胡雙霞,張 楠,張瀚清,趙琳琳,王 巖,李金紅

齊魯工業(yè)大學(山東省科學院) 數(shù)學與人工智能學部,山東 濟南 250353

草地資源雖然屬于可再生資源,但過度使用會使得溫帶草原退變?yōu)榛哪菰罱K變?yōu)榛哪?所以需要對草原資源實施科學管理控制。牧民們賴以生存的草原系統(tǒng)屬于比較脆弱的生態(tài)系統(tǒng),因此保護草原系統(tǒng)尤為重要。為保持草原可持續(xù)發(fā)展,研究放牧數(shù)量和牧草之間的關系可提供理論依據。

安玉鋒等[1]采用放牧系統(tǒng)動態(tài)模型描述特定空間內牧草和家畜量變過程,發(fā)現(xiàn)牧草增長率和綿羊種群采食率軌跡圖中出現(xiàn)2個平衡點,2個點之間的牧草生產量有貯存效應,2點之外為存在缺草期,只有發(fā)揮系統(tǒng)耦合的效應能力方可使放牧系統(tǒng)健康發(fā)展。張彥宇等[2]在草原放牧系統(tǒng)管理的問題中考慮到環(huán)境因素(降水、溫度等)存在周期性變化及放牧周期的干擾,建立存在周期制約作用的草地放牧系統(tǒng)管理的最優(yōu)控制模型。張慧玲等[3]通過實驗就不同耗牛放牧強度對牧草生長的環(huán)境進行了研究,實驗結果表明禁止放牧和高強度放牧均會使草原呈現(xiàn)“雙向退化現(xiàn)象”,輕度放牧則會使得牧草保持良好的生長狀態(tài)。Majumdar Prahlad等[4]研究Caputo型分數(shù)階3種群食物鏈模型時,討論了所需參數(shù)條件下的所有可能平衡點。

上述研究對草原牧草和放牧數(shù)量進行了系統(tǒng)分析,牧草和放牧數(shù)量之間存在平衡點,放牧強度過高或者過低,均對草場不利。但是這些研究幾乎都未提及一個重要的因素,即草場和放牧的牲畜是相互作用和影響的。牧草可為牲畜提供營養(yǎng),同樣牲畜排除的糞便可作為無機肥料為牧草供給養(yǎng)料[5-8],因此二者之間存在一種互惠關系。本文考慮牧草和牲畜的互惠關系及阻滯性,采用食餌捕食模型研究牧草和放牧數(shù)量存在的平衡點問題。

1 未考慮自身阻滯一般模型建立

食餌捕食模型[9]是生態(tài)學中比較常見的數(shù)學模型,Volterra模型講述食餌在不被外界因素影響而獨立生長的情況下是呈指數(shù)增長的,從而草在不被影響下也為指數(shù)增長,不妨設草的相對增長率為r1,則草在t時刻增長率可以用方程表示

x′(t)=r1x,

(1)

羊的存在使得草的數(shù)量不斷減少,即草在x′(t)時刻的增長率減少,將(1)改進后,x′(t)滿足方程

x′(t)=r1x-σ1xy,

(2)

其中,σ1為單位數(shù)量羊吃草的能力。

同樣,在沒在有人工喂養(yǎng)情形下,羊群離開牧草無法生存,因此沒有牧草時,會出現(xiàn)負增長。假設羊群在不被外界投喂的情況下獨立生存時死亡率為a,則羊在t時刻的增長率表達式為

y′(t)=-ay。

(3)

牧草為羊提供豐富的食物,從而減少羊的死亡率并且促進羊群數(shù)量的增加,則更為精確的羊在t時刻增長率表達式為

y′(t)=-ay+σ2xy,

(4)

其中,σ2為單位數(shù)量草對羊的供養(yǎng)能力。

草相當于食餌捕食模型中的食餌,依靠肥沃的土壤和適量的降水等自然資源得以生長,羊則為捕食者需要以草為生。聯(lián)立方程(2)和(4)求穩(wěn)定點

通過MATLAB做出式(2)和(4)關系圖像如圖1所示。由圖1可知,牧草和羊群之間聯(lián)系密切,隨著牧草的增多,羊群的數(shù)量會急劇上升,達到一定值羊群之間的相互競爭,牧草的數(shù)量會急劇減少,羊的數(shù)量也會隨之減少,循環(huán)往復呈周期性變化。隨時間變化,并沒有出現(xiàn)相對穩(wěn)定的狀態(tài),因此可推測平衡點不穩(wěn)定。

圖1 牧草和羊群在一般模型下隨時間變化關系圖像

2 互惠模型建立

在飼養(yǎng)牲畜過程中,羊群或者草均存在自己與自己的競爭,即常說的自身阻滯。在考慮自身阻滯條件下,還要加入物種之間相互影響的因素,即若牧草增多,則羊群也會隨之增加,直至增加到一個平衡點,超過平衡點以后羊群和牧草的數(shù)量均會下降。為保證牧草的可持續(xù)增長,需要將放牧強度控制在一定范圍,因此研究放牧強度和牧草平衡點[10-11],采用更加精確的模型：

