鐘曉蕓

(廣西師范大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

0 引言

信號與系統(tǒng)課程是電子信息類專業(yè)必修的重要專業(yè)課程之一，高等數(shù)學(xué)、電路和復(fù)變函數(shù)等是它的先修課程,而其后續(xù)課程則有數(shù)字信號處理和自動控制原理等[1-2]。該課程既是信號處理領(lǐng)域的入門課程,也包含后續(xù)課程學(xué)習(xí)及學(xué)生考取研究生的重要基礎(chǔ)理論，其特點是概念抽象較難理解,數(shù)學(xué)推導(dǎo)復(fù)雜較難掌握,結(jié)果靈活較難運用。該課程的理論性和實踐性都較強(qiáng),其課程目標(biāo)主要是使學(xué)生獲得連續(xù)系統(tǒng)的時域分析和s域分析、離散系統(tǒng)的時域分析、傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析、拉普拉斯變換、系統(tǒng)狀態(tài)動力學(xué)分析等,同時提高學(xué)生的實踐能力?？紤]到該課程涉及較多的現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識,概念抽象,內(nèi)容靈活,沒有一定的養(yǎng)成訓(xùn)練和實驗試探,相當(dāng)多的同學(xué)會對其原理和方法感到難以正確把握，特別是對于課程中諸如時域分析和頻域分析以及系統(tǒng)動力學(xué)特征等重要的知識點和較難掌握的內(nèi)容，僅通過教師傳統(tǒng)課堂的教學(xué),容易造成學(xué)生們不愿意手工求解，或者對原理的運用不得要領(lǐng)。

為此,文章在課程實驗的教學(xué)環(huán)節(jié)中有針對性地結(jié)合若干經(jīng)過簡化的科研前沿問題，引入若干Matlab仿真實驗,引導(dǎo)學(xué)生通過計算機(jī)編程完成數(shù)值仿真，以便可視化地演示課程的一些基本原理及方法,達(dá)到科研實踐與課程教學(xué)相互融合,增強(qiáng)學(xué)生在計算機(jī)軟件的配合下正確把握課本知識,適當(dāng)開展一定的科學(xué)探索的目的。實踐表明，由于結(jié)合一些適當(dāng)簡化的科研前沿問題，加上Matlab程序設(shè)計語言非常簡潔而高效，可以很快掌握，極大調(diào)動了學(xué)生自己進(jìn)行課程實驗的積極性。大家主動參與實驗、自己試著編寫M程序?qū)崿F(xiàn)對所學(xué)基本原理和方法進(jìn)行實驗驗證，包括對于文獻(xiàn)上的一些可類比的新結(jié)果進(jìn)行檢驗，有效地促進(jìn)了學(xué)生創(chuàng)新能力的提升。客觀上，由于Matlab軟件不僅運算能力強(qiáng)大,而且計算精度特別高,其數(shù)值計算誤差可以調(diào)節(jié)。這些特點使得Matlab 仿真結(jié)果能夠真實地反映與理論分析的一致性,相比傳統(tǒng)的課程實驗教學(xué)具有明顯的創(chuàng)新優(yōu)勢。通過這些實驗,將有助于學(xué)生理解和運用現(xiàn)代信號與系統(tǒng)課程的基本原理和方法,獲得利用Matlab仿真解決現(xiàn)代分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的初步科研訓(xùn)練。

1 基于科研實踐與課程教學(xué)相互融合的課程實驗設(shè)計

基于科研實踐與課程教學(xué)相互融合理念[3]，結(jié)合Matlab仿真開展信號與系統(tǒng)課程實驗的設(shè)計，有效打破了以在實驗中大量使用硬件和常規(guī)問題為特征的傳統(tǒng)實驗教學(xué)的局限性,實驗項目設(shè)計可以很容易地觸及科研前沿內(nèi)容，同時聯(lián)系到連續(xù)或離散系統(tǒng)的時域仿真和頻域分析等理論課程中的難點和重點,學(xué)生們通過編寫M程序并自己上機(jī)進(jìn)行測試分析,不僅增加了實驗設(shè)計的前沿性和實驗項目選擇的靈活性,而且使得信號與系統(tǒng)的計算可以直觀演示。這樣,在開展信號與系統(tǒng)課堂理論學(xué)習(xí)的同時,通過計算機(jī)的配合,不僅學(xué)會Matlab 基本的編程技巧和實現(xiàn)方法,而且嘗試將體現(xiàn)課程基本原理的重難點習(xí)題及通過將課本中的一些連續(xù)信號系統(tǒng)的狀態(tài)方程進(jìn)行分?jǐn)?shù)階推廣。具體來說,我們結(jié)合若干課程實驗內(nèi)容的分?jǐn)?shù)階推廣并且借用Matlab 程序和仿真演示，給學(xué)生布置一些應(yīng)用Matlab語言的課程習(xí)題作為實驗作業(yè),不僅有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生綜合運用計算機(jī)輔助分析實際控制系統(tǒng)的科研創(chuàng)新能力,而且有利于加深對信號與系統(tǒng)課程的基本原理、基本方法的理解。

