龔維維 董白英

【摘要】新高考背景下，“問題串”式的教學方法是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的重要途徑之一，有效“問題串”的設計可以激發(fā)學生欲望，幫助突破重點、難點，提高學生的解題能力，從而提高數(shù)學課堂教學的有效性.本文以“等差數(shù)列的前n項和公式”為例，通過題目變式、知識的易錯和易混點、新舊知識的聯(lián)系、學生的探究欲望等四個途徑探索基于“問題串”的教學設計方案.運用“情境+問題串”的形式進行教學設計和實踐，幫助高中生把握數(shù)學本質，提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)，為后續(xù)教學內(nèi)容奠定基礎.

【關鍵詞】“問題串”式教學方法；等差數(shù)列的前n項和公式；數(shù)學教學設計

【基金項目】寧夏自然科學基金項目（2021AAC03234）

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）提出：數(shù)學課程的核心目標是促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升，教學目標是在幫助學生獲得必要的基礎知識和基本技能的基礎上理解數(shù)學思維，逐步提高學生在課堂學習過程中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.所提出的四個有關能力說明新課標對學生的問題意識提出了更高的要求，因此新課標更加重視學生問題意識的培養(yǎng).這就要求教師在教學中創(chuàng)設合適的問題，設計有效的數(shù)學活動，幫助學生把握數(shù)學本質，派生問題意識，構建合理的知識體系，進而促進學生數(shù)學學科素養(yǎng)的發(fā)展.

本文選擇人教版必修五第2章“等差數(shù)列的前n項和公式”進行基于“問題串”的教學設計.作為新授課，其重點在于如何讓學生推導等差數(shù)列前n項和公式，體會一般到特殊的數(shù)學思想和方法，進而提高學生思維能力.因此，在教學設計中，教師以“問題串”作為腳手架，層層遞進，讓學生在一系列問題中感悟新知，逐步突破教學重點和難點，提升邏輯推理和數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

一、“問題串”的相關理念

現(xiàn)代教育理論認為，學生親身經(jīng)歷思考、實踐、探索是學習新內(nèi)容最有效的方法，特別是基于問題驅動的教學方案，更有助于學生發(fā)展思維能力、培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)和提高數(shù)學興趣.而“問題串”是指基于學生知識基礎，結合學生思維發(fā)展，圍繞課程教學目標，在一定教學范圍內(nèi)，按照知識的邏輯結構設計出一系列具有內(nèi)在聯(lián)系的有效問題.“問題串”中的問題不僅是思維訓練的良好載體，還是思維方向的指引者，它既可以是數(shù)學問題本身，也可以是導向性、策略性或元認知性問題.

二、基于“問題串”的等差數(shù)列前n項和公式教學設計

“等差數(shù)列前n項和”是差數(shù)列的定義、通項公式及其相關性質的后續(xù)教學內(nèi)容，其公式的推導過程不僅蘊含豐富的數(shù)學思想方法、核心素養(yǎng)，而且是培養(yǎng)學生思考能力的重要載體.整個教學過程以“問題串”為支架，驅動學生進行探究.

（一）創(chuàng)設情境化的問題串，激發(fā)學生的求知欲

創(chuàng)設恰當?shù)慕虒W情境、提出合適的數(shù)學問題不但有利于學生發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)，還能營造輕松愉快的課堂學習氛圍，激發(fā)學生求知欲，達到事半功倍的效果.

【問題一】

創(chuàng)設情境：欣賞一段視頻一座用白色大理石建成的宮殿式陵園，墻壁上有一個由體積相等的圓寶石鑲嵌而成的等邊三角形，一共有100層.從上到下數(shù)，第一層有1顆圓寶石，第二層有2顆圓寶石，以此類推，下一層一直比上一層多一顆圓寶石.那么你能計算出墻壁上一共有多少顆寶石嗎？

設計意圖：以故事作為情境生成問題，可以激發(fā)學生的探索興趣，使學生積蓄強烈求知欲，對整節(jié)課的學習創(chuàng)設了良好的情緒狀態(tài).

