分析了影響銑削力模型的主要因素。結合國內外研究，對未變形切屑厚度、切削力系數(shù)、切觸區(qū)域識別等重要參數(shù)與研究方法進行了總結。為了彌補經驗銑削力模型的不足，總結了部分學者對刀具跳動與偏移、刀具磨損的研究內容，以提高經驗銑削力模型的預測精度。通過對近年來相關文獻的分析，主要結論如下。

（1）在銑削經驗模型中，兩種模型的適用范圍有略有不同。一般來說，第1類微元模型適用于常規(guī)銑削，第2類微元模型適用于復雜曲面銑削。由于第2類微元模型考慮了耕犁力的影響，能更準確地接近真實切削力。

（2）對于曲面銑削的瞬時銑削厚度，主要根據(jù)實際齒廓軌跡和加工表面的幾何特征建立解析模型。銑削厚度模型的精度還受到導程角、每齒進給量、切削深度與刀具跳動的影響。

（3）銑削復雜薄壁曲面時，常用測量銑削力來識別切削力系數(shù)，將瞬時切削力系數(shù)表示為瞬時未變形切屑的函數(shù)，提高瞬時切削力預測的準確性。用表面誤差法識別切削力系數(shù)對機床精度有較高要求，且機床引起的誤差不容忽視，否則將極大地影響銑削力系數(shù)識別的精度。

鑒于目前經驗銑削力模型的研究成果，需要克服以下困難。

（1）許多學者對瞬時銑削力建模研究主要集中在1個或2個因素上，但銑削力是銑削參數(shù)、刀具跳動與偏移、刀具磨損、尺寸效應等多因素耦合的結果，特別是加工薄壁復雜曲面所用的銑削力預測模型，不能只局限于主要影響因素，仍需要進一步研究其他影響因素。

（2）薄壁零件加工中的顫振問題也是影響加工質量一個的因素。目前，銑削力預測模型忽略了該因素的影響，這種疏忽可能會在一定程度上影響銑削力模型的準確度。

（3）精確的銑削力模型不僅可以優(yōu)化銑削參數(shù)，還為預測加工變形提供參考依據(jù)，保證加工零件的表面質量。在銑削加工過程中，真實刀具軌跡為次擺線，需要進行更深入的研究，以建立與實際軌跡一致的銑削厚度模型。

（4）目前，數(shù)字孿生在工業(yè)上發(fā)展迅速，應用于許多工業(yè)領域，實現(xiàn)對物理實體實時性與真實性的在線監(jiān)測。如何把銑削力預測技術與數(shù)字孿生技術相結合并服務于現(xiàn)在制造業(yè)，尚待深入研究拓展。