安成錦， 王雪瑩， 許 可， 李德鑫

（國防科技大學電子科學學院，長沙 410073）

0 引 言

隨著電子計算機和大規(guī)模集成電路技術的迅猛發(fā)展，數(shù)字信號處理在理論和應用上都有了突飛猛進的發(fā)展，從根本上改變了信息產(chǎn)業(yè)的面貌，并不斷開辟出新的研究方向和應用領域［1］。時域抽樣搭建連續(xù)時間信號與離散時間信號的橋梁，是“信號與系統(tǒng)”課程的重要知識點。在數(shù)字信號處理技術和計算機廣泛應用的今天，連續(xù)時間信號的離散處理顯得尤為重要［2-4］。

1 時域抽樣定理

時域抽樣定理作為“信號與系統(tǒng)”課程中最重要的知識點之一，闡述了在時域如何進行抽樣，得到的離散樣本點x（n）才能保留連續(xù)時間信號x（t）的所有信息［4-6］：若帶限信號x（t）的最高角頻率為ωm，則當抽樣角頻率滿足ωs＞2ωm時，信號x（t）可用等間隔抽樣得到的離散樣本點x（t ）［記做x（n）］唯一地表示，其中：T為抽樣間隔；n為任意整數(shù)。

該定理的推導需要借助圖1 所示理想抽樣的時頻域分析［7-8］，學生很難直接看到時域離散化后的樣本點，更不易直觀想象離散化的樣本點如何保留了原信號的所有信息，若配以合理且直觀的實驗，有助于加深理解，同時達到學以致用的目的。

圖1 理想抽樣的時頻域分析

2 實驗系統(tǒng)框架

通用計算機一般配置了聲卡，結構如圖2 所示［9］。通過A/DC，可實現(xiàn)對聲音信號的抽樣、量化、編碼，得到數(shù)字信號?；謴蜁r，將這些數(shù)字信號送到一個D/AC還原為連續(xù)時間信號，放大后送到揚聲器發(fā)聲。采用通用計算機進行聲音抽樣與恢復實驗，不僅可以實現(xiàn)零成本的硬件實驗，而且可隨時隨地開展實驗調試和結果分析。

圖2 聲卡結構示意圖

為便于實驗調試和數(shù)據(jù)分析，實驗框架需要滿足：聲音信號頻譜成分相對單一；抽樣頻率可調。

經(jīng)過分析，設計出圖3 所示的聲音抽樣實驗系統(tǒng)框架，抽樣過程如圖4 所示。依次敲擊敲琴片，產(chǎn)生“1 2 3 4 5 6 7 i”的音階作為被抽信號x（t）；利用Matlab/Simulink的“From Audio Device”［10-11］模塊實現(xiàn)抽樣頻率可調的聲音抽樣，該模塊參數(shù)設置界面如圖5 所示；利用“To Multimedia File”［12］模塊將抽樣得到的離散樣本點存儲在音頻文件中，以便后續(xù)進行數(shù)據(jù)分析。

圖3 聲音抽樣實驗系統(tǒng)框架

圖4 聲音抽樣過程

3 數(shù)據(jù)分析

3.1 聲音的抽樣

如表1 所示，分別選取44.10、11.03、8.000 和4.000 kHz［13-15］的頻率對敲琴聲音進行抽樣，抽樣時長均設置為5 s，分別將抽樣得到的離散樣本點存儲在4個不同的音頻文件中。

表1 抽樣頻率的選擇

3.2 聲音的恢復

依次播放4 個音頻文件，實現(xiàn)信號的恢復。觀察發(fā)現(xiàn)，抽樣頻率為44.10 和11.03 kHz時，恢復的聲音信號與原始信號內容一致；抽樣頻率為8.000 kHz時，“i”音前后不一致；而抽樣頻率為4.000 kHz時，除“1”音外，幾乎全都不一致。

通過實驗可以直觀得出以下結論：若抽樣頻率滿足一定的條件，如44.10 或11.03 kHz，抽樣得到的離散樣本點能恢復聲音信號?？蓪⒃摻Y論與時域抽樣定理結合起來，加深學生對時域抽樣的認識。

