蔡序軍,吳克晴

(江西理工大學理學院,江西 贛州 341000)

0 引言

本文討論如下含凹項的非線性分數(shù)階Kirchhoff方程變號解的存在性和多重性:

(1)

KIRCHHOFF[1]在研究彈力繩的非線性振動時首次提出了Kirchhoff繩模型.之后,FISCELLA和VALDINOCI[2]首次建立了含分數(shù)階Laplace算子的定態(tài)Kirchhoff模型.由于非局部項的出現(xiàn),使得Kirchhoff方程的研究更具有挑戰(zhàn)性,被許多學者廣泛研究[3-7].

ZHANG等[8]利用Moser迭代法和截斷技巧得到了如下帶臨界或超臨界非線性項的分數(shù)階Kirchhoff方程基態(tài)變號解的存在性:

(2)

WANG等[9]利用山路引理和下降流不變集方法得到了如下非線性分數(shù)階Kirchhoff方程變號解的存在性和多重性,得到的變號解都是非徑向?qū)ΨQ解:

(3)

WANG等[10]利用變分方法、分數(shù)階Laplace的Pohozaev恒等式和迭代技術(shù)研究方程(1),當非線性項f不滿足通常的Ambrosetti-Rabinowitz條件時,得到了兩個正解和兩個負解.

受文獻[8-10]的啟發(fā),本文利用下降流不變集方法研究方程(1)變號解的存在性,進一步推廣文獻[8,10]的結(jié)果.

BARTSCH等[11]利用屬和相對屬得到了如下具有超線性和次臨界非線性項的Schr?dinger方程一個無界變號解序列:

(4)

同時也證明了Courant節(jié)點域定理的一個非線性版本,由此得到了節(jié)點域數(shù)的界.

CHANG等[12]同樣利用屬和相對屬得到了如下有界域上帶有分數(shù)次冪的非線性Dirichlet-Laplacian問題具有無窮多個變號解,并且確定了節(jié)點域數(shù)的界:

(5)

1 預(yù)備知識

分數(shù)階Sobolev空間Hs(3)定義如下:

本文所使用的基本空間為

其范數(shù)定義為

賦予內(nèi)積:

顯然,E是一個Hilbert空間,容易得到‖·‖E等價于下述范數(shù):

對應(yīng)的內(nèi)積為

為了敘述方便,記E上的范數(shù)為‖·‖.

對權(quán)函數(shù)V,擾動項w和非線性項f作以下假設(shè):

(V)V∈C(3,且∞.

(f1)f∈C(3×,),并且存在常數(shù)c>0,使得

(f4)f(x,-t)=-f(x,t),?x∈3,t∈.

令u+(x)=max{u(x),0},u-(x)=min{u(x),0},則u(x)=u+(x)+u-(x).

引理1[10]對?u∈E,(u+,u-)≥0.

注1 由引理1可以推得到:

(i)(u,u+)≥(u+,u+),?u∈E;

(ii)(u,u-)≥(u-,u-),?u∈E.

定義方程(1)的能量泛函Iλ∶E→為

易知Iλ∈C1(E,),且

可見,u∈E是方程(1)的解等價于u∈E是能量泛函Iλ的臨界點.

定義1[14]設(shè)X是一個Banach空間,I∈C1(X,),如果序列{un}?X滿足{I(un)}有界且I′(un)→0(n→∞),則稱{un}是泛函I的一個(PS)序列.如果泛函I的任意(PS)序列都存在收斂子列,則稱泛函I滿足(PS)條件.

定義2[15]設(shè)X是一個Banach空間,泛函J∈C1(X,),P和Q是X中的開集,記W=P∪Q,給定c∈,記Jc={x∈X∶J(x)≤c},Kc={x∈X∶J(x)=c,J′(x)=0}.如果KcW=?,則存在ε0>0,當ε∈(0,ε0)時,存在η∈C(X,X)滿足:

(ii)η|Jc-2ε=id;

(iii)η(Jc+εW)?Jc-ε.

則稱{P,Q}為泛函J在水平值c處的容許不變集族.

引理3[15]設(shè)X是一個Banach空間,泛函J∈C1(X,),P和Q是X中的開集,記W=P∪Q,M=P∩Q,Σ=?P∩?Q.{P,Q}為泛函J在任意水平值處的容許不變集族,若存在一個映射φ0∶Δ→X滿足:

(i)φ0(?1Δ)?P,φ0(?2Δ)?Q;

(ii)φ0(?0Δ)∩M=?;

其中,Δ={(t1,t2)∈2∶t1,t2≥0,t1+t2≤1},?0Δ={(t1,t2)∈2∶t1,t2≥0,t1+t2=1},?1Δ={0}×[0,1],?2Δ=[0,1]×{0}.定義

其中,?！?{φ∈C(Δ,X)∶φ(?1Δ)?P,φ(?2Δ)?Q,φ|?0Δ=φ0|?0Δ}.則c是泛函J的一個臨界值,KcW≠?.

