李 堯,付營(yíng)帥

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 四川成都 610000)

0 引言

改革開(kāi)放以來(lái)我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展取得了顯著成就的同時(shí)也產(chǎn)生了許多嚴(yán)重的環(huán)境問(wèn)題,尤其是土壤與地下水污染問(wèn)題,已經(jīng)嚴(yán)重危害到人類(lèi)健康。土壤與地下水安全是人類(lèi)賴(lài)以生存的保障和人類(lèi)健康發(fā)展的前提。土壤及地下水是人類(lèi)生產(chǎn)活動(dòng)的重要物質(zhì)基礎(chǔ)。由于城市生活垃圾和工業(yè)“三廢”的不合理處置,以及農(nóng)藥、化肥的大量使用,導(dǎo)致區(qū)域土壤、地下水污染狀況日趨加重,對(duì)區(qū)域內(nèi)居民飲水安全、糧食安全構(gòu)成了嚴(yán)重威脅[1]。保護(hù)土壤和地下水資源是我國(guó)的重要任務(wù),對(duì)我國(guó)的可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略起著至關(guān)重要的作用。隨著環(huán)境污染問(wèn)題日益嚴(yán)重,我國(guó)對(duì)環(huán)境污染的問(wèn)題愈加重視,但目前缺乏對(duì)污染物在土壤和地下水中運(yùn)移快速且有效的評(píng)估手段。

國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者研究污染物在土壤及地下水中運(yùn)移數(shù)學(xué)模型,Ogata and Banks(1961)[2]基于土體為均質(zhì)、各向同性且處于飽和狀態(tài),不考慮化學(xué)吸附作用和其他反應(yīng)影響等假設(shè)建立了污染物在半無(wú)限厚度土層中的一維對(duì)流-彌散方程。van Genuchten (1981)[3]假設(shè)含水層為半無(wú)限含水層,基于拉普拉斯變換推導(dǎo)了在第一類(lèi)邊界條件(固定濃度邊界)和第三類(lèi)邊界條件(可變通量邊界條件)下無(wú)降解的溶質(zhì)運(yùn)移解析解。Bear(1972)and van Genuchten and Alves (1982)推導(dǎo)了包含降解在內(nèi)的一維溶質(zhì)運(yùn)移解析解。Rowe and Booker(1985)[4]提出了在有限厚度的黏土層中包含對(duì)流、擴(kuò)散-彌散、化學(xué)吸附作用的污染物一維運(yùn)移半解析解并考慮了地下水流速對(duì)濃度分布的影響。Yeh等(2007)[5]基于拉普拉斯變換提出了在第一類(lèi)和第三類(lèi)邊界條件下一維半無(wú)限介質(zhì)中溶質(zhì)運(yùn)移方程解析解。王超等(1998)建立了水分和污染物之間耦合遷移理論模型,并通過(guò)有限差分法對(duì)污染物在非飽和分層土中遷移特性進(jìn)行了研究。欒茂田等(2005)[6]對(duì)污染物頂部濃度采用了指數(shù)衰減關(guān)系,在有限厚度條件下進(jìn)行了填埋場(chǎng)污染物運(yùn)移過(guò)程數(shù)值模擬的一維計(jì)算。陳云敏等(2006)[7]和謝海建等(2008)[8]采用了分離變量法得出了成層土中污染物一維擴(kuò)散解析解。

1 一維溶質(zhì)運(yùn)移解析解

溶質(zhì)在多孔介質(zhì)中運(yùn)移主要受對(duì)流、分子擴(kuò)散和機(jī)械彌散、吸附及分子降解等因素影響,其控制方程偏微分方程形式如式(1)所示。

(1)

式中:c為液相中溶質(zhì)濃度;t為溶質(zhì)運(yùn)移時(shí)間;R為阻滯因子;Dij為水動(dòng)力彌散系數(shù),包括分子擴(kuò)散系數(shù)與機(jī)械彌散系數(shù);vi為實(shí)際水流速度;S表示包括生物降解和化學(xué)反應(yīng)等一系列反應(yīng)。

1.1 常濃度邊界條件下溶質(zhì)運(yùn)移一維解

一維溶質(zhì)運(yùn)移控制方程見(jiàn)式(2)～式(5)。

(2)

常濃度邊界條件:

C=C0,x=0

(3)

(4)

初始條件:

C=0,0

(5)

假設(shè):

(1)流體密度、粘度為常數(shù)。

(2)溶質(zhì)具有一階化學(xué)反應(yīng)(對(duì)于保守溶質(zhì),λ=0)。

(3)流動(dòng)只存在于x方向,并且速度為常數(shù)。

(4)縱向色散系數(shù)D為常數(shù)。

常濃度邊界下解析解見(jiàn)式(6):

(6)

1.2 可變通量邊界條件下污染物運(yùn)移一維解

一維溶質(zhì)運(yùn)移控制方程見(jiàn)式(7)～式(10)。

(7)

可變通量邊界條件:

(8)

