苗 豐,王 龍

(安徽理工大學數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院,安徽 淮南 232001)

0 引言

本文考慮的圖都是有限的、簡單的和無向的.圖G是一個連通圖,其具有n(G)個頂點和e(G)條邊.圖的基本圈數(shù)c(G)=e(G)-n(G)+1,若c(G)=3,則圖G為三圈圖.圖G的鄰接矩陣A(G)={aij}n×n,aij=1當且僅當i～j.G的正慣性指數(shù)、負慣性指數(shù)以及零度分別記作p(G)、n(G)和η(G),表示A(G)的正、負和零特征值的個數(shù).易知p(G)+n(G)+η(G)=n.G1∪G2表示圖G1和圖G2不交并.

在量子化學領域,圖的零度和正負慣性指數(shù)問題有著重要且廣泛的應用,在Hückel分子軌道模型中,若分子圖G有η(G)>0,則相應的化合物具有高度反應性和不穩(wěn)定性,或不存在[1-2].在數(shù)學中,圖的正負慣性指數(shù)和零度與鄰接矩陣的奇異性等問題相關.在這樣的背景下,人們對圖的零度的研究主要通過特定的圖類著手進行.GUO等[3]刻畫了單圈圖的零度和匹配數(shù)之間的關系.LI等[4]將三圈圖分為15類.MA等[5]對樹、單圈圖、雙圈圖的正負慣性指數(shù)和零度進行了研究.孟霞飛[6]、楊陳[7]等研究了兩類特定三圈圖的正負慣性指數(shù)和零度.本文在此基礎上研究另兩類三圈圖的正負慣性指數(shù)和零度,并基于Python語言對三圈圖的正負慣性指數(shù)和零度進行計算.

1 相關引理

引理1[5]若圖G=G1∪G2∪…∪Gt,其中Gi(i=1,2,…,t)是圖G的連通分支.則有

引理2[5]在圖G中,一條有四個度為2的頂點的路徑被一條邊替代時,得到圖H,則有

p(G)=p(H)+2,n(G)=n(H)+2,η(G)=η(H).

圖G如圖1所示,其中v1,v2,v3,v4均是度為2的頂點;圖H如圖2所示.

圖1 圖G

圖2 圖H

2 主要結果

設Cp、Cq和Cr是圈長分別為p、q和r的基本圈,形狀如圖3所示的三圈圖稱作α-圖(α(p,q,r,l,m)),形狀如圖4所示的三圈圖稱作β-圖(β(p,q,r,l,m,k)),其中路徑Pl、Pm和Pk的長度為l-1、m-1和k-1.所有的三圈圖可被劃分為15類[5],本文研究的兩類分別為包含一個α-圖為導出子圖的三圈圖θ1以及包含一個β-圖為導出子圖的三圈圖θ2.對給定的G∈θ1∪θ2,G的導出子圖α-圖或β-圖稱為圖的核,記為χG.

圖3 α-圖

圖4 β-圖

對于α-圖(α(p,q,r,l,m))和β-圖(β(p,q,r,l,m,k)),令p,q,r∈{3,4},l,m,k∈{2,3,4,5},本文研究的α-圖和β-圖的一些情況如圖5和圖6所示,基于Python語言實現(xiàn)對α-圖和β-圖正負慣性指數(shù)和零度的計算,如表1至表13所示.

表1 圖α1的正負慣性指數(shù)和零度(l≤ m, l,m∈{2,3,4,5})

表2 圖α2的正負慣性指數(shù)和零度(l,m∈{2,3,4,5})

表3 圖α3的正負慣性指數(shù)和零度(l≤ m, l,m∈{2,3,4,5})

表4 圖α4的正負慣性指數(shù)和零度(l,m∈{2,3,4,5})

表5 圖α5的正負慣性指數(shù)和零度(l≤ m, l,m∈{2,3,4,5})

表6 圖α6的正負慣性指數(shù)和零度(l,m∈{2,3,4,5})

表7 圖α7的正負慣性指數(shù)和零度(l≤ m, l,m∈{2,3,4,5})

表8 圖α8的正負慣性指數(shù)和零度(l≤ m, l,m∈{2,3,4,5})

(a)α1

(a)β1

引理3 在三圈圖α(p,q,r,l,m)中,p,q,r∈{3,4},l=4g+h,m=4i+j,h,j∈{2,3,4,5},其中g,i為非負的整數(shù),則有

p(α(p,q,r,l,m))=2(g+i)+p(α(p,q,r,h,j)),

n(α(p,q,r,l,m))=2(g+i)+n(α(p,q,r,h,j)),

η(α(p,q,r,l,m))=η(α(p,q,r,h,j)).