為了說明方程(1)變號解的多重性,我們回顧以下知識.

加上

以下是屬和相對屬的概念.

定義3[16]設(shè)Ξ?{A?E∶A是閉的且A=-A},對于A∈Ξ,定義γ(A)為最小整數(shù)k,使其存在一個奇連續(xù)映射h∶A→k{0}.如果k不存在,令γ(A)=∞.另外,γ(?)=0.

屬的通常性質(zhì)[14]仍然保持不變.

定義4[11]對于E的對稱閉子集A?B?C,定義C相對于(B,A)對的屬為最小的k∈∪{0},記為γ(C;B,A),使得存在對稱閉子集U,V?E,有

(i)C?U∪V,B?U和γ(V)≤k;

(ii)存在一個奇連續(xù)映射h∶U→B且h(A)?A.

如果k∈不存在,令γ(C;B,A)=∞.顯然,γ(B;B,A)=0和γ(B;?,?)=γ(B).

命題1[11]設(shè)A?B?C是E的閉對稱子集.

(i)如果存在E的閉對稱子集C0和C1,使得C?C0?C1和C1∩B=?,那么,

γ(C;B,A)≤γ(C0;B,A)+γ(C1);

(ii)如果C′是E的一個閉對稱子集,使得C′?B,并存在一個奇連續(xù)映射η∶C′→C,使得η(B)?B和η(A)?A,那么,

γ(C′;B,A)≤γ(C;B,A).

由(f3)可得Iλ的一個幾何性質(zhì).

引理4[11](i)開集Ω?3,對于每一個的有限維子空間G,有supIλ(G)<∞;(ii)如果supIλ(F)<∞,其中F∶={tu∶t≥0,u∈S},S是E的有限維子空間G的單位球面的閉子集,那么存在R>0,使得對每一個u∈FBR(0)有Iλ(u)≤-1.

2 主要引理及證明

又由un?u,n→∞,u∈E可得

故

根據(jù)(f1)和(f2),對任意的δ>0,存在cδ>0,使得

(6)

結(jié)合(6)和H?lder不等式,可得

根據(jù)條件(w)可以推出

令

并賦予范數(shù):

因此,

上式表明在E中有un→u(n→∞),故泛函Iλ滿足(PS)條件.

定義

D+={u∈E∶u≥0},D-={u∈E∶u≤0},

則D±為E中的正負錐.

對任意的ε>0,令

為了構(gòu)造泛函Iλ的下降流,定義如下輔助算子A∶E→E,對?u∈E,v=A(u)∈E是方程(7)的唯一解:

(7)

易證,下面三者等價:(i)u是方程(1)的一個解;(ii)u是泛函Iλ的一個臨界點;(iii)u是算子A的一個不動點.

類似于文獻[9],算子A還滿足下面性質(zhì).

引理6[9](i)A是有定義的,并且是連續(xù)的;(ii)對任意的u∈E,有

(iii)存在ε0>0,使得對任意的ε∈(0,ε0),有

定義E1=EE0.注意到算子A僅僅是連續(xù)的,從而不能直接用于構(gòu)造下降流.因此,需要構(gòu)造一個局部Lipschitz連續(xù)的算子B并且保留A的性質(zhì).類似于文獻[15],給出以下引理.

引理8[17]存在一個局部Lipschitz連續(xù)的算子B∶E→E1,使得

(iv)若A是奇算子,則B也是奇算子.

引理9 若KcW=?,則存在ε0>0,當0<ε<ε′<ε0時,存在一個連續(xù)映射σ∶[0,1]×E→E滿足:

(i)σ(0,u)=u,?u∈E;

證明 因為Iλ滿足(PS)條件,聯(lián)合引理7和引理8可推出此引理,詳細證明可參考文獻[9].

(8)

由于f(x,t)關(guān)于t是奇的,因此Iλ是一個偶泛函.特別地,這意味著次水平集

和臨界水平集Kc是封閉和對稱的.

因為Iλ滿足(PS)條件,容易得到Kc和SCc∶=KcDε都是緊的,因此,對任意的c∈,有γ(Kc)<∞和γ(SCc)<∞.

說明變號解的多重性需要以下形變引理.

(i)η(Dε)?Dε;

引理11 如果對某些k∈和l≥0,有ck=ck+1=…=ck+l=c,那么γ(SCc)≥l+1.另外,當k→∞時,有ck→+∞.