3.3 敲琴聲音的時頻域分析

進一步對11.03 kHz得到的離散樣本點進行時頻域分析，結果如圖6 所示。具體程序如下［8］：

圖6 敲琴聲音的時域波形及幅度頻譜

close all；clear all；clc

［music，F(xiàn)s］= audioread（′11025.wav′）；%讀取音頻信號

N = length（music）；%數(shù)據(jù)點數(shù)

t =（0：N-1）/Fs；%時間自變量

xn = music；%x（n）

figure；subplot（1，2，1）；plot（t，xn）；

title（′敲琴聲音時域波形′）；

xlabel（′｛itt｝/s′，′fontname′，′times new roman′）；

ylabel（′電壓u（p.u.）′）

music_ft = abs（fft（music））；%快速傅里葉變換

f =（0：floor（N/2）-1）/N*Fs；%頻域自變量

music_ft = music_ft（1：floor（N/2））；%選取右半邊

music_ft = music_ft/max（music_ft）；%歸一化

subplot（1，2，2）；plot（f，music_ft）；

title（′敲琴聲音幅度頻譜′）；

xlabel（′｛itf｝/Hz′，′fontname′，′times new roman′）

ylabel（′幅度A（p.u.）′）

如圖6 所示，幅度頻譜有8 個尖峰，分別對應“1、2、3、4、5、6、7，i”。分別取出8 個尖峰對應的橫坐標，即可得到圖3 中8 個敲琴片所對應的頻率分別為1.905、2.146、2.377、2.640、2.894、3.341、3.729 和3.940 kHz，因此敲琴聲音的最高頻率fm=3.940 kHz。

3.4 時域抽樣定理的驗證

得到敲琴聲音的最高頻率后，可結合音頻文件的播放效果驗證時域抽樣定理。

表1 中的44.10 和11.03 kHz均大于2 ×3.940 =7.880 kHz，滿足時域抽樣定理，所以播放效果較好，而4.000 kHz遠小于7.880 kHz，因此播放效果較差。存疑的是8.000 kHz，雖然其僅約為2.03fm，但是也滿足時域抽樣定理?！癷”音前后不一致的原因有很多同學認為是理論和實際應用有一定的差距。但這樣的“自圓其說”并沒有充分挖掘離散樣本點的信息，無法鍛煉學生的求真和實證精神。

為分析8.000 kHz得到的離散樣本點是否保留了“i”音的信息，畫出該抽樣頻率得到的抽樣信號的時域波形和幅度頻譜，如圖7 所示。取出8 個尖峰對應的橫坐標，頻率同樣為1.905、2.146、2.377、2.640、2.894、3.341、3.729 和3.940 kHz，也就說明了當抽樣頻率為8.000 kHz、滿足時域抽樣定理時，抽樣得到的離散樣本點保留了“i”音的信息。

圖7 抽樣頻率為8.000 kHz 時敲琴聲音的時域波形及幅度頻譜

這也驗證了時域抽樣定理工程應用的準確性，實際應用中只要滿足時域抽樣定理，抽樣得到的離散樣本點就可以保留連續(xù)時間信號的所有信息。例如在對雷達回波進行抽樣提取目標特征時，抽樣頻率只需大于2.2fm即可。

3.5 時域恢復對抽樣頻率的要求

進一步分析抽樣頻率為8.000 kHz 時，抽樣得到的離散樣本點雖然保留了敲琴聲音的所有信息，但播放時“i”音前后不一致的原因。此時人耳聽到的聲音是恢復后的效果，圖2 中說明了恢復時需經(jīng)過濾波器，而實際濾波器是有過渡帶的。考慮到過渡帶的影響，如果需恢復，抽樣頻率一般要選擇（3 ～5）fm，甚至更高。

4 結 語

借助通用計算機實現(xiàn)聲音的抽樣與恢復實驗，學生可隨時隨地動手實踐。理論和實踐有機結合，既可加深學生對時域抽樣定理的理解，又鍛煉其求真和科學精神，為后續(xù)專業(yè)課程的學習奠定了良好的基礎。