證明 由引理2,壓縮三圈圖α(p,q,r,l,m)內部路易證.

引理4 在三圈圖β(p,q,r,l,m,k)中,p,q,r∈{3,4},l=4g+h,m=4i+j,k=4u+v,h,j,v∈{2,3,4,5},其中g,i,u為非負的整數(shù),則有

p(β(p,q,r,l,m,k))=2(g+i+u)+p(β(p,q,r,h,j,v)),

n(β(p,q,r,l,m,k))=2(g+i+u)+n(β(p,q,r,h,j,v)),

η(β(p,q,r,l,m,k))=η(β(p,q,r,h,j,v)).

證明 由引理2,壓縮三圈圖β(p,q,r,l,m,k)內部路易證.

定理1 在三圈圖α(p,q,r,l,m)中,p,q,r∈{3,4},則關于α-圖可以分為九類(圖5),則關于α-圖的零度有以下結論:

(1)η(α1)=η(α3)=0,η(α2)=η(α5)=1,η(α6)=2;

(2)對于三圈圖α4,η(α4)=1當且僅當m≡0 (mod 2);η(α4)=2當且僅當m≡1 (mod 2);

(3)對于三圈圖α7,η(α7)=3當且僅當l,m≡0(mod 2);其他情況下η(α7)=2;

(4)對于三圈圖α8,η(α8)=3當且僅當l≡0(mod 2),m≡1(mod 2)或l≡1(mod 2),m≡0(mod 2);η(α8)=4當且僅當l,m≡0(mod 2)或l,m≡1(mod 2);

(5)對于三圈圖α9,η(α9)=2當且僅當l,m≡0(mod 2);η(α9)=3當且僅當l≡0(mod 2),m≡1(mod 2)或l≡1(mod 2),m≡0(mod 2);η(α9)=4當且僅當l,m≡1(mod 2).

證明 由表1至表9可得,在三圈圖α(p,q,r,l,m)中,p,q,r∈{3,4}時,α-圖的九種情況所對應的圖的零度.結合引理2,可以得到三圈圖α(p,q,r,l,m),其中p,q,r∈{3,4}的零度以及特定零度所對應的情況.由此定理1得證.

表9 圖α9的正負慣性指數(shù)和零度(l≤ m, l,m∈{2,3,4,5})

定理2 在三圈圖β(p,q,r,l,m,k)中,p,q,r∈{3,4},則關于β-圖可以分為四類(圖6),則關于β-圖的零度有以下結論:

(1)η(β1)=0,η(β2)=1;

(2)對于三圈圖β3,η(β3)=3當且僅當m,k≡0 (mod 2);其他情況下η(β3)=2;

(3)對于三圈圖β4,η(β4)=3當且僅當l≡0(mod 2),m,k≡1(mod 2)或m≡0(mod 2),l,k≡1(mod 2)或k≡0(mod 2),l,m≡1 (mod 2);η(β4)=5當且僅當l,m,k≡0 (mod 2);其他情況下η(β4)=4.

證明 由表10至表13可得,在三圈圖β(p,q,r,l,m,k)中,p,q,r∈{3,4}時,β-圖的四種情況所對應的圖的零度.結合引理2,可以得到三圈圖β(p,q,r,l,m,k),其中p,q,r∈{3,4}的零度以及特定零度所對應的情況.由此定理2得證.

表10 圖β1的正負慣性指數(shù)和零度(l≤ m≤ k,l,m,k∈{2,3,4,5})

表11 圖β2的正負慣性指數(shù)和零度(l,m,k∈{2,3,4,5})

表12 圖β3的正負慣性指數(shù)和零度(l,m,k∈{2,3,4,5})

表13 圖β4的正負慣性指數(shù)和零度(l≤ m≤ k, l,m,k∈{2,3,4,5})