【問題二】

老師：德國數(shù)學家高斯在他很小的時候就為我們提供了一種巧妙的數(shù)學方法，大家知道他是如何計算的嗎？

學生：1+100，2+99，3+98，…，49+52，50+51，即把第一個數(shù)和最后一個數(shù)配對，第二個數(shù)和倒數(shù)第二個數(shù)配對，依次進行下去，這樣就把100個數(shù)分成了50個組，而每一組的和都是101，總共50組，所以結果為101×50=5050.

設計意圖：利用情境設計引發(fā)學生思考，順其自然引入高斯算法，為后續(xù)學習做好鋪墊.

【問題三】

老師：高斯算法的巧妙之處在哪里？

學生：首尾兩兩配對相加，得到相同的數(shù)，進而把加法運算轉變?yōu)槌朔ㄟ\算.

設計意圖：使學生感悟數(shù)學中化繁為簡的化歸思想，進而提升學生的思維能力.另外，讓學生自己總結提煉，可以提高學生的表達和歸納能力.

在情境的基礎上精心設計“問題串”，從提出問題到解答問題再到總結結果，設計過程層層遞進，既滿足學生的認知發(fā)展，又使學生易于接受.“問題一”是情境導入，引出問題，“問題二”和“問題三”的追問，引發(fā)學生思考高斯算法的本質，也為學生感知數(shù)學和感悟數(shù)學提供了一個契機.

（二）設計梯度化的問題串，培養(yǎng)學生思維能力

為提高學生思維能力，應從學生已有的知識和能力出發(fā)，遵循科學的認知規(guī)律，按照“特殊到一般，層層深入，梯度遞進”的思路進行問題串的設置.

【問題四】

老師：假設在墻面上增加第101層.請同學們計算出大理石墻面從第1層到第101層一共有多少顆寶石？

學生1：利用上一題的答案1+2+…+100=5050，再加上101就等于5151顆.

學生2：可以用高斯算法進行首尾配對（和為102），配成50對（總和為50×102=5100），再加上中間數(shù)51（未能配對的數(shù)），最后結果為5151.

教師：學生2運用了高斯算法進行首尾配對，但當對101個數(shù)進行分組時，中間項51不能完成分組.不能完成配對的原因是什么？

學生：1+2+…+101的項數(shù)是奇數(shù).

教師：因此，在使用高斯算法時，奇數(shù)項和偶數(shù)項的配對是有區(qū)別的.

設計意圖：此題是對上一題的簡單變式，項數(shù)從偶數(shù)變成奇數(shù)，目的是加深這生對高斯算法的理解，發(fā)現(xiàn)在奇數(shù)項的式子中產(chǎn)生不配對的問題，與學生大腦中認知產(chǎn)生沖突，從而激發(fā)他們的求知欲望，并為后續(xù)推廣到n項和打下基礎.

【問題五】

教師：假設大理石墻面有n層圓寶石，一共有多少顆？

學生：求1+2+3+4+…+100+…+n=？

設計意圖：從具體的有限項求和推廣到抽象的無限項求和，使學生經(jīng)歷從特殊到一般，為從“高斯算法”過渡到“倒序相加法”做好鋪墊.

【問題六】

教師：這個問題能用高斯算法嗎？如果可以，首尾配對的對數(shù)是多少？

設計意圖：有前面奇數(shù)項問題的鋪墊，學生運用高斯算法進行配對，會發(fā)現(xiàn)n的奇偶不確定，進而聯(lián)想到對n進行分類討論，符合學生的認知發(fā)展.

學生在高斯算法以及偶數(shù)項求和的基礎上，容易算出“問題四”的奇數(shù)項求和，為后面推廣到無限項做好鋪墊.“問題五”是在問題四的基礎上，從有限項推廣到無限項，同上一題相比，此題對學生的思維能力要求更高.“問題六”雖改變了題目的呈現(xiàn)方式，但其目的仍是讓學生對高斯算法的本質進行思考.這三個問題層層遞進，環(huán)環(huán)相扣，使學生對高斯算法的本質有更深刻的理解.

（三）設計精細化的問題串，幫助突破教學重點和難點

教師緊扣教學的重點和難點設置問題串，如同抓住了教學內(nèi)容的精髓.隨著問題串中的問題一步一步地被解決，教學的重點和難點也逐漸被攻克，為高效課堂奠定堅實的基礎.

