鄭洽好,黃瑞軒,校 媛,盧榮德

(1. 中國科學技術大學 少年班學院,安徽 合肥 230026;2. 中國科學技術大學 計算機科學學院,安徽 合肥 230026;3. 中國科學技術大學 臨床醫(yī)學院,安徽 合肥 230026;4. 中國科學技術大學 物理學院,安徽 合肥 230026)

阿拉果圓盤實驗是多年來吸引人們的電磁阻尼與驅動的實驗之一.該實驗展示了電與磁之間的密切關系,阿拉果于1825年為此獲得Copley獎,可堪稱為19 世紀原創(chuàng)性實驗之一:在運動和變化中產(chǎn)生的電磁感應效應[1].阿拉果圓盤實驗已在大學物理中提供有效的教學價值.在大學物理入門課程中,一般是先介紹電,再介紹磁.通過證明沿著長導線的電流會在導線周圍產(chǎn)生磁場即安培定律,從而引入了磁與電密切相關的觀點;法拉第的實驗進一步表明,變化的磁通量產(chǎn)生感應電動勢[2].大多數(shù)工科專業(yè)的學生在大學物理入門課程和后續(xù)專業(yè)基礎課程中了解到電磁阻尼與驅動過程.稍后,他們還將在后續(xù)專業(yè)基礎課程中學習電機的特性等.

阿拉果圓盤實驗是旋轉的磁體在圓盤中感應出電流,從而產(chǎn)生了與磁針或磁體相互作用的磁場,電磁阻尼與驅動效應[1,3]可重復性強.因此,該實驗可在大學物理教學中是一個很好的交叉學科應用案例,它銜接了物理和工科專業(yè)教育[4,5].由于此實驗可使用現(xiàn)代一些電機、電表輕松構建,因此可布置給學生制作項目或在實驗室中作為大學物理實驗設計與探究.既可為非工科專業(yè)學生的大學物理課程中引入電磁概念[5],也可作為課堂演示和設計與制作實驗,以激發(fā)大學生對科學的興趣.

阿拉果圓盤實驗的數(shù)學描述和模擬結果是多學科優(yōu)質案例[6,7].本文擬用適合于本科生的水平進行定量描述,而相較于其他的阿拉果圓盤實驗的不同或改進之處:基于單極電機結構,采用電刷與靈敏電壓表的接腳通過槽來限定軌跡,創(chuàng)意設計與制作更便于演示實驗并拓展為可定量分析的儀器,以磁針與圓盤轉速及其關系探究實驗作為案例.為了滿足大學物理教學目的,我們還為現(xiàn)代模式的阿拉果圓盤實驗選擇了可置換不同金屬材料圓盤或絲網(wǎng)的便捷模式,利于課堂與實驗教學中使用與推廣.

1 經(jīng)典模式的回顧

首先回顧一下經(jīng)典阿拉果圓盤實驗.1825 年,法國的Francois Arago通過圖 1 所示實驗裝置發(fā)現(xiàn)了一種神秘的效應,當時稱之為“自轉磁力”.在實驗中,他在圓形銅盤上方借助一根無扭線懸掛了一根磁針,皮帶轉輪可旋轉圓盤.他注意到轉動圓盤會影響磁針向同一方向轉動.如果圓盤的旋轉速度足夠快,磁針就會略有滯后且連續(xù)旋轉[8].

圖1 經(jīng)典的阿拉果圓盤實驗裝置

在倫敦的查爾斯·巴貝奇 (1792～1871) 和約翰F W 赫歇爾 (1792～1871) 很快注意到了阿拉果的相同現(xiàn)象,他們做了一個反向實驗[9].他們通過旋轉放置在下方的磁鐵來旋轉一個保持水平的銅盤,該銅盤繞中心旋轉.由于附近磁鐵的運動,導電的非磁性材料中產(chǎn)生了某種形式的磁性.勿容置疑,旋轉的磁鐵在圓盤中感應出電流,從而產(chǎn)生了與磁針或磁鐵相互作用的磁場.阿拉果圓盤實驗由Faraday將其升華到“電磁感應”理論高度,而羅蘭圓盤實驗則常用于解釋星球自旋的生磁現(xiàn)象,即所謂“發(fā)電機”的生磁原理.