(9)

初始條件:

C=0,0

(10)

假設(shè):

(1)流體密度、粘度為常數(shù);

(2)溶質(zhì)具有一階化學(xué)反應(yīng)(對(duì)于保守溶質(zhì),λ=0);

(3)流動(dòng)只存在于x方向,并且速度為常數(shù);

(4)縱向色散系數(shù)D為常數(shù)。

可變通量邊界條件下解析解見(jiàn)式(11)。

(11)

2 無(wú)量綱分析

帶有量綱方程在不同單位制下會(huì)多出不同的常數(shù),通過(guò)數(shù)學(xué)變換對(duì)溶質(zhì)運(yùn)移方程中的變量進(jìn)行無(wú)量綱分析變?yōu)檎嬲枋鋈苜|(zhì)運(yùn)移規(guī)律的量,使得方程明晰易懂。同時(shí),無(wú)量綱參數(shù)比較適用于不同解析解間的比較,因?yàn)榕c使用實(shí)際參數(shù)相比,使用無(wú)量綱參數(shù)可以覆蓋更廣的參數(shù)值。

2.1 第一類(lèi)邊界條件

定義以下無(wú)量綱參數(shù)見(jiàn)式(12)。

(12)

式中:CR是相對(duì)濃度;tR是無(wú)量綱時(shí)間;Pe是貝克萊數(shù);λR是無(wú)量綱一階衰減常數(shù);V是溶質(zhì)運(yùn)移速率;x是任意位置離污染源的距離;t是溶質(zhì)運(yùn)移時(shí)間;D是水動(dòng)力彌散系數(shù)。

基于上述定義無(wú)量綱參數(shù),式6變換為式(13)。

(13)

2.2 第三類(lèi)邊界條件

基于上述定義無(wú)量綱參數(shù),式(11)變換為式(14)。

(14)

表1 無(wú)量綱參數(shù)取值

圖1 一維溶質(zhì)運(yùn)移解無(wú)量綱曲線(xiàn)

圖2 穩(wěn)態(tài)條件下衰減對(duì)解的影響

圖3 v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)不同無(wú)量綱時(shí)間值沿羽流中心線(xiàn)的解

3 案例計(jì)算

使用某一典型污染場(chǎng)地參數(shù)說(shuō)明上述2種溶質(zhì)運(yùn)移解析解的差異。污染源位于地下水位以下3 m,污染源濃度為358 mg/L,假設(shè)污染物位于的含水層是一維流動(dòng),其滲流速率為3.69×10-6m/s,污染物的有效彌散系數(shù)值為2.34×10-5m2/s,其一階降解速率估計(jì)值為0.000 01 1/d。

圖4根據(jù)貝克萊數(shù)定義給出從污染源到距離源頭150 m處貝克萊數(shù)值,可以得到在距離污染源150 m內(nèi),貝克萊數(shù)在25以?xún)?nèi)變化。圖5繪制了在0.3年、0.5年、1年時(shí)間范圍內(nèi)且降解速率為0.000 01 1/d時(shí)貝克萊數(shù)與CR曲線(xiàn),可以看出v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)解的結(jié)果隨著時(shí)間的增加相對(duì)濃度均逐漸降低,但兩者的差異逐漸減小。圖6繪制了0.3年、0.5年、1年時(shí)間范圍內(nèi)貝克萊數(shù)與相對(duì)濃度曲線(xiàn)圖,此時(shí)一階衰減速率為0.005 1/d,圖6與圖5比較可以看出,衰減越快其相對(duì)濃度降低越快。v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)解的結(jié)果相對(duì)濃度值差異不大,若初值濃度值較高,則相對(duì)濃度值微小的差異也會(huì)導(dǎo)致較大的結(jié)果。

圖4 貝克萊數(shù)曲線(xiàn)

圖5 v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)不同無(wú)量綱時(shí)間值下沿源中心線(xiàn)的解

圖6 v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)不同無(wú)量綱時(shí)間值沿羽流中心線(xiàn)的解

4 結(jié)果討論

用v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)提出的溶質(zhì)運(yùn)移一維解在無(wú)量綱時(shí)間和空間中計(jì)算恒定濃度下點(diǎn)源的衰減一維溶質(zhì)運(yùn)移可以更全面地考慮2種溶質(zhì)運(yùn)移解的差異。計(jì)算結(jié)果表明,沿著地下水流動(dòng)方向,若以對(duì)流擴(kuò)散為主導(dǎo)且污染物初始濃度較小,則2種解之間的差異在實(shí)際應(yīng)用中可以忽略不計(jì),但通常來(lái)講由于v G and Alves (1982)解假設(shè)污染源為固定濃度,因此更加保守,但v G and Bear (1972)滿(mǎn)足質(zhì)量守恒定律可能更符合實(shí)際情況。如果對(duì)大量污染源進(jìn)行快速濃度分布評(píng)估,應(yīng)采取保守做法,優(yōu)先選擇v G and Alves (1982)的解。