【問題七】

老師：假設再給數(shù)量相同的寶石，大家可以設計出一個什么圖案，能否快速計算出從第一層到第n層的寶石數(shù)目，如圖1所示（同時進行多媒體展示）.

老師：從以上圖片中可以得到什么啟發(fā)？

學生：如果記S=1+2+3+…+n，在它基礎上加上n+（n-1）+…+2+1，就能實現(xiàn)高斯算法中兩兩配對得到相同的數(shù).

教師：通過這種方法可計算出首項為1，公差為1的等差數(shù)列前n項和.

設計意圖：需要對n進行分類討論，然后求解，而該環(huán)節(jié)的關鍵是找出避免分類討論的辦法，需要教師搭建一個恰當?shù)摹澳_手架”突破教學中的難點.除此之外，通過用兩個相同的三角形拼成一個平行四邊形的數(shù)形結合方法推導公式，這樣的設計與學生已有的認知相結合，可以激發(fā)學生思維的活躍性，有效地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，同時能提高學生的創(chuàng)造性思維品質.

【問題八】

設計意圖：鼓勵學生從新舊知識間的聯(lián)系，回歸定義等角度推導公式1的另一表達式，在推導過程中，學生自己經(jīng)歷猜想和驗證，達到對知識主動建構的目的.學生親身經(jīng)歷這個過程后，感受到成功的喜悅，逐步加深學習數(shù)學的興趣.

針對本節(jié)課的難點，教師將教學任務分解成難度較小的四個問題，設計由特殊到一般的變式題目，先引導學生推導出一般的等差數(shù)列前n項和，并以此作為先行組織者材料，使學生理解如何運用高斯“配對”，為引出倒序相加法做好鋪墊.最后，聯(lián)系舊知（數(shù)列定義）推導另一表達式.

三、結論與建議

在數(shù)學教學中，問題是激發(fā)學生思維與探究的鑰匙.而教師通過設計合適的“問題串”，才能將教材中的邏輯結構轉化為學生的認知結構，才能把課本上的靜態(tài)知識轉化為課堂上動態(tài)的建構過程.因此，在進行“問題串”教學設計時，應注意以下幾點.

（一）利用新舊知識的聯(lián)系設計“問題串”

在數(shù)學上，很多知識點都是另一知識點的拓展，所以設計問題串時可以抓住新舊知識點間的內(nèi)在聯(lián)系進行設計，從而降低學生學習的難度，使學生在學習數(shù)學的過程中能獲得良好的數(shù)學體驗，也能提高學習數(shù)學的興趣.

（二）利用知識的易錯、易混點設計“問題串”

在數(shù)學教學中，經(jīng)常學生在課堂上能聽懂，但課后做題時犯錯的現(xiàn)象，這種情況說明學生還存在一些知識盲區(qū)，對一些易錯、易混的知識點的理解不到位.因此，教師可以依據(jù)具體的教學任務以及學生的實際情況，利用知識點的易混、易錯點進行“問題串”設計，加深學生對這些知識點的理解與認識，從而避免學生出現(xiàn)似是而非的情況.

（三）利用題目變式設計“問題串”

在數(shù)學教學中經(jīng)常會遇到解題方法非常相似的一些問題，這些問題可以歸結為一類題型.教師可以通過增加或改變條件拓展出數(shù)道題，進行“問題串”設計.讓學生們領略數(shù)學中變化之美.這樣的設計不僅可以提高學生的知識遷移能力，培養(yǎng)學生舉一反三的學習能力，還可以引導學生進行自主創(chuàng)新.

（四）利用學生的探究欲望設計“問題串”

未知的學習會激發(fā)出學生強烈的探索欲望，從而培養(yǎng)學生濃厚的學習興趣，將學習模式由“讓我學”轉換成“我要學”，讓學生占據(jù)學習的主導地位.因此，利用學生的探索欲望設計“問題串”，可以讓學生真正體會學習的樂趣.

【參考文獻】

[1]卓斌.例談數(shù)學教學中問題串的設計與使用[J].數(shù)學通報，2013，52（06）：40-43.

[2]王先進.談問題串的設計方法[J].數(shù)學通報，2012，51（07）：17-19+23.

[3]趙艷嬌.高中數(shù)學課堂教學問題設計研究[D].四川師范大學，2015.