2 現(xiàn)代模式的模擬與設計

隨著現(xiàn)代技術的發(fā)展,直流電機、電刷和電表可便捷獲取,因此可對經(jīng)典阿拉果圓盤實驗進行重新設計與制作,簡易搭建現(xiàn)代模式的阿拉果圓盤實驗裝置,便于對其進行深層次探究.

2.1 磁場的模擬

首先模擬外磁場的情況:該實驗中,外界磁場為小磁針所產(chǎn)生的磁場,可近似認為是磁偶極子在r處產(chǎn)生磁場,而在r′處圓形載流導線回路可近似為如圖2所示的一個磁偶極子,在線徑可略導線上,載流導線微元dl′線電流I近似為原電流I0.

圖2 等效模型示意圖

該z軸方向面積S磁偶極子的偶磁矩μ為

μ=I0S=I0Sez

(1)

該磁偶極子在r處產(chǎn)生磁矢勢為A(r),則

(2)

又因為

(3)

所以

(4)

半徑R圓盤在柱坐標系(r′,φ′,z)下表示為

r′=R(icosφ′+jsinφ′)

(5)

dl′=dr′=(-isinφ′+jcosφ′)dφ′

(6)

于是球坐標系(r,θ,φ)下表示為

(7)

所以磁矢勢為

(8)

式中er、eθ為為基矢.則球坐標系(r,θ,φ)下磁感應強度為

(9)

其中μ0為真空磁導率,磁偶極矩μ是沿z軸方向,如圖3所示,利用計算機模擬該磁場的三維立體分布情況.

圖3 計算機模擬該磁場的三維立體分布散點圖

2.2 感應電流的產(chǎn)生

如圖4(a)所示銅圓盤可分割成無數(shù)個銅圓環(huán),從而探究其產(chǎn)生感應電流[9].由于小磁針磁場是軸對稱分布,穿過圓盤磁通量Φ保持不變,感應電動勢ε為

圖4 構建的模型及積分示意圖

(10)

因無感應電動勢出現(xiàn),即

ε=∮E·dl′=0

(11)

說明無渦旋電場E出現(xiàn),與實驗結果不符合.

可將圓盤近似分解為無數(shù)個銅棒,每個銅棒上都有感應電動勢產(chǎn)生,其中某個與磁鐵夾角α的銅棒離小磁針r處產(chǎn)生的感應電動勢為

(12)

其中B(r,α)為小磁針在(r,α)處的磁感應強度,r′為銅棒離轉心的位矢.該式表明:某銅棒上有且僅有磁感線穿進(穿出), 因此感應電流也是一側流入一側流出的.可認為轉速為ωt圓盤變速過程是準靜態(tài)的,即每個階段有一個固定的角速度ω0,即

ωt≡ω0

(13)

故如圖4(b)所示某銅棒,有

|Δε(r,α)|≠0

(14)

為此可說明確有沿著徑向流動電流,且徑向電流產(chǎn)生的磁場在水平方向上的分量都是同向的,從而對小磁針產(chǎn)生了一個轉動力矩,使小磁針發(fā)生了旋轉.根據(jù)巴比奇和赫歇爾發(fā)現(xiàn)的銅盤割裂效果,可推測圓盤的真實結構應當是上面兩種情況的疊加.半徑R銅圓環(huán)既然不參與感應電流的形成,而參與導體回路的形成,在這個模型中也是至關重要的.

下面可定量計算感應電動勢Δε(r,α),計算過程中用到的物理量,如圖4(c)所示.

