張冰鑫 劉 侃 李 躍 胡 偉 黃 慶 陳泳丹

(1.湖南大學機械與運載工程學院 長沙 410082；2.株洲中車時代電氣股份有限公司 株洲 412001；3.中國北方車輛研究所 北京 100072)

1 引言

永磁同步電機(Permanent magnet synchronous motor，PMSM)具備高功率密度、高能量轉換效率等優(yōu)點，近年來在高效能需求的場景，如電動汽車等，得到了廣泛應用[1-3]。PMSM 矢量控制系統(tǒng)的正常運行需要獲取穩(wěn)定可靠的轉子位置信息，而無位置傳感器算法因可靠性等因素而無法徹底取代編碼器。但低分率編碼器與無位置傳感器算法相互配合的插值控制方案，既可以降低控制成本，又能保障控制系統(tǒng)的可靠性，因此極具應用前景[4-7]。

目前主流的插值控制方案有平均速度法[8-11]、平均加速度法[12-13]、觀測器法[14-17]。文獻[8]提出了平均速度法，利用前一個霍爾位置區(qū)間計算出平均速度，利用計算結果對當前霍爾位置區(qū)間實現位置插補，從而在當前霍爾位置區(qū)間位置缺省的狀態(tài)下實現矢量控制。文獻[12]提出了平均加速度法，利用前兩個霍爾位置區(qū)間計算出的平均加速度，利用位置-加速度公式，實現當前霍爾位置區(qū)間的位置插補，在位置插補過程中引入平均加速度使得插值算法動態(tài)性能更好，能夠在電機加減速情況下實現位置插值。觀測器法中的主流方法是矢量觀測器法[14-17]，矢量觀測器法利用旋轉矢量觀測器理論，采用位置觀測器獲取的位置信息用作實時位置插值，但此方法需要解決觀測器相位滯后等問題。為了解決相位滯后對插值算法造成的不利影響，文獻[18]提出基于觀測器法的插值算法(Observer-based interpolation，OI)，采用位置增量差值信息實現插值算法。該方法不受觀測器相位滯后的影響，消除了觀測器相位滯后導致的位置誤差，但在每個位置脈沖內，電機參數不精確等因素導致該算法出現累計誤差，降低了控制系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性。

為了降低基于觀測器法的插值算法中誤差累積現象帶來的不利影響，本文提出一種基于累積誤差補償的插值控制算法(Accumulative error compensation based position interpolation control，AECPIC)。該方法利用誤差累積方向的一致性，通過計算獲知上一位置脈沖的累計誤差，利用此信息構造誤差補償項，以降低當前位置脈沖的累計誤差。最后，在750 W 對拖控制系統(tǒng)進行了試驗，驗證了所提方法的有效性。

2 算法理論

2.1 位置觀測器設計

在運動坐標系中，PMSM 電壓方程為[19]

式中，ud、uq為dq軸電壓；id、iq為dq軸電流；Ld、Lq為dq軸電感；ωe為轉子電氣角速度；R為電機定子繞組；ψf為永磁體磁鏈；p為微分算子。

在兩相靜止坐標系中，PMSM 電壓方程為[19]

式中，等式右邊第二項為擴展反電勢，其定義如下

將式(2)變更為電流狀態(tài)方程，可得

預測模型與參數模型做差后可獲取誤差方程

本文使用Lyapunov 理論證明滑模觀測器的穩(wěn)定性[21]，構造Lyapunov 函數如下

由式(6)可知，V在非零且為正的時刻，因參數不精確等因素導致誤差永遠存續(xù)，故V永遠為正。對構造的函數式(6)求導，可得

在k滿足式(11)約束條件時，滑模增益可取任意數。在此前提下，可保證設計的擴展反電勢觀測器在有限的時間內收斂，從而保證了觀測器的可觀性存在。為了降低剛性切換函數sign引入的抖振，在后文試驗過程中，使用sigmoid函數替代sign函數，替換后不影響上文的可觀性證明[22]。本文使用的sigmoid函數定義如下