證明 給定k∈,首先證明c1>0.斷言SC0=K0Dε=?.事實上,如果Iλ(u)=0和那么由(f3)有

這可推得u=0∈Dε,因此SC0=?.根據(jù)引理10和相對屬的定義,存在δ>0,使得

因此,c1≥δ>0.

另一方面,由命題1(ii)和引理10可得

ck的定義意味著

因此,

但這與ck+l的定義相矛盾.于是得到γ(SCc)≥l+1.

類似地,可以證明當k→∞時,ck→+∞.

為了估計上面的ck,將其與極大極小值

進行比較.引理4(i)意味著對所有的k∈,有

βk<∞.

(9)

并且,有如下引理.

引理12 對每一個k∈,ck≤βk+1.

證明 取任意k+1維子空間W,且β∶=supIλ(W)<∞.根據(jù)引理4(ii)選取R>0,使得

(10)

通過式(9)和引理12得到,對每一個k均有ck<∞.

如果滿足條件(f5),則可以通過能量值來估計Iλ臨界點的節(jié)點域數(shù).

命題2 假設(shè)條件(f5)成立,那么方程(1)的每一個弱解u∈E且Iλ(u)≤βk至多有k個節(jié)點域.

證明 矛盾地假設(shè)u至少有k+1個節(jié)點域Ω1,…,Ωk+1,定義函數(shù)vi∈E,vi≠0,i=1,…,k+1,有

(11)

注意到,

因此,

(12)

斷言,

(13)

現(xiàn)在定義W為v1,…,vk的擴張,那么dimW=k,于是利用(12)和(13)有

這與假設(shè)Iλ(u)≤βk矛盾,因此u至多有k個節(jié)點域.

3 主要結(jié)果

定理1 若(V)、(w)和(f1)～(f3)條件成立,則方程(1)至少存在一個變號解uλ,并且uλ恰有兩個節(jié)點域.

證明 首先,說明變號解uλ的存在性.

supp(v1)∩supp(v2)=?,v1≤0,v2≥0.

定義連續(xù)映射φ0∶Δ→X,使得

φ0(t,s)=R(tv1+sv2),?(t,s)∈Δ,

其中,R是一個正常數(shù),則有

由此可知

因此引理3(i)成立.

接下來,證明引理3(ii).通過計算可得

ρ∶=min{‖tv1+(1-t)v2‖2∶0≤t≤1}>0,

所以,

‖u‖2≥ρR,u∈φ0(?0Δ).

(14)

從而,存在mr>0,使得

‖u‖r≤mrε,u∈M.

(15)

因此,對于充分大的R>0,有φ0(?0Δ)∩M=?.

最后,證明引理3(iii).

再結(jié)合引理1可知

‖u‖2=(u++u-,u++u-)≥(u+,u+)+(u-,u-)=2ε2.

(16)

由(f1)和(f2)可知

(17)

因此,結(jié)合式(14)～(17)以及條件(w),對充分小的ε>0,有

故

(18)

另一方面,由(f3)可知

(19)

于是,對任意的u∈φ0(?0Δ),由式(19)可得

再結(jié)合式(14)可知

(20)

于是,根據(jù)式(18)和(20),對于充分大的R,有

故引理3(iii)得證.

下面證明變號解uλ恰有兩個節(jié)點域.

假設(shè)

uλ=u1+u2+u3,

其中,

ui≠0,u1≥0,u2≤0,supp(ui)∩supp(uj)=?,i≠j,i,j=1,2,3,

并且,對于i=1,2,3有

令v∶=u1+u2,可以看到v+=u1和v-=u2,即v±≠0.那么,通過文獻[7]可知,存在一個唯一的正數(shù)對(sv,tv),使得

等價地,

因此,

(21)

借助文獻[12],有

(sv,tv)∈(0,1]×(0,1].

另一方面,

(22)

然后,可以計算得到

(23)

那么,由式(21)(22)(23),則有

mλ≤Iλ(svu1+tvu2)<

產(chǎn)生矛盾.于是u3=0,即uλ恰好有兩個節(jié)點域.

定理2 若(V)、(w)和(f1)～(f4)條件成立,則方程(1)有無窮多個變號解{±uk},更進一步,若條件(f5)成立,則{uk至多有k+1個節(jié)點域.

證明 由引理11得到一個不同解的序列(±uk)k≥1且Iλ(uk)→∞和

uk∈SCck?EDε.

(24)

因此‖uk‖→∞,并且uk對每個k改變一次符號,證明了定理2的第一部分成立.第二部分由引理12、式(24)和命題2直接可得.