(15)

圖5 (a) 圓盤中某棒上電勢隨r的分布曲線; (b) 圓盤中某一棒的電動勢隨α變化的模擬曲線

2.3 轉動力矩及轉速

將電動勢近似為均勻分布,可簡化模型為無限長導線,即一段長為h′銅棒所產(chǎn)生磁場磁感應強度

(16)

其中Re是材料電阻,由磁荷觀點,可得到位于rmag轉動力矩

(17)

這僅是正下方一根銅盤產(chǎn)生的效應,若要考慮到其他銅盤共同的效應,μ為磁偶極矩,則應計算一個復雜的積分.但是該積分結果形式與ΔM相同,可以X代替積分因子,總的力矩形式上記為

(18)

由前面對感應電動勢的計算,可知當小磁針性質、位置不變時,感應電動勢僅與圓盤角速度ω和所處位置α有關.若考慮一側的電動勢總和,也要涉及到一個復雜的角度積分,且形式也不改變,則該力矩表達式為

M=Zωeθ

(19)

Z是常系數(shù),可得運動方程:

(20)

這里設ωt是小磁針的轉速,J是小磁針的轉動慣量.為考慮之后的運動,可用相對運動的觀點,可得適用于全程運動方程:

(21)

該方程表明,小磁針角速度ωt的變化始終落后于圓盤角速度ω變化(在準靜態(tài)過程下),說明電磁感應理論能正確地說明小磁針的滯后效應.

3 現(xiàn)代模式實驗裝置的制作與應用

基于以上模擬分析,有2種簡捷設計與制作.

3.1 單極電機結構的制作

單極電機的結構可抽象為如圖6所示的電路.在理想的對稱情況下,兩側支路將通過相等電流I,外界磁場為B(r)是非均勻的,在矢徑r0處產(chǎn)生的磁場為B(r0),這個磁場將對該處電流元產(chǎn)生一個安培力,其大小為

圖6 (a) 單極電動機的構造; (b) 基于Python實現(xiàn)的磁偶極子磁場平面分布; (c) 單極電機結構裝置的制作

dF(r0)=Idl′×B(r0)

(22)

由于兩側電流方向相同,而磁力線對稱分布,由矢量的運算反對稱性,這個磁場在兩側產(chǎn)生的安培力大小相等、方向相反,其表征力為FA.這2個安培力對半徑為R線圈產(chǎn)生同方向的轉動力矩M=R×FA,因此可驅動線框旋轉.

在現(xiàn)實情況下,由于存在摩擦力與阻力矩Mf,這個力矩與轉速相關,當2M接近于Mf時,根據(jù)轉動定律

Jα=2M-Mf

(23)

其中J是線圈的轉動慣量,可知線圈的轉速將趨于穩(wěn)定.該過程因為產(chǎn)生焦耳熱而消耗電池能量,線圈轉速會逐步減弱,而在穩(wěn)定后較短時間內仍可認為線圈做勻速圓周運動.由于搭建單極電機的材料除磁鐵外都不具有磁性,實驗所用電池,除了兩端電極之外不含金屬導體,因此對原磁場產(chǎn)生的影響可略.

所用電池參數(shù)顯示,正常短路電流約在6～12 A,由安培環(huán)路定理,該電流I在r處產(chǎn)生磁場為

(24)

這個磁感應強度在10-3m內將衰減至10-3T.實驗前用精密高斯計測得磁鐵在電機所處空間范圍內所產(chǎn)生磁感應強度約為10-1～10-2T ,因此電流產(chǎn)生磁場對原磁場的分布影響在建模時也可略.

不妨把磁鐵看成磁偶極子,可用磁荷的觀點,可類推出磁偶極子r處的磁感應強度B表達式為

(25)

用計算機模擬可得出這個磁場分布,如圖6(b)所示.設線圈半徑為R,線圈離磁體高度為H,其中的電流為I,則在柱坐標系中一側線框受到力矩為

(26)

其中

合力矩為M,由

Jβ=2M-Mf

(27)

其中Mf為摩擦力與阻力產(chǎn)生的力矩,聯(lián)立可給出轉動加速度β.