在上述滑模觀測器得到擴展反電勢信息后，可結合鎖相環(huán)技術完成相位鎖定，進而得到轉子的位置信息，但滑模觀測器獲取的信息需要經過低通濾波器濾波后方可輸入鎖相環(huán)使用。鎖相環(huán)的原理如圖1 所示，PI 表示比例積分控制器，滑模觀測器與鎖相環(huán)共同構成了位置觀測器。

圖1 鎖相環(huán)原理示意圖

2.2 傳統(tǒng)基于觀測器法的插值算法

通過插值算法可實現動態(tài)擬合轉子實時運動軌跡，還可有效提高低線數編碼器閉環(huán)控制精度。從位置觀測器獲取位置信息后，利用插值算法可實現電機轉子位置插補?；谟^測器法的插值算法實現表述如下[18]：在控制策略中，每個采樣時刻獲取實時編碼器位置信息。判斷當前采樣時刻與上一個采樣時刻編碼器的位置是否相同。若相鄰采樣時刻的編碼器位置一致，則進入插值算法模塊，在插值算法模塊中，對位置觀測器獲取的位置信息進行做差運算，以獲取當前采樣時刻位置信息的增量，并將當前時刻的位置增量賦給存儲增量值的靜態(tài)變量，將靜態(tài)變量值與當前時刻的編碼器位置做和運算，從而獲得當前插值位置，并用插值位置參與坐標變換運算，完成矢量控制閉環(huán)動作。在每個位置脈沖內，該靜態(tài)變量可以記住上一時刻的累計位置增量。若相鄰采樣時刻的編碼器位置信息發(fā)生跳動，表明此時編碼器的位置信息發(fā)生變更，應將編碼器位置信息賦給當前插值位置，進而參與矢量控制閉環(huán)，同時，此刻將靜態(tài)變量清零，以便在下一個位置脈沖重新計數，此操作可以消除位置觀測器相位滯后引入的不利影響。基于觀測器法的插值算法的執(zhí)行步驟表述如下，其中，下標enc表示從編碼器中獲取的離散位置信息，下標comp表示補償值，即累積增量值，int表示插值位置，k表示不同的時序。

插值程序執(zhí)行步驟如下所示。

步驟 1：程序啟動，獲取當前編碼器位置θenc[k+1]。

步驟2：判斷θenc[k+1]與θenc[k]是否相等，若兩者相等，進入步驟3；否則，將θenc[k+1]賦給θint[k+1]，進入步驟5，同時將θcomp清零。

步驟3：計算當前時刻位置觀測器的增量，并于上一時刻的累積增量θcomp[k]相加，得到當前時刻的累積增量θcomp[k+1]。

步驟4：將當前時刻的累積增量與θenc[k+1]相加，將結果賦值給θint[k+1]。

步驟5：輸出θint[k+1]，程序結束。

分析基于觀測器法的插值算法可知，插值位置存在以下可能。出于簡化分析的目的，取相鄰兩個位置脈沖的插值結果進行演示，可能情況如圖2 所示。從圖2 可看到相鄰兩個位置脈沖所有可能的插值情況。在理想情況下，即誤差允許的范圍內，認為存在B1、B2兩種插值結果。實際上由于離散化誤差的影響，完美擬合的情況并不存在。為了進一步簡化分析，可將B1、B2兩種插值結果去掉，通過排列組合可知，此時存在4 種組合方式，即A1A2、A1C2、C1A2、C1C2。在上述四種插值結果中，認為A1、A2正向誤差累積過多，相應地認為C1、C2負向誤差累積過多，兩類誤差現象均可歸類至同向累積誤差，剩下的插值情況可分類至非同向累積誤差。經過試驗觀察，在相鄰位置脈沖中，A1A2、C1C2組合是最常見的兩種插值結果，即最常見的誤差累積現象表現出同向誤差累積特點。分析常見的兩個插值組合可知，插值誤差在大多數情況下，表現出同向累積特性，即在相鄰兩個位置脈沖，誤差累積方向同為正向累積或同為負向累積。