1.1 應(yīng)用Matlab 語言進(jìn)行仿真

在課程實驗中應(yīng)用Matlab 進(jìn)行分?jǐn)?shù)階的信號和系統(tǒng)的可視化繪圖,主要使用到plot,stairs,stem,jieyue,即階躍函數(shù)等,以及一些簡單的拉普拉斯變換及其逆變換的Matlab 求解命令laplace，ilaplace 的分?jǐn)?shù)階實現(xiàn)。

1.2 分?jǐn)?shù)階連續(xù)時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性、時域分析及頻域分析

與經(jīng)典的整數(shù)階系統(tǒng)類似，簡單分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法最主要的也是根軌跡法和李雅普諾夫方法。根軌跡法主要通過雅可比迭代法分解法計算系統(tǒng)雅可比矩陣A的特征值λ(A),并且根據(jù)其分布情況判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性,如果涉及導(dǎo)數(shù)的階為分?jǐn)?shù)階α∈(0,1],且arg(λ(A)) >πα/2 時,可判定系統(tǒng)是穩(wěn)定的。李雅普諾夫方法主要通過判別滿足PA+ATP=-Q的矩陣P的性質(zhì)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。這些分析方法涉及Matlab 函數(shù)主要有:時域分析函數(shù)，比如，impulse.m、step.m 和lsim.m。頻域分析分析函數(shù)，比如bode.m、nyquist.m和freqs.m等。其中，impulse 函數(shù)和step函數(shù)來求解LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)數(shù)值解,而lsim 函數(shù)來對LTI 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值仿真。step(sys)函數(shù)既可以求解系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，也可以繪制響應(yīng)波形圖，impulse(sys)函數(shù)既可以求解系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，也可以繪制響應(yīng)的圖形，其他M 函數(shù)還有mtimes.m、plus.m 和feedback.m等,還可以利用Simulink，通過仿真求解。

1.3 分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)控制器設(shè)計

分?jǐn)?shù)階微積分誕生于三百年前，主要研究任意階次的微分和積分的特性及其應(yīng)用問題。分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)已成為現(xiàn)代非線性控制理論的一個不可或缺的部分[4-5]。隨著分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)在現(xiàn)代實際工程領(lǐng)域的作用日益凸顯,目前，分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的研究已經(jīng)引起了越來越多的學(xué)者的興趣。其主要原因在于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)自身具有的特性，即分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)具有記憶特性，這是整數(shù)階系統(tǒng)所沒有的，所以研究含有分?jǐn)?shù)階微分或積分環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)在工程應(yīng)用中愈發(fā)重要。

2 基于科研實踐與課程教學(xué)相互融合理念結(jié)合Matlab軟件設(shè)計模擬電路實驗舉例

本文以一個經(jīng)簡化后的工程問題中的分?jǐn)?shù)階的均勻RC線連接的電壓源模擬電路[5]的波動為例,說明基于Matlab的教學(xué)實驗的具體設(shè)計內(nèi)容。圖1顯示的電路系統(tǒng)表示了電壓源的內(nèi)部傳統(tǒng)電感L= 1H與一個非常長的(l≈∞)均勻RC傳輸線的連接。該電路的波動特征可由以下簡單的微分方程表示-σ0u(t) +σ0e(t),其中，σ0=L-1C-1R, 0 <α≤2。如果α= 1.5,相應(yīng)的系統(tǒng)的動力學(xué)特征在文獻(xiàn)[5]中進(jìn)行了詳細(xì)研究,如果系統(tǒng)的階α= 1.0,相應(yīng)的整數(shù)階系統(tǒng)就是熟悉的經(jīng)典RC電路模型。在σ0= 0.1,e(t) = 10e-t的情形,由此實現(xiàn)傳統(tǒng)的教材內(nèi)容與前沿的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)研究適當(dāng)結(jié)合起來。

圖1 仿真系統(tǒng)電路圖

通過如下的Matlab 語言：

可以得到均勻RC線連接的電壓源模擬電路的仿真結(jié)果如圖2(a) 所示。改變系統(tǒng)的設(shè)置，當(dāng)σ0= 0.1,e(t) =cos(0.4t)時，該電壓源模擬電路的時間波形如圖2(b)所示。