實驗過程中無豎直方向安培力存在,由于摩擦力存在.因此可認為

(28)

摩擦力矩近似為常量,因此轉速ω的線圈將做加速運動.受電磁感應等效應的影響,B和導線中I要發(fā)生變化.當β=0時,開始做勻速轉動.

3.2 實驗裝置的制作與探究

根據(jù)前面的實驗,基于單極電機結構利用阿拉果圓盤可制作電磁感應演示儀.如圖7(a)所示,用塑料盒將馬達、可置換不同材料的圓盤和傳動裝置封裝,靈敏電壓表和圓盤用電刷連接.實驗時,電源開啟,此時磁針與旋轉的圓盤相對運動,圓盤內形成徑向電流,可觀察到靈敏電壓表發(fā)生偏轉,可定量驗證電磁感應現(xiàn)象.電刷與靈敏電壓表的接腳通過槽來限定軌跡,還以轉速表、轉速調節(jié)器定量驗證可置換不同材料的阿拉果圓盤相對磁場運動時,定量檢測其徑向電流.實驗裝置示意如圖7(b)所示.

圖7 (a) 演示模型圖; (b) 實際實驗裝置圖

以磁針與圓盤轉速及其關系探究實驗作為案例,如表1數(shù)據(jù).

表1 磁針與圓盤轉速的實驗數(shù)據(jù)(圓盤轉速為ω0,磁針轉速為ωt,單位rad/min)

如圖8所示磁針轉速擬合曲線ωt=ω0(1-e-1.03t)說明磁針轉動滯后特點,即磁針會跟隨著圓盤轉動,但稍有落后.考慮到實際過程中還存在空氣阻力與電刷的摩擦力及其扭轉張力影響,從而圓盤設定轉速也有局部小范圍偏低.從實驗結果來看,銅盤轉速局部抖動對磁針轉速幾乎沒影響,所以設定轉速的銅盤(圖中虛線)可使磁針異步轉動.

圖8 磁針與圓盤轉速及其關系的實驗曲線

在建模時曾推測,阿拉果圓盤可置換不同模式的絲網(wǎng)模型[9].若要深層次探究,可嘗試制作不同材料絲網(wǎng)模型,用不同材料的絲網(wǎng)模型來置換阿拉果圓盤,用靈敏電壓表檢測各種現(xiàn)象是否出現(xiàn),以此來驗證可能出現(xiàn)的非恒定的阻尼與驅動效應.

4 結束語

本文回顧了阿拉果圓盤在經(jīng)典模式下的工作原理,將其簡化為旋轉圓盤和磁針的效果.我們描述了徑向感應電流驅動過程,這是大學物理入門課程中的典型問題之一.通過求解電流的安培定律,我們發(fā)現(xiàn)運動方程似乎是渦流驅動效應[10].根據(jù)所獲得的結果,置換不同材料的絲網(wǎng)模型進行驗證,我們可拓展為一種用于定量分析不同材料的絲網(wǎng)中徑向電流分布的實驗儀器.

對于現(xiàn)代模式的阿拉果的圓盤實驗,我們使用了簡捷的設計來傳遞安培定律、法拉第定律、直流電機、電刷和轉速計的核心概念.實踐表明,使用相對運動可顯著提高阿拉果圓盤的效果.電機具有非常快的響應時間[10].在現(xiàn)代模式的阿拉果圓盤實驗中,它們被用作快速直觀的便攜式演示,并且由于電機是許多工業(yè)設備的關鍵部件,為后續(xù)課程可持續(xù)學習提供有益的教學價值.許多工科學生在課程中會遇到工業(yè)設計中的電機.因此,現(xiàn)代阿拉果圓盤實驗是大學物理教學的一個交叉學科案例,因為它結合了物理學和電氣工程的概念,適合于大學物理教學中推廣應用.