圖2 兩個相鄰位置脈沖的插值結果

2.3 基于累積誤差補償的插值控制算法

基于上述分析，為改善A1A2、C1C2兩種插值結果帶來的不利影響，本文引入累積誤差補償策略實現插值控制，即利用基于累積誤差補償的插值控制算法實現閉環(huán)控制。在每個位置脈沖的起始點，將前一個采樣時刻插值位置與當前位置脈沖的起始位置做差，所得結果記為前一個位置脈沖的累積插值誤差?？紤]相鄰位置脈沖的累積誤差大致相當，將上一位置脈沖的累積誤差視為當前位置脈沖結束時的累積誤差，依據誤差反向相消原理，在當前位置脈沖內逐采樣周期做出位置補償。在具備誤差同向傳遞性的相鄰位置脈沖，因累積誤差相當但不相等，上一位置脈沖的累積誤差不能直接作為當前位置脈沖的累積誤差，需要引入縮放因子α構造當前位置脈沖的累積誤差。整個插值控制程序框圖如圖3 所示，圖3 中下標與基于觀測器法的插值算法執(zhí)行步驟中含義一致。

圖3 基于累積誤差補償的插值控制算法執(zhí)行流程圖

基于累積誤差補償的插值控制算法執(zhí)行步驟如下所示。

步驟 1：程序啟動，獲取當前編碼器位置

θenc[k+1]。

步驟2：進入判斷模塊，比較θenc[k+1]與θenc[k]是否相等，若兩者相等，進入步驟3；否則，將θenc[k+1]賦給θint[k+1]，進入步驟5，同時，將θcomp清零。

步驟3：計算當前時刻位置觀測器的增量，并與上一時刻的累積增量θcomp[k]相加，得到當前時刻的累積增量θcomp[k+1]。

步驟4：若上一位置脈沖的累積誤差超過誤差限，進入基于累積誤差補償的插值控制算法，累積增量θcomp[k+1]、誤差補償項i×α×errorlastsum、當前編碼器位置θenc[k+1]三者相加，所得結果賦給θint[k+1]。在誤差補償項中，i為分式，初始值為0，分子在每個采樣周期加1，分母為當前位置脈沖包含的采用周期總數，起到逐采樣周期抵消累積誤差的作用，α是縮放因子，在當前位置脈沖結束時，i重置為零，errorlastsum是上一位置脈沖的累積誤差；否則進入基于觀測器法的插值算法，累積增量θcomp[k+1]與θenc[k+1]相加，所得結果賦值給θint[k+1]。

步驟5：輸出θint[k+1]，程序結束。

3 試驗設置

本文所有試驗在750 W 的IPMSM 對拖控制系統(tǒng)完成，試驗裝置如圖4 所示。裝置中IPMSM 的參數如表1 所示，負載電機是安川伺服電機，通過安川變頻器控制，負載電機工作于轉矩控制模式?？紤]文中試驗最高速度為50 r/min，位置觀測器中的低通濾波器截至頻率設置為：50×5×3/60 Hz=12.5 Hz。sigmoid函數中的待定系數為a=5。鎖相環(huán)中PI 參數如下：kp=150，ki=250。文中利用光電編碼器模擬低線數編碼器，編碼器線數為2 500 線，依據降采樣模塊可得：2 500×250/10 000=62.5，此時模擬編碼器為62.5 線；同時，未經降采樣模塊的位置信息作為對照以評判插值算法的優(yōu)劣，不參與閉環(huán)控制過程。誤差補償項中的縮放因子取α=0.9。誤差限設置為errorsetting=0.004 rad，當累積插值誤差超過誤差限，啟動基于累積誤差補償的插值控制算法，否則，啟動基于觀測器法的插值算法進行插值控制。以下試驗結果均是通過插值位置實現閉環(huán)矢量控制，依據速度-位置構成的積分鏈，反饋速度由實時插值位置計算獲取。依前所述，總體控制框圖如圖5 所示，PI 表示比例積分控制器。