圖2 電路系統(tǒng)的動力學(xué)特征仿真波形圖

3 實驗反思

本課程實驗中電路系統(tǒng)的動力學(xué)特征仿真在計算機(jī)上模擬進(jìn)行，同時將表征系統(tǒng)特征的微分方程的階處理為一個在0到1之間取值的分?jǐn)?shù)參數(shù)進(jìn)行實驗結(jié)果分析。參加實驗的學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，針對不同的分?jǐn)?shù)階取值選擇，通過仿真波形圖直觀地發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階的改變對于電路特征的影響。實驗過程中，通過采用圖1所示的仿真系統(tǒng)電路盡可能地降低實驗復(fù)雜度，忽略了實驗環(huán)境噪聲以及隨機(jī)性因素的影響，體現(xiàn)在系統(tǒng)的微分方程模型中，方程的右邊關(guān)于電路狀態(tài)變量的函數(shù)是簡單的一次函數(shù)。鼓勵學(xué)生在完成實驗后，探索其他的方法進(jìn)一步提高仿真精度，比如考慮對應(yīng)的隨機(jī)系統(tǒng)或者將高斯白噪聲考慮進(jìn)去，還可以進(jìn)一步考慮模糊控制。結(jié)合實驗教學(xué)讓學(xué)生注意，在復(fù)雜而艱辛的科學(xué)研究過程中，對科學(xué)問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕療o論是對于成功獲得理論研究成果還是有效獲得實驗現(xiàn)象都是非常必要的。學(xué)生可以像科學(xué)家那樣，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)專業(yè)及自己感興趣的方向，選擇自己比較熟悉的課題，在一定的理論分析和結(jié)果預(yù)測的基礎(chǔ)上，通過編寫計算機(jī)程序，比如M 程序，進(jìn)行計算機(jī)仿真研究。嘗試按照科研論文的寫作要求和格式，把課程的實驗報告作為一篇基本符合投稿要求的教學(xué)科研論文進(jìn)行撰寫，不僅給出課程實驗的結(jié)果，而且分析產(chǎn)生這些結(jié)果的內(nèi)在機(jī)理及其表現(xiàn)形式，探討這些實驗結(jié)果與文獻(xiàn)上已經(jīng)發(fā)表的科研結(jié)果的聯(lián)系與區(qū)別。同時，訓(xùn)練學(xué)生的科研語言表達(dá)能力，讓他們通過圖書館期刊及CNKI 中國知網(wǎng)了解科技論文的寫作格式和要求，激發(fā)他們初步了解和思考自己所學(xué)專業(yè)的相關(guān)科研前沿問題，有效提高科研意識，培養(yǎng)他們從課程內(nèi)容出發(fā)通過引申、變通等方式發(fā)現(xiàn)科學(xué)問題、通過實驗探索科學(xué)問題、通過理論分析解決科學(xué)問題的科研創(chuàng)新能力。在這個過程中，教師要及時收集學(xué)生對于課程實驗的建議和實驗反饋意見，進(jìn)一步完善實驗設(shè)計，把課程實驗的教學(xué)質(zhì)量提升到一個新的臺階。

4 結(jié)束語

科研實踐與課程教學(xué)相互融合的實驗教學(xué)設(shè)計是信號與系統(tǒng)課程實驗教學(xué)改革，實現(xiàn)“專創(chuàng)融合”和“思創(chuàng)融合”的重要舉措之一。本文提出基于科研實踐與課程教學(xué)相互融合理念結(jié)合Matlab 的信號與系統(tǒng)課程實驗教學(xué)設(shè)計,并給出一個典型實驗說明科研前沿內(nèi)容與課程基本理論內(nèi)容如何結(jié)合有效進(jìn)行Matlab 仿真的程序設(shè)計與用法。本文所述的分?jǐn)?shù)階電路系統(tǒng)的動力學(xué)特征仿真實驗設(shè)計是“科研實踐與課程教學(xué)相互融合”課程實驗的典型案例之一。它使得同學(xué)們在大學(xué)本科階段就接觸到與自己專業(yè)相同或者相近的學(xué)科前沿的若干熱點課題，比如，通過編寫計算機(jī)M 程序和對比該實驗電路的整階及分?jǐn)?shù)階動力學(xué)特征,獲得機(jī)會通過本科課程實驗教學(xué)親身體驗一個相對完整的科研過程。這既有助于對《信號與系統(tǒng)》課程內(nèi)容,特別是系統(tǒng)函數(shù)及系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析的深入理解和掌握,也對學(xué)生在計算機(jī)軟件的配合下通過實驗探索的體驗促進(jìn)初步的科研訓(xùn)練有重要作用。