聯(lián)立(6)和(7)式：

考察平衡點是否穩(wěn)定有直接法和間接法兩種基本方法,本文采用直接法判斷[12-13]。直接法對于一些不能求精確解的方程使用起來非常方便,可在不知方程解的情況下直接判斷平衡點穩(wěn)定性。首先求得方程組的系數(shù)矩陣為

其中對方程組系數(shù)矩陣中各元素求導如下

令m=-(Fx+Gy),n=|H|。平衡點穩(wěn)定需要滿足條件為m>0,n>0;若計算出m<0或者m<0則平衡點均看作是不穩(wěn)定的。因為穩(wěn)定點才能作為牧草和羊群放牧強度的閾值,所以要判斷平衡點是否穩(wěn)定。

(a)σ1<1,σ2>1,σ1σ2<1時,第3個平衡點滿足條件,因此該平衡點是穩(wěn)定的,牧草和羊群數(shù)量在此平衡點附近最有利于兩種群生存。

(b)σ1>1,σ2<1,σ1σ2>1時,第3個平衡點n<0,因此不滿足平衡條件,平衡點在這種條件下是不穩(wěn)定的。

給定符合(a)條件的模擬值r1=4,σ1=0.9,r1=0.5,σ2=1.1,N1=300,N2=200,通過MATLAB做出式(6)和(7)關系圖像如圖2所示。由圖像可知隨著牧草的增多羊群數(shù)量也是增加的,最終趨于穩(wěn)定。相較于一般模型,此模型震蕩較較小,比較平穩(wěn),但是長時間將放牧數(shù)量控制在穩(wěn)定的平衡點附近,也是不利于牧草生長的,因為長時間的啃食踩踏會導致土壤質量下降。

圖2 牧草和羊群在阻滯模型下隨時間變化趨勢

3 模型優(yōu)化

倘若將牲畜長時間集中在一個地方放牧,牲畜長時間啃食踐踏牧草,會造成土壤板結化,這對牧草可持續(xù)生長非常不利[14]。因此為保護牧草再恢復,不防將牧草分為成年草和幼年草,對于還未長大的幼年草實施保護,可以將牧區(qū)劃片讓牲畜去成年草草場吃草,待到幼年草草場長大,再將牲畜驅趕至長大的幼年草草場[15-16]。建立含有幼年草增長率項的成年草微分方程：

X′(t)=r3Y-σ3XZ-b1X+σ4Z,

(14)

其中t時刻放牧成年草的數(shù)量、不能放牧幼年草的數(shù)量以及放牧羊的數(shù)量分別用X(t)、Y(t)、Z(t)表示;r3反映草的增長率,即幼年草長為成年草的效率,與上文提到的r1類似;σ3也與上文涉及的σ1相仿,即表示羊吃草的能力。相較于(2)式,此模型多了后兩項,b1為草在環(huán)境競爭作用下存在的死亡率,b1X可理解為自身阻滯項;σ4與上文表達σ3含義相近,即反映羊群對牧草的供養(yǎng)能力或者促進能力。

建立幼年草增長率模型：

Y′(t)=σ5X-b1Y,

(15)

其中σ5為幼年草長為成年草率。

Z′(t)=σ6XZ-b2Z,

(16)

其中σ6反映牧草對羊群的供養(yǎng)能力,b2表示羊群之間的競爭存在的死亡率。此方程與(4)表達含義一樣。將(14)、(15)和(16)方程聯(lián)立得

4 模型優(yōu)化后的數(shù)值模擬

給式子(14)、(15)、(16)的參數(shù)r3、σ3、b1、σ4、σ5、σ6、b2數(shù)值,通過MATLAB軟件編程,來驗證平衡點的穩(wěn)定性。將r3=4,σ3=0.5,b1=0.1,σ4=0.1,σ5=0.2,σ6=0.01,b2=0.04代入(14)、(15)、(16),可得到成年草、幼年草以及羊群的增長率關系圖像,如圖3所示。

5 結 論

(1)一般模型中考慮的系統(tǒng)非常理想,牧草和羊群的相互影響較大,一方變化會導致另一方出現(xiàn)很大的波動,因此平衡點是不穩(wěn)定的。

(2)在互惠模型中,考慮牧草和羊群都存在自身的阻滯,并且還考慮了羊群的啃食和排泄物會促使牧草增長,模型中求的平衡點是穩(wěn)定的,然而長時間在一個地方放牧不利于牧草生長。

(3)優(yōu)化模型中,將牧草分為成年草和幼年草,實際上可看作兩類食餌一類捕食者的模型,從優(yōu)化模型中得到穩(wěn)定的平衡點,求得牧草和羊群的數(shù)量關系最好維持在平衡點附近。

(4)通過對一般模型、互惠模型以及優(yōu)化模型比較,得出放牧最好采取分區(qū)放牧的結論。牧草劃區(qū)放牧不但可以實現(xiàn)牧民利益最大化,還可以實現(xiàn)牧草的可持續(xù)利用。

(5)根據對牧草和放牧強度的分析可采取以下舉措：分類劃片放牧,將牧草分為幼年草和成年草,羊群分為大型羊和小型羊;按季節(jié)輪牧,將牧區(qū)分為春夏秋冬四季。