表1 電機參數表

圖4 試驗裝置

圖5 總體控制框圖

4 試驗分析

圖6 為參考轉速30 r/min、空載條件下的試驗波形，圖6a、圖6b 表示基于觀測器法(OI)的插值算法插值位置與插值誤差，圖6c、圖6d 表示基于累積誤差補償的插值控制算法(AECPIC)插值位置與插值誤差，插值誤差定義為位置降采樣之前的編碼器位置減去插值位置。RMSE 表示插值誤差的均方根誤差，ME 表示插值誤差的最大誤差，ME 中數值前方的“-”表示超前誤差，“+”表示滯后誤差。表2 為不同參考轉速空載條件下的OI 算法與AECPIC 算法性能對比。從圖6a、圖6c 可以分析出，在空載工況下，基于觀測器法的插值算法和所提插值控制算法在參考轉速30 r/min 時均能很好地跟蹤實際的轉子位置；從圖6b、圖6d 可以分析出，AECPIC 算法插值誤差減小，在低速域工況性能表現更好，其空載時插值位置誤差的誤差帶穩(wěn)定在 0.02 rad(1.15°)內。

表2 空載條件下OI 算法與AECPIC 算法性能對比

圖6 給定轉速為30 r/min、空載條件下OI 算法與AECPIC 算法試驗波形對比圖

圖7 為參考轉速30 r/min、恒定0.5 N 負載條件下的試驗波形，圖片順序信息與圖6 相同。表3 為0.5 N 負載、不同參考轉速下OI 算法與AECPIC 算法性能對比。圖7 表明，在0.5 N 負載條件下，從圖7a 可看出，OI 算法表現出了位置諧波現象，從圖7c 則可看出，所提算法的插值位置中諧波更少，表明所提方法能有效改善位置諧波現象。綜合表3可得出如下結論：在恒定負載工況下，所提算法能有效提高位置插值精度，提升效果與參考速度正相關；OI 算法與AECPIC 算法的插值誤差的誤差帶與參考轉速正相關。

表3 0.5 N 負載條件下OI 算法與AECPIC 算法性能對比

圖8 為參考轉速30 r/min、恒定0.5 N 負載、1～2 s 施加0.5 N 外界擾動條件下的試驗波形圖，順序信息與圖6 相同，表4 為恒定0.5 N 負載、1～2 s施加0.5 N 外界擾動、不同參考轉速條件下OI 算法與AECPIC 算法性能對比。分析圖8 可看出，OI 算法在該測試工況下同樣表現出位置諧波現象。從圖8b、圖8d 可看出，施加0.5 N 外界擾動后，轉子先減速，隨后加速至給定轉速。在此過程中，OI 算法的插值誤差峰值為 0.19 rad，穩(wěn)態(tài)誤差帶為±0.050 rad，AECPIC 算法的插值誤差峰值為0.053 rad，穩(wěn)態(tài)誤差帶為±0.03 rad。

表4 0.5 N 負載、0.5 N 階躍負載擾動條件下OI 算法與AECPIC 算法性能對比

圖8 0.5 N 負載、0.5 N 階躍負載、給定轉速30 r/min 條件下OI 算法與AECPIC 算法試驗波形對比圖

5 結論

在每個編碼器位置脈沖內，誤差累積導致插值算法的控制精度和穩(wěn)定性降低。針對此問題，本文基于誤差補償思想提出了一種插值控制策略，通過試驗驗證了所提方法的有效性和可行性。主要結論如下所述。

(1) 在不同負載、不同參考轉速工況中對所提方法進行了試驗，結果表明，與傳統(tǒng)方法相比，所提方法有效抑制了位置脈沖間的同向誤差傳播現象，其控制精度和抗外部擾動能力更優(yōu)。

(2) 所提方法不需要額外增加硬件，易于實現，具有一定的工程應用價值。

(3) 所提方法未考慮逆變器非線性因素環(huán)節(jié)，研究考慮非線性因素補償的低速插值控制算法，這是今后